2024-2025学年河南省部分名校高二（上）段考数学试卷（10月份）（一）（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省部分名校高二（上）段考数学试卷（10月份）（一）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.图中4条直线中斜率最小的是( )
A. l1B. l2C. l3D. l4
2.已知向量a=(1,3,−2)与b=(3,x,y)平行，则x−y=( )
A. −15B. −3C. 3D. 15
3.已知直线l的一个方向向量为m=(1,2,−4)，平面α的一个法向量为n=(2,3,t)，若l//α，则t=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.将直线y=2x+1绕点(1,3)逆时针旋转π2rad后所得直线的方程为( )
A. x−2y+5=0B. x−2y+1=0C. x+2y−7=0D. x+2y+1=0
5.已知平面α，β均以n=(−2,1,2)为法向量，平面α经过坐标原点O，平面β经过点P(3,2,−1)，则平面α与β的距离为( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 2 3
6.已知直线l与m： 3x−y+c=0(c0，平面内三点A(0,−a)，B(1,a2)，C(3,2a3)共线，则a= ______．
14.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为4，侧面积为8，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间中三点A(−2,−3,3)，B(1,0,2)，C(2,−1,5)，设向量a=AB，b=BC．
(1)若(a+kb)⊥a，求实数k的值；
(2)若向量c与a−b共线，且|c|=4，求c的坐标．
16.(本小题15分)
已知直线l1的方程为(a+3)x−ay+2=0，直线l2经过点A(2,0)和B(0,1a)．
(1)若l1⊥l2，求a的值；
(2)若当a变化时，l1总过定点C，求|AC|．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAD为等边三角形，且PB=AC，E为棱PD的中点．

(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
如图，将一块三角形的玉石ABO置于平面直角坐标系中，已知|AO|=|AB|= 5，|OB|=2，点P(1,1)，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点P的直线MN进行切割．
(1)求直线MN的倾斜角α的取值范围．
(2)是否存在直线MN，使得点A关于直线MN的对称点在线段AB上？
(3)设玉石经切割后剩余部分的面积为S，求S的取值范围．
19.(本小题17分)
在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0,y0,z0)且以u=(a,b,c)为方向向量的直线方程可表示为x−x0a=y−y0b=z−z0c(abc≠0)，过点P(x0,y0,z0)且以u=(a,b,c)为法向量的平面方程可表示为ax+by+cz=ax0+by0+cz0．
(1)若直线l1：x−12=y=−(z−1)与l2：−(x−1)=y4=z−12都在平面α内，求平面α的方程；
(2)在三棱柱ABC−A1B1C1中，点C与坐标原点O重合，点A在平面Oxz内，平面ABC以m=(1,−1,−3)为法向量，平面ABB1A1的方程为3x+y−z=8，求点A的坐标；
(3)若集合M={(x,y,z)||x|+|y|+|z|=2}中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5.A
6.B
7.D
8.A
9.BC
10.ABD
11.ACD
12.2
13.2
14. 63
15.解：(1)∵空间中三点A(−2,−3,3)，B(1,0,2)，C(2,−1,5)，向量a=AB，b=BC，
∴a=AB=(3,3,−1)，b=BC=(1,−1,3)，
则a+kb=(3+k,3−k,−1+3k)，
由(a+kb)⊥a，
故(a+kb)⋅a=3(3+k)+3(3−k)−(−1+3k)=0，
解得k=193；
(2)a−b=(2,4,−4)，|a−b|= 22+42+(−4)2=6，
向量c与a−b共线，且|c|=4，则c=±4(a−b)|a−b|=±23(a−b)，
即c=(43,83,−83)或c=(−43,−83,83)．
16.解：直线l1的方程为(a+3)x−ay+2=0，直线l2经过点A(2,0)和B(0,1a)．
(1)由题意得，a≠0，l1的斜率为a+3a，l2的斜率为−12a．
∵l1⊥l2，
∴a+3a⋅(−12a)=−1，即2a2−a−3=0，
解得a=32或−1．
(2)l1方程可改写为：a(x−y)+3x+2=0，
由x−y=03x+2=0，得x=y=−23，
∴l1过定点C(−23,−23)，
∴|AC|= (2+23)2+(0+23)2=2 173．
17.解：(1)证明：如图，取AD中点O，连接PO，BO，设AB=a，

因为△PAD为等边三角形，
则PO⊥AD，
则AC=PB= 2a，PO= 32a，BO= 52a，
所以PB2=PO2+BO2，
即PO⊥BO，又AD∩BO=O，AD，BO⊂平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD；
(2)取BC中点F，连接OF，由(1)可知OP，OA，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=a，则A(a2,0,0)，B(a2,a,0)，C(−a2,a,0)，D(−a2,0,0)，E(−a4,0, 3a4)，P(0,0, 3a2)，
所以AB=(0,a,0)，PA=(a2,0,− 3a2)，CE=(a4,−a, 3a4)，
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)，
则PA⊥nAB⊥n，即PA⋅n=0AB⋅n=0，故x− 3z=0y=0，
取x= 3，则y=0，z=1，即n=( 3,0,1)，
设直线CE与平面PAB所成的角为θ，
则sinθ=|cs〈n,CE〉|=|n⋅CE||n||CE|= 32a2× 52a= 1510，
即直线CE与平面PAB所成角的正弦值为 1510．
18.解：(1)由图可知，点A在第一象限，设点A(m,n)，
因为|AO|=|AB|= 5，|OB|=2，则B(2,0)，
所以，|AO|= m2+n2= 5|AB|= (m−2)2+n2= 5m>0,n>0，解得m=1n=2，即点A(1,2)，
由题图可知，当点M从原点O沿着x轴的正方向移动时，直线MN的倾斜角在逐渐增大，
当直线MN与直线PA重合时，设直线MN交x轴的交点为E，如下图所示：

当点M在线段OE上运动时，直线MN与线段OA(不包括端点)没有公共点，
当点M在线段EB(不包括点E)上运动时，直线MN与线段OA(不包括端点)有公共点，
且直线OP的斜率为kOP=1，直线OP的倾斜角为π4，
综上所述，直线MN倾斜角α的取值范围是[π4,π2]．
(2)由(1)可知，A(1,2)、B(2,0)，则直线AB的斜率为kAB=2−01−2=−2，
假设存在直线MN，使得点A关于直线MN的对称点在线段AB上，
此时，MN⊥AB，则kMN=−1kAB=12，
此时，直线MN的倾斜角α满足α