江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共34页。

1．（3分）下列图形中，属于轴对称图形的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（3分）下列等式：①＝，②＝﹣2，③＝2，④＝﹣，⑤＝±4，⑥﹣＝﹣2，成立的是（ ）
A．①⑤B．②④C．③⑥D．②③④⑥
3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD＝CEB．AD＝AEC．BE＝CDD．DA＝DE
4．（3分）下列数中，3.14159，，0.121121112…，﹣π，，，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（3分）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．8，12，15B．1，5，5C．D．40，41，9
6．（3分）如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
7．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝8，点D为BC的中点，将△ABD沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，则CE的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，四边形ABCD的对角线交于点E，BE＝ED，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ACB．若CD＝10，AD＝14，则DE的长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
二.填空题（共8小题）
11．（3分）的平方根是 ．
12．（3分）我市某企业去年生产总值达到1583.45万元，用科学记数法表示（保留到百万位）是 元．
13．（3分）在实数范围内分解因式：a3﹣9a＝ ．
14．（3分）已知等腰三角形的一个角是100°，则底角的度数是 ．
15．（3分）如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD＝62°，则∠AEB的度数是 ．
16．（3分）在三角形ABC中，∠BAC＝45°，高AD，BE交于点H，M，N分别为AH，BC的中点，连接MN．若，则BC＝ ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF．射线AF与直线PQ相交于点G，则∠AGQ的度数为 度．
18．（3分）如图，已知△ABC与△ADC是直角三角形，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝5．若∠BAC+2∠CAD＝180°，则AB的长是 ．
三.解答题（共9小题）
19．计算：
（1）﹣（3﹣π）0+（）﹣2；
（2）﹣+﹣（）2．
20．求下列各式中的实数x．
（1）4x2﹣25＝0；
（2）27（x﹣1）3＝﹣64．
21．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；
（2）若x，y都是实数，且y＝+8，求x+3y的立方根．
22．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求证：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求线段FC的长．
23．（1）如图1，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿直线AD折叠，点C落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边AB上的E处，且DE⊥AB．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）如图3，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和PQ的端点均在小正方形的顶点上．
①在线段PQ上确定一点C（点C在小正方形的顶点上），使△ABC是轴对称图形，并在网格中画出△ABC；
②请直接写出△ABC的周长和面积．
24．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为线段AB上一动点．
（1）如图1，点D、E分别在AC、BC上（点D不与点A重合），若P运动到AB的中点，且PD⊥PE．
①求证：AD＝CE；
②若AD＝7，BE＝1，求PD的长；
（2）如图2，点F在BC上，且PC＝PF，过点F作FH⊥AB，垂足为H，若AB＝10，在点P运动的过程中，线段PH的长度是否发生变化？若不变，请求出PH的长度；若变化，请说明理由．
25．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．
（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 （只填写序号）．
①顶角是30°的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一个角是30°的直角三角形．
（2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．
①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；
②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．
26．如图，在四边形ABDE中，△ABC、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCD为锐角；
（1）在图1中，△ACE与△BCD面积相等吗？请说明理由．
（2）如图2，若AC＝4，CD＝5．则四边形ABDC面积最大值为 ．
（3）如图3，已知BD＝6，△ACE的面积为10，G在BD边上，GC的延长线经过AE中点F，求CG的长．
27．若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．
（1）如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）；
（2）如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．当0°＜∠BAC＜180°时，若△ADE的“余高”是AH．
①请用直尺和圆规作出AH（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
②求证：DE＝2AH．
