2024-2025学年重庆市江北区字水中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆市江北区字水中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={−1,0,1,2,3,4}，B={x|x2∈A}，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}
2.命题：“∀x∈R，x2−x+2≥0”的否定是( )
A. ∀x∉R，x2−x+2≥0B. ∃x∉R，x2−x+2≥0
C. ∃x∈R，x2−x+2<0D. ∀x∈R，x2−x+2<0
3.如图，已知全集U=R，集合A={x|(2x−3)⋅(x+1)≤0}，B={x|x>0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. {x|x≤−1}B. {x|x<−1}
C. {x|x≤0或x>32}D. {x|x<0或x>32}
4.已知a，b，c∈R，有四个推理：①a>b⇒am2>bm2；②ac>bc⇒a>b；③a>b，ab>0⇒1a<1b；④a2>b2，ab>0⇒1a<1b，其中所有正确的序号是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
5.已知{1,3}⫋M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
6.命题“∃x∈R，不等式ax2−2x+1≤0”为假命题的一个必要不充分条件是( )
A. a>0B. a>1C. 02
7.已知x>0，y>0，x+2y=3，则x2+3yxy的最小值为 ( )
A. 3−2 2B. 2 2+1C. 2−1D. 2+1
8.在实数集R中定义一种运算“⊗”，具有以下三条性质： ①对任意a∈R，0⊗a=a;
②对任意a，b∈R，a⊗b=b⊗a;
③对任意a，b，c∈R，(a⊗b)⊗c=c⊗(ab)+(a⊗c)+(b⊗c)−2c，
以下正确的选项是( )
A. 2⊗(0⊗2)=0
B. (2⊗0)⊗(2⊗0)=6
C. 对任意的a，b，c∈R，有a⊗(b⊗c)=b⊗(c⊗a)
D. 对任意a，b，c∈R，有(a+b)⊗c≠(a⊗c)+(b⊗c)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中正确的是( )
A. 由|a|a+|b|b(a,b∈R)所确定的实数集合为{−2,0,2}
B. 同时满足2x+4>0,1+x≥2x−1的整数解的集合为{−1,0,1,2}
C. 集合{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N }可以化简为{(0,8),(2,5),(4,2)}
D. A=a63−a∈N,a∈Z 中含有三个元素
10.某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步、拔河、篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步、拔河、篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则( )
A. 同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B. 只参加跑步比赛的人数为26
C. 只参加拔河比赛的人数为16D. 只参加篮球比赛的人数为22
11.已知关于x的不等式(a+3m)x2−(2b−3m)x−1>0(a>0,b>0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论正确的是( )
A. a+2b=1B. ab的最大值为18
C. 1a+2b的最小值为8D. a2+4b2的最小值为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x|x+1>0,x∈R}，B={x|2x−3<0,x∈R}，则A∩B=______．
13.若关于x的不等式组2x−a<02x+1≥−9有两个整数解，则实数a的取值范围是______．
14.已知正实数a，b，c，a+b=3，则 ab的最大值为______，acb+3cab+3c+1的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|−2≤x−1≤5}、集合B={x|m+1≤x≤2m−1}(m∈R)．
(1)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围；
(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件时，该产品需另投入流动成本W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)=13x2+x，在年产量不小于8万件时，W(x)=6x+100x−38.每件产品的售价为5元，通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．设年利润为L(x)(单位：万元)．
(1)若年利润L(x)(单位：万元)不小于6万元，求年产量x(单位：万件)的范围；
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
17.(本小题15分)
(1)已知不等式(1+k2)x≤k4+k2+6，其中x，k∈R．
①若x=4，解上述关于k的不等式；
②若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．
(2)求关于x不等式：ax2−(a+2)x+2≥0(a∈R)的解集．
18.(本小题17分)
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，若∃x0∈R，使得ax02+bx0+c=x0成立，则称x0为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的不动点．
(1)求二次函数y=x2+2x−2的不动点；
(2)若二次函数y=2x2−(2+a)x+a−1有两个不相等的不动点x1,x2，且x1,x2>0，求x2x1+x1x2的最小值．
19.(本小题17分)
已知集合A={a1,a2,…,an}中的元素都是正整数，且a1(1)判断集合{1,2,3,4}是否具有性质M；
(2)已知集合A具有性质M，求证：1ai−1an≥n−i25(i=1,2,…,n)；
(3)证明： 3是无理数．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.C
6.A
7.B
8.C
9.ABC
10.BCD
11.ABD
12.{x|−113.(−8,−6]
14.32 2 6−2
15.解：(1)由题意可知A={x|−2≤x−1≤5}={x|−1≤x≤6}，
又A∩B=⌀，当B=⌀时，m+1>2m−1，解得m<2，
当B≠⌀时，m+1≤2m−1，m+1>6或2m−1<−1，解得m>5，
综上所述，实数m的取值范围为(−∞,2)∪(5,+∞)；
(2)∵命题p是命题q的必要不充分条件，∴集合B是集合A的真子集，
当B≠⌀时，
可得m+1≤2m−1m+1≥−12m−1≤6，解得2≤m≤72，
当B=⌀时，由(1)可得m<2．
综上所述，实数m的取值范围为(−∞,72].
