2024-2025学年甘肃省天水一中高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省天水一中高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列2， 6， 8， 10，…， 2n+2，…，则 42是这个数列的( )
A. 第20项B. 第21项C. 第22项D. 第19项
2.在x轴与y轴上截距分别为−2，2的直线的倾斜角为( )
A. 45°B. 135°C. 90°D. 180°
3.已知等差数列{an}的前10项和为100，且a1+a2+a3=15，则a9=( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
4.正项等差数列{an}的公差为d，已知a1=4，且a1，a3−2，a5三项成等比数列，则d=( )
A. 7B. 5C. 3D. 1
5.已知直线l1：ax+4y−2=0与直线l2：2x−5y+b=0互相垂直，垂足为(1,c)，则a+b+c的值为( )
A. −4B. 20C. 0D. 24
6.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S6=−21，S4=5S2，则S2=( )
A. 3B. −13C. −1D. −2125
7.已知等差数列{an}中，a1=9，a4=3，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，则T21=( )
A. 245B. 263C. 281D. 290
8.等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则“S1+S3<2S2”是“{an}为递减数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( )
A. x−y+1=0B. x+y−3=0C. 2x−y=0D. x+y+1=0
10.在数列{an}中，如果{an}的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列{an}为“等积数列”，非零常数为数列{an}的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1=1，公积为2，设Sn=a1+a2+⋯+an，Tn=a1a2⋯⋯an，则( )
A. an+2=anB. a2023=1C. S2023=3069D. T2024=21012
11.已知数列{an}满足an=4n+λ(−2)n+1.若对∀n∈N+，都有an+1>an成立，则整数λ的值可能是( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1：mx+y−5=0，l2：3x−y−4=0，且直线l1和l2平行，则实数m的值是______．
13.已知(2,32)，(5,316)是等比数列{an}图象上的两点，则an= ______．
14.直线l1：x−my−2=0与直线l2：mx+y+2=0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}是等差数列，且a1+a3+a5=18，a2=2a1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=4anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC边上的高AD所在直线的方程为x−2y+2=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，点B的坐标为(1,3)．
(1)求直线BC的方程；
(2)求直线AC的方程及点C的坐标．
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2(n∈N∗)
(1)求证：数列{an+1}是等比数列；
(2)设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少15，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加14．
(1)设n年内总投入金额为an万元，牧草销售总收入为bn万元，求an，bn的表达式；
(2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？(lg2≈0.30,lg3≈0.48)
19.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−3n(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若正整数m，r，k成等差数列，且m参考答案
1.A
2.A
3.C
4.C
5.A
6.C
7.C
8.C
9.ABC
10.ABD
11.BC
12.−3
13.3×(12)n−1
14.2 2
15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a1+a3+a5=3a3=18，解得a3=6，
又a2=2a1，则6−d=2(6−2d)，解得d=2，
所以{an}的通项公式是an=a3+(n−3)d=2n；
(2)由(1)知，bn=42n⋅2(n+1)=1n(n+1)=1n−1n+1，
所以Sn=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．
16.解：(1)∵BC与AD互相垂直，且AD的斜率为12，
∴直线BC的斜率为k=−2，
结合B(1,3)，可得BC的点斜式方程：y−3=−2(x−1)，
化简整理得：2x+y−5=0，
所以直线BC的方程为2x+y−5=0．
(2)由x−2y+2=0和y=0联解，得A(−2,0)
由此可得直线AB方程为：y−03−0=x+21+2，即y=x+2，
∵AB，AC关于角A平分线x轴对称，
∴直线AC的方程为：y=−x−2，
∵直线BC方程为y=−2x+5，
∴将AC、BC方程联解，得x=7，y=−9，
因此，可得C点的坐标为(7,−9)．
17.(1)证明：∵an+1=3an+2(n∈N∗)，
∴an+1+1=3(an+1)，
又∵a1+1=2+1=3，
∴数列{an+1}是以首项、公比均为3的等比数列；
(2)解：由(1)可知：an+1=3n，
∴bn=nan=n(3n−1)=n3n−n，
∴Tn=1⋅31+2⋅32+3⋅33+…+n⋅3n−(1+2+3+…+n)
=1⋅31+2⋅32+3⋅33+…+n⋅3n−n(n+1)2，
记Qn=1⋅31+2⋅32+3⋅33+…+n⋅3n，
则13Qn=1⋅30+2⋅31+3⋅32+…+(n−1)⋅3n−2+n⋅3n−1，
两式相减得：−23Qn=30+31+32+…+3n−2+3n−1−n⋅3n
=1−3n1−3−n⋅3n
=(12−n)⋅3n−12，
∴Qn=−32[(12−n)⋅3n−12]=(n2−14)⋅3n+1+34，
∴Tn=1⋅31+2⋅32+3⋅33+…+n⋅3n−n(n+1)2
=(n2−14)⋅3n+1+34−n(n+1)2．
18.解：(1)由题知，每年的追加投入是以40为首项，45为公比的等比数列，
所以，an=40×1−(45)n1−45=200−200×(45)n；
同理，每年牧草收入是以30为首项，54为公比的等比数列，
所以，bn=30×1−(54)n1−54=120×(54)n−120；
(2)设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即bn−an>0，
即120×(54)n−120−[200−200×(45)n]=120×(54)n+200×(45)n−320>0，
令t=(45)n，00，
即5t2−8t+3>0，
解得0即n>lg35lg45=lg3−lg5lg4−lg5=lg3+lg2−13lg2−1≈2.2，所以n≥3，
所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入．
19.解：(1)∵Sn=2an−3n，∴S1=a1=2a1−3，∴a1=3．
由Sn+1=2an+1−3(n+1)Sn=2an−3n，可得an+1=2an+3，
∴an+1+3=2(an+3)．
∵a1+3=6≠0，∴数列{an+3}是以6为首项，2为公比的等比数列，
∴an+3=6×2n−1，∴an=3⋅2n−3(n∈N∗)．
(2)am，ar，ak不能构成等比数列，理由如下：
∵an=3⋅2n−3，
若am，ar，ak构成等比数列，则amak=ar2，
∴(2m−1)⋅(2k−1)=(2r−1)2，即2m+k−2k−2m=22r−2×2r．
由题意知m+k=2r，∴2m+k=22r，
∴2m+2k=2⋅2r，∴2k−m+1=2⋅2r−m．
∵m∴2k−m，2r−m均为偶数，
∴2k−m+1为奇数，2×2r−m为偶数，
∴2k−m+1=2×2r−m不可能成立，
∴am，ar，ak不可能构成等比数列．