（3）如图2，当∠BAC＝90°时，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，连接BD、CE，若BD＝6，CE＝8，请直接写出BC的长．
2024-2025学年江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校八年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1．（3分）下列图形中，属于轴对称图形的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：第三个不是轴对称图形，其它三个是轴对称图形．
故选：B．
2．（3分）下列等式：①＝，②＝﹣2，③＝2，④＝﹣，⑤＝±4，⑥﹣＝﹣2，成立的是（ ）
A．①⑤B．②④C．③⑥D．②③④⑥
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义对①③⑤⑥进行判断；根据立方根的定义对②④进行判断．
【解答】解：＝，＝4，＝﹣2，＝2，＝﹣，﹣＝﹣2，
所以上述等式成立的是②③④⑥．
故选：D．
3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD＝CEB．AD＝AEC．BE＝CDD．DA＝DE
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、添加BD＝CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；
B、添加AD＝AE，根据等边对等角可得∠ADE＝∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；
C、添加BE＝CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；
D、添加DA＝DE无法求出∠DAB＝∠EAC，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列数中，3.14159，，0.121121112…，﹣π，，，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数，注意带根号且开不尽的为无理数．
【解答】解：，，
所以3.14159，，0.121121112…，﹣π，，，
无理数有0.121121112…，﹣π，共2个，
故选：B．
5．（3分）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．8，12，15B．1，5，5C．D．40，41，9
【答案】D
【分析】由勾股数的定义，只要验证两较小正整数的平方和等于最大正整数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【解答】解：A、82+122＝208≠152，故选项不符合题意；
B、12+52＝26≠52，故选项不符合题意；
C、不都是正整数，肯定不是勾股数，故选项不符合题意；
D、92+402＝1681＝412，故选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”判断即可．
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
则学校应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处，
故选：B．
7．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】B
【分析】求出AE＝BE＝CE，推出B＝∠ECB＝20°，∠EAC＝∠ACE＝70°，求出∠CAD，根据三角形内角和定理求出∠AFC，根据对顶角相等求出即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，E是AB中点，
∴AE＝CE＝BE，
∴∠B＝∠ECB＝20°，∠EAC＝70°＝∠ACE，
∵BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B＝20°，
∴∠CAD＝70°﹣20°＝50°，
∴∠AFC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∴∠DFE＝∠AFC＝60°，
故选：B．
8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝8，点D为BC的中点，将△ABD沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，则CE的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接BE交AD于O．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，由勾股定理求出AD＝5，求出OB、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图所示：连接BE交AD于O，
∵将△ABD沿AD折叠，使点B落在点E处，
∴AD⊥BE，OB＝OE，BD＝DE，
在Rt△ABC中，BC＝8，AB＝3，D为BC的中点，
∴BD＝CB＝4，
∴AD＝＝＝5，
∵S△ABD＝•BO•AD＝•AB•BD，
∴OB＝＝，
∴BE＝2OB＝，
∵DE＝DB＝DC，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝；
故选：D．
10．（3分）如图，四边形ABCD的对角线交于点E，BE＝ED，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ACB．若CD＝10，AD＝14，则DE的长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】过D作DF⊥AC于点F，延长AC至G，使得CG＝CD，连接DG，证明△ABE≌△FDE（AAS），△ABC≌△FDG（AAS），利用勾股定理即可解答．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AC于点F，延长AC至G，使得CG＝CD，连接DG，
∴∠DFE＝90°，
∵∠BAE＝∠DFE＝90°，∠AEB＝∠DEF，BE＝DE，
∴△ABE≌△FDE（AAS），
∴AB＝DF，
∵CG＝CD，
∴∠G＝∠DCG，
∵∠ACD＝2∠ACB＝∠G+∠ACG，
∴∠G＝∠ACB，
又∵DF＝AB，∠BAC＝∠DFG＝90°，
∴△ABC≌△FDG（AAS），
∴AC＝FG，
∴AF＝CG＝CD＝10，
∴EF＝5，
∴DF2＝AD2﹣AF2＝142﹣102＝96，
∴DE2＝EF2+DF2＝52+96＝121，