16.解：(1)L(x)=5x−W(x)−3，
①当x∈(0,8)时，L(x)=5x−(13x2+x)−3=−13x2+4x−3，
令−13x2+4x−3≥6得：x2−12x+27≤0，
解得：3≤x≤9，
又∵x∈(0,8)，
∴3≤x<8，
②当x∈[8,+∞)时，L(x)=5x−(6x+100x−38)−3=35−(x+100x)，
令35−(x+100x)≥6得：x2−29x+100≤0，
解得：4≤x≤25，
又∵x∈[8,+∞)，
∴8≤x≤25，
综上所述，年产量x的范围为：[3,25]．
(2)由(1)可知当x∈(0,8)时，L(x)=−13x2+4x−3=−13(x−6)2+9，
∴x=6时，L(x)max=9，
当x∈[8,+∞)时，L(x)=35−(x+100x)≤35−2 x⋅100x=15，当且仅当x=10时，等号成立，
∴x=10时，L(x)max=15，
∵9<15，
∴当x=10时，L(x)取得最大值，最大值为15，
故当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，且最大利润是15万元．
17.解：(1)①若x=4，则4(1+k2)≤k4+k2+6，
变形为k4−3k2+2≥0，
解得k2≤1或k2≥2，
所以−1≤k≤1或k≤− 2或k≥ 2，
故不等式的解集为{k|−1≤k≤1或k≤− 2或k≥ 2}；
②令t=k2+1，不等式(1+k2)x≤k4+k2+6对任意k∈R恒成立，
则有x≤k4+k2+6k2+1=t+6t−1对任意t≥1恒成立，
因为t+6t−1≥2 t×6t−1=2 6−1，
当且仅当t=6t，即t= 6≥1时取等号，
所以x≤2 6−1，故x的最大值为2 6−1．
(2)当a=0时，不等式变为−2(x−1)≥0，解得x≤1，
当a≠0时，ax2−(a+2)x+2=0的根为x1=2a,x2=1，
当a>0时，
若a>2，则2a<1，解得x≥1或x≤2a，
若a=2，则2a=1，x2−2x+1≥0，解得x∈R，
若01，解得x≥2a或x≤1，
当a<0时，不等式变为(x−2a)(x−1)≤0，解得2a≤x≤1，
综上所述，a=0时，不等式f(x)≥0的解集为(−∞,1]；
0a=2时，不等式f(x)≥0的解集R；
a>2时，不等式f(x)≥0的解集(−∞,2a]∪[1,+∞)；
a<0时，不等式f(x)≥0的解集[2a,1]．
18.解：(1)由题意知：x2+2x−2=x，
∴(x−1)(x+2)=0，解得x1=−2，x2=1，
所以，二次函数y=x2+2x−2的不动点为−2和1．
(2)依题意，2x2−(2+a)x+a−1=x有两个不相等的正实数根，
即方程2x2−(3+a)x+a−1=0有两个不相等的正实数根，
所以Δ=(3+a)2−8(a−1)>0x1+x2=3+a2>0x1x2=a−12>0，解得a>1，
所以x1+x2=3+a2，x1x2=a−12，
所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2
=(3+a2)2−a+1a−12=a2+2a+132(a−1)=(a−1)2+4(a−1)+162(a−1)
=a−12+8a−1+2≥2 a−12⋅8a−1+2=6，
当且仅当a−12=8a−1，即a=5时等号成立，
所以x1x2+x2x1的最小值为6．
19.解：(1)由题意可得：|1−2|>1×225,|1−3|>1×325,|1−4|>1×425,|2−3|>2×325,|2−4|>2×425,|3−4|>3×425，
所以集合{1,2,3,4}具有性质M；
(2)证明：因为i=1，2，⋯，n，则有：
当i=n时，0≥0，符合题意；
当i所以ai+1−ai≥aiai+125(i=1,2,3,⋅⋅⋅,n−1)，可得：1ai−1ai+1≥125，
所以1ai−1ai+1+1ai+1−1ai+2+...+1an−1−1an≥n−i25，
即1ai−1an≥n−i25(i=1,2,3,⋅⋅⋅,n−1)；
综上所述：1ai−1an≥n−i25(i=1,2,⋯,n)．
(3)证明：假设 3是有理数，则 3=mn(m,n为互质的正整数)，
可得m2n2=3，即m2=3n2，
可知m为3的倍数，设m=3k，k∈N∗，
即9k2=3n2，可得n2=3k2，可知n为3的倍数，
这与m，n为互质相矛盾，故 3是无理数．