解得DE＝11（舍负），
故选：C．
二.填空题（共8小题）
11．（3分）的平方根是 ±3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可解决问题．
【解答】解：∵＝9，9的平方根是±3，
∴的平方根是±3．
故答案为±3．
12．（3分）我市某企业去年生产总值达到1583.45万元，用科学记数法表示（保留到百万位）是 1.6×107 元．
【答案】1.6×107．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1583.45万≈1.6×107元．
故答案为：1.6×107．
13．（3分）在实数范围内分解因式：a3﹣9a＝ a（a+3）（a﹣3）． ．
【答案】a（a+3）（a﹣3）．
【分析】按照因式分解的定义，提取公因式即可求解．
【解答】解：a3﹣9a＝a（a2﹣9）＝a（a+3）（a﹣3）．
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
14．（3分）已知等腰三角形的一个角是100°，则底角的度数是 40° ．
【答案】40°．
【分析】分100°角是顶角和底角两种情况讨论即可．
【解答】解：∵等腰三角形的一个角是100°，
∴这个100°角是顶角时，
∴底角的度数是，
当这个100°角是底角时，
则100°+100°＞180°，不能构成三角形．
故底角的度数为40°．
故答案为：40°．
15．（3分）如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD＝62°，则∠AEB的度数是 122° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知条件推导出△ACE≌△BCD，从而∠DBC＝∠CAE，再通过角之间的转化，利用三角形内角和定理能求出∠AEB的度数．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD＝62°，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，
又∵∠ACB＝∠ACE+∠BCE，∠ECD＝∠BCE+∠BCD，
∴∠BCD＝∠ACE，△ACE≌△BCD，
∴∠DBC＝∠CAE，
∴62°﹣∠EBC＝60°﹣∠BAE，
∴62°﹣（60°﹣∠ABE）＝60°﹣∠BAE，
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣58°＝122°．
故答案为：122°．
16．（3分）在三角形ABC中，∠BAC＝45°，高AD，BE交于点H，M，N分别为AH，BC的中点，连接MN．若，则BC＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】连接ME、NE，可证△AHE≌△BCE，进一步可推出△MEN为等腰直角三角形，即可求解．
【解答】解：连接ME、NE，如图所示：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝∠BEA＝90°，
∵∠EBC+∠BCE＝∠EAH+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝∠EAH，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，
∴AE＝BE，
∴△AHE≌△BCE（ASA），
∴AH＝BC，
∵M，N分别为AH，BC的中点，
∴，
∴ME＝NE，∠MEA＝∠MAE，∠NEC＝∠NCE，
∴∠MEA+∠NEC＝∠MAE+∠NCE＝90°，
∴∠MEN＝90°，
∴△MEN为等腰直角三角形，
∵，ME＝NE，
∴，
∴BC＝2NE＝2．
故答案为：2．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF．射线AF与直线PQ相交于点G，则∠AGQ的度数为 56 度．
【答案】56．
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
【解答】解：如图，
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ+∠BAG＝90°，
∴∠AGQ＝90°﹣∠BAG＝90°﹣34°＝56°，
故答案为：56．
18．（3分）如图，已知△ABC与△ADC是直角三角形，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝5．若∠BAC+2∠CAD＝180°，则AB的长是 ．
【答案】．
【分析】延长CD，BA交于点E，根据平角定义和∠BAC+2∠CAD＝180°，推∠CAD＝∠DAE，用（ASA）证明△CAD≌△EAD，推DE＝DC＝5，AE＝AC，在Rt△BCE中，根据勾股定理得EB＝8，在Rt△ABC中，根据勾股定理求AB长．
【解答】解：延长CD，BA交于点E，
∵∠BAC+2∠CAD＝180°，
∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°，
∴∠CAD＝∠DAE，
在△CAD与△EAD中
，
∴△CAD≌△EAD（ASA），
∴DE＝DC＝5，AE＝AC，
∴CE＝10，
∵∠B＝90°，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得EB＝8，
设AB＝x，则AE＝8﹣x，
∴AC＝8﹣x，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
（8﹣x）2＝x2+62，
解得，x＝；
故答案为：．
三.解答题（共9小题）
19．计算：
（1）﹣（3﹣π）0+（）﹣2；
（2）﹣+﹣（）2．
【答案】（1）7；
（2）6．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝4﹣1+4
＝7；
（2）原式＝3+2+3﹣2
＝6．
20．求下列各式中的实数x．
（1）4x2﹣25＝0；
（2）27（x﹣1）3＝﹣64．
【答案】（1）；
（2）x＝﹣．
【分析】（1）先移项，再两边都除以4，继而利用平方根的定义求解即可；
（2）先两边都除以27，再利用立方根的定义求解，然后解一元一次方程可得答案．
【解答】解：（1）∵4x2﹣25＝0，
∴4x2＝25，
∴x2＝，
则x＝±＝±；
（2）∵27（x﹣1）3＝﹣64，
∴（x﹣1）3＝﹣，
则x﹣1＝，即x﹣1＝﹣，
解得x＝﹣．
21．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；
（2）若x，y都是实数，且y＝+8，求x+3y的立方根．
【答案】（1）±3．
（2）3．
【分析】（1）根据平方根的定义求出a、b的值，然后代入a+2b即可求出答案．
（2）根据二次根式有意义的条件可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，
∴9的平方根是±3，即a+2b的平方根为±3．
（2）由题意可知：，
∴x＝3，
∴y＝8，
∴x+3y＝3+24＝27，
∴27的立方根是3，即x+3y的立方根是3
22．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求证：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求线段FC的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC＝MA＝MB，根据外角的性质可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；
（2）根据CE＝CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB，
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，
∵∠A＝50°，
∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC，
∴CE＝CM；
（2）解：∵AB＝4，
∴CE＝CM＝AB＝2，
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴FC＝CE•cs30°＝．
23．（1）如图1，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿直线AD折叠，点C落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边AB上的E处，且DE⊥AB．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）如图3，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和PQ的端点均在小正方形的顶点上．
①在线段PQ上确定一点C（点C在小正方形的顶点上），使△ABC是轴对称图形，并在网格中画出△ABC；
②请直接写出△ABC的周长和面积．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）①见解析；
②10+5；．
【分析】（1）根据作一个角的平分线的作法即可得到结论；
（2）根据过一点作直线的垂线和一个角的平分线以及作一个角等于已知角的作法作出图形即可；
（3）①根据轴对称图形的性质作出图形即可；
②根据三角形的面积和周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，点D即为所求．
（2）如图2，点D即为所求．
（3）①如图所示，△ABC 即为所求；
②△ABC 的周长为2×+＝10+5；△ABC的面积为7×4﹣2××3×4﹣×1×7＝．
24．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为线段AB上一动点．
（1）如图1，点D、E分别在AC、BC上（点D不与点A重合），若P运动到AB的中点，且PD⊥PE．
①求证：AD＝CE；
②若AD＝7，BE＝1，求PD的长；
（2）如图2，点F在BC上，且PC＝PF，过点F作FH⊥AB，垂足为H，若AB＝10，在点P运动的过程中，线段PH的长度是否发生变化？若不变，请求出PH的长度；若变化，请说明理由．
【答案】（1）①见解析过程；
②PD＝5；
（2）PH的值不变，理由见解析过程，PH＝5．
【分析】（1）①由“ASA”可证△APD≌△CPE，可得AD＝CE；
②由全等三角形的性质可得PD＝PE，由勾股定理可求解；
（2）由“AAS”可证△CPQ≌△PFH，可得PH＝CQ，即可求解．
【解答】（1）①证明：如图1中，连接CP，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CP⊥AB，
∴AP＝PB，∠PCE＝∠OCA＝∠A＝45°，
∴CP＝PA＝PB，
∵∠APC＝∠DPE＝90°，
∴∠APD＝∠CPE，
在△APD和△CPE中，
，
∴△APD≌△CPE（ASA），
∴AD＝CE；
②解：如图1中，连接DE，
∵△APD≌△CPE，
∴PD＝PE，
∵AC＝CB＝8，CE＝AD＝7，
∴DE2＝CD2+CE2＝12+72＝50，
∴PE2+PD2＝50，
∴PD＝5；
（2）解：PH的值不变，PH＝5．
理由：如图2中，作CQ⊥AB，垂足为Q，
∵PC＝PF，
∴∠PCF＝∠PFC，
∴∠PCQ+∠QCB＝∠FPH+∠B，
∵∠QCB＝∠B＝45°，
∴∠PCQ＝∠FPH，
在△CPQ和∠PFH中，
，
∴△CPQ≌△PFH（AAS），
∴PH＝CQ，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CQ⊥AB，
∴AQ＝BQ，
∴CQ＝AB＝5，
∴PH＝5是定值．
25．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．
（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 ②③ （只填写序号）．
①顶角是30°的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一个角是30°的直角三角形．
（2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．
①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；
②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．
【答案】（1）②③；
（2）①见解析过程；
②45°或15°或20°或40°．
【分析】（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断可求解；
（2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性质可得∠BDE＝∠E，可得结论；
②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．
【解答】（1）解：若顶角是30°的等腰三角形，
∴两个底角分别为75°，75°，
∴顶角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，
若等腰直角三角形，
∴三个角分别为45°，45°，90°，
∵90°＝2×45°，
∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，
若有一个是30°的直角三角形，
∴另两个角分别为60°，90°，
∵60°＝2×30°，
∴有一个30°的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案为：②③；
（2）①证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，
∴∠BAE＝2∠ADB，
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴∠E＝∠ADB，
∴∠BAE＝2∠E，
∴△ABE是“倍角三角形”；
②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，
如图，
若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠APB＝60°，
∴∠BPE＝120°，
∵△BPE是“倍角三角形”，
∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，
∴∠BEP＝20°或40°；
若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”，
∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，
∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，
∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，
∵△BPE是等腰三角形，
∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，
综上所述：∠BPE的度数为45°或15°或20°或40°．
26．如图，在四边形ABDE中，△ABC、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCD为锐角；
（1）在图1中，△ACE与△BCD面积相等吗？请说明理由．
（2）如图2，若AC＝4，CD＝5．则四边形ABDC面积最大值为 18 ．
（3）如图3，已知BD＝6，△ACE的面积为10，G在BD边上，GC的延长线经过AE中点F，求CG的长．
【答案】（1）△ACE与△BCD面积相等，理由见解析；
（2）18；
（3）．
【分析】（1）过点E作EG⊥AC交AC的延长线于G，过点D作DF⊥BC于F，证明△EGC≌△DFC（AAS），则EG＝DF，由此得到△ACE与△BCD面积相等．
（2）由题意分析知：△ABC的面积为定值，当△BCD的面积最大时，四边形ABDC面积最大，过点D作DM⊥BC于M，DM≤CD，当点M与点C重合时，DM最大，由此求出最大面积．
（3）过点E作EN∥AC交CF的延长线于点N，根据已知条件证明△EFN≌△AFC（AAS），得到EN＝AC，再证明△CEN≌△DCB（SAS），得到CG⊥BD，由已知条件求得CG的长．
【解答】解：（1）△ACE与△BCD面积相等，理由如下：
如图，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于G，过点D作DF⊥BC于F，
∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝180°，
∵∠ACE+∠ECG＝180°，
∴∠ECG＝∠BCD，
在△EGC和△DFC中，
，
∴△EGC≌△DFC（AAS），
∴EG＝DF，
∵AC＝BC，
∴，
即△ACE与△BCD面积相等．
（2）由题意得：AC＝4，CD＝5，
∴，
即△ABC的面积为定值，
∴当△BCD的面积最大时，四边形ABDC面积最大，
如图，过点D作DM⊥BC于M，
∴DM≤CD，
当点M与点C重合时，DM最大，此时DC⊥BC，
此时，
∴四边形ABDC面积最大值为：8+10＝18．
故答案为：18．
（3）如图，过点E作EN∥AC交CF的延长线于点N，
则∠CAF＝∠NEF，∠ACF＝∠N；
∵点F是中点，
∴EF＝AF，
在△EFN和△AFC中，
，
∴△EFN≌△AFC（AAS），
∴EN＝AC，
∵AC＝BC，
∴EN＝BC，
∵∠N+∠ECF＝180°﹣∠NEC，
∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝180°﹣∠BCD，
∴∠NEC＝∠BCD，
在△CEN和△DCB中，
，
∴△CEN≌△DCB（SAS），
∴∠NCE＝∠BDC，
∵∠DCE＝90°，
∴∠NCE+∠DCG＝90°，
∴∠BDC+∠DCG＝90°，
∴CG⊥BD，
∵△ACE与△BCD面积相等，
∴，
∴，
∴．
27．若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．
（1）如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”： 是 （填“是”或“否”）；
（2）如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．当0°＜∠BAC＜180°时，若△ADE的“余高”是AH．
①请用直尺和圆规作出AH（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
②求证：DE＝2AH．
（3）如图2，当∠BAC＝90°时，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，连接BD、CE，若BD＝6，CE＝8，请直接写出BC的长．
【答案】（1）是；
（2）①作图见解析过程；
②证明详见解析过程；
（3）5．
【分析】（1）根据题意可得∠ABC+∠ADE＝90°，∠ACB+∠AED＝90°，四边形内角和为360°，求出∠ADB+∠AEC＝90°即可证明．
（2）①用直尺和圆规作出AH； ②过点A作AF⊥DE，证明△AHB≌△DFA（AAS）即可证明结论．
（3）过点A作AG⊥DB，根据（2）可知，再根据勾股定理可得．
【解答】（1）解：∵△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，
∴AB＝AC＝AD＝AE，
∠ABC+∠ADE＝90°，
∠ACB+∠AED＝90°，
∴2（∠ABC+∠ADE）＝180°，
∵四边形内角和是360°，
∴2∠ADB+2∠AEC＝360°﹣2（∠ABC+∠ADE）＝180°，
∴∠ADB+∠AEC＝90°，
∴△ABD与△ACE互为“底余等腰三角形”；
故答案为：是；
（2）①解：用直尺和圆规作出AH，如图1.1，
；
②证明：过点A作AF⊥DE，如图2，
∵∠ABH+∠ADF＝90°，
∠ABH+∠BAH＝90°，
∴∠BAH＝∠ADF，
又∵∠AHB＝∠DFA，AD＝AB，
∴△AHB≌△DFA（AAS），
∴DF＝AH，
又∵DE＝2DF，
∴DE＝2AH；
（3）解：过点A作AG⊥DB，如图2，
根据等腰三角形的性质可得：，
根据（2）可知，
根据勾股定理可得．