2025长沙师大附中高二上学期11月期中考试数学试题含解析

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时量：120分钟 满分：150分
得分：__________
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A. 1B. 2C. 8D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，再待定系数计算即可.
【详解】依题意，得m>0，
令，即的渐近线方程为，
所以.
故选：A
2. 已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可.
【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，
故选C.
【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题
3. 记等差数列的前项和为，则（ ）
A. 120B. 140C. 160D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
4. 已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，列出不等式组求解即可.
【详解】解：由已知得，即，解得.
故选：B.
5. 已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】求出关于直线的对称点的坐标，再求得的长即得．
【详解】设点关于直线的对称点为，则有解得，
因为光线从到的路程即的长，而.所以光线从到的路程为5.
故选：C．
6. 已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆的半径，消去，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心的轨迹，进一步求出其方程.
【详解】设动圆的圆心，半径为
圆与圆:内切，与C2：外切.
所以.
由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.
则，所以
动圆的圆心的轨迹方程为：
故选：D
【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.
7. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形面积公式可得，由圆心到直线的距离，再利用点线距公式建立方程，解之即可.
【详解】由三角形的面积公式可得，
得，由，得，
所以为等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式得，解得.
故选：C
8. 设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率.
【详解】解：不妨设过点作的垂线，其方程为，
由解得，，即，
由，所以有，
化简得，所以离心率．
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据选项取值验算可得正确答案.
【详解】当时，，故C不正确；
当时，，排除B；
当，时，经验算，AD均正确，由周期性可知AD正确，
故选：AD.
10. 已知抛物线y2=2pxp>0上三点Ax1,y1，，，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 若，则
C. 若三点共线，则
D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】将点B的坐标代入抛物线方程即可求得，从而求出准线方程判断A；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式即可判断B；设直线：，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求解即可判断C；结合焦半径公式，利用及焦半径公式即可判断D.
【详解】对A，把点代入抛物线，得，
所以抛物线的准线方程为，故A正确；
对B，因为Ax1,y1，，，F1,0，
所以，，，
又由，得，
所以，故B正确；
对C，因为三点共线，所以线段是焦点弦，
设直线：，
联立得，
所以，故C不正确；
对D，设中点为，
因为，，
所以，得，
即的中点到轴距离的最小值为，故D正确.
故选：ABD
11. 曲线，下列结论正确的是（ ）
A. 曲线关于原点对称
B. 曲线关于直线对称
C. 当时，曲线上点的横坐标的取值范围为
D. 若曲线在第一象限内存在位于直线左侧的点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图象关于点对称的定义判断A，根据图象关于直线对称的定义判断B，利用方程研究曲线的范围可判断C，由题意建立不等式求解可判断D.
【详解】对选项A：设曲线上有一点，则①，而点关于原点对称的点为，若曲线关于原点对称，则也应在曲线上，则有②；联立①②，得，此时无解，故A错误；
对选项B：设曲线上有一点，则③，而点关于对称的点为，若曲线关于对称，则也应在曲线上，则有④；联立③④，得，即，该式恒成立，则和是在曲线上且关于对称的点，即是该曲线的对称轴，故B正确；
对选项C：由原方程得，解得，所以C正确；
对选项D：由原方程得，由题意知，当时有点在曲线上，因为，所以在上有解，即在上有解，又因为函数在上单调递减，所以，所以D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的短轴长为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得为等腰直角三角形，又，计算可求，可求的短轴长.
【详解】设，易知，
结合，可知为等腰直角三角形，
所以，故，
所以，
所以的短轴长为.
故答案为：.
13. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则__________.
【答案】2024
【解析】
【分析】根据的关系，分是否等于1讨论即可.
【详解】由于数列的各项均为正数，即，
当时，，即，
当时，由，可得，两式相减得，
又，
为一个以2为首项，2为公差的等差数列，.
故答案为：2024.
14. 已知双曲线，其左右焦点分别为，，点P是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，结合双曲线的定义可得，，在中，利用余弦定理求得，再根据即可得出答案.
【详解】解：由，结合点I是的内切圆的圆心可知，
又有，所以，
再结合双曲线的定义可得，，
再根据，由余弦定理可得，
即，解得，
则，
可得内切圆的半径角.
故答案为：.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知圆过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：设圆的方程为，
根据题意，可得，解得，
所以圆的方程为.
【小问2详解】
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得，
则直线的方程为，即.
故直线的方程为或.
16. 已知等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据是等比数列，设的公比为，根据条件列出方程组．求出和可得数列的通项公式；
（2）求出的通项公式，代入，利用错位相减法即可求出数列的前项和．
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由题可得，
因为，所以，
所以．
（2）因为，所以，
所以，
所以，
，
两式相减得
故．
【点睛】本题主要考查数列通项公式和前项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键，属于难题.
17. 如图，已知四棱锥中，平面，，，是边长为的正三角形，点在平面内的投影恰好是的中心.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）推导出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
证明：因为平面，平面，所以，，
因为，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，平面平面.
【小问2详解】
解：如图，连接、、，
因为点在平面内的投影恰好是的中心，
且是边长为的正三角形，所以，三棱锥为正三棱锥，
因为为等腰直角三角形，则，
取的中点，连接，则，
因为，，，所以，，
所以，四边形是矩形，则，
又因为，则，
因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、B1,0,0、C1,1,0、、、，
所以，，
设平面的法向量为，BC=0,1,0，，
则，取，则，
又，设直线与平面所成角为，
则.
故直线与平面所成角正弦值为.
18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，分别为的左，右焦点，抛物线的顶点在原点，焦点与的右焦点重合.
（1）求椭圆与抛物线的标准方程；
（2）过焦点的直线交椭圆于点，交抛物线于点，为过点且垂直于轴的直线上异于的一点.
（i）若，求直线的方程；
（ii）设的斜率分别为，求的值.
【答案】（1），
（2）（i）或；（ii）2
【解析】
【分析】（1）根据离心率及2椭圆上的点求椭圆方程，再由椭圆右焦点得出抛物线方程；
（2）（i）设出直线方程，分别联立椭圆与抛物线，由根与系数的关系及弦长公式，由题意建立方程，解出斜率即可得直线方程；
（ii）分别由斜率公式表示出斜率，计算化简即可得解.
【小问1详解】
根据题意可知，
解得
概圆的方程为.
，
抛物线的方程为.
【小问2详解】
如图，
（i）设的方程为，
联立化简得，显然，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
所以
，
联立化简得，显然，
设，则，
所以
因为，所以，
即，即，
所以直线的方程为或.
（ii）设，则，
，
.
19. 已知集合，若对于任意与至少有一个属于，则称为开心集.
（1）分别判断集合与集合是否为开心集，并说明理由；
（2）当时，若，求开心集；
（3）若集合为开心集，且中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍，求的最小值.
【答案】（1）不是开心集，是开心集，理由见解析；
（2）或；
（3）2023.
【解析】
【分析】（1）由开心集的定义判断即可；
（2）由题意可得，分、求解即可；
（3）由题意可得，从而得，且也在中，由已知可得，从而得，，即可得答案.
【小问1详解】
解：对于集合，因为，
故不是开心集；
对于集合，因为，
故集合是开心集.
【小问2详解】
解：当时，，
因为，由题意得，故，
①若，由于，
故，故，即，此时符合题意.
②若，由于，
故，故，即，此时符合题意.
综上，或
【小问3详解】
解：由题意，，若中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍，
则必有，故，
分别考虑和其他任意元素，
由题意可得也在中，而，
故，
特别地，，
下考虑对于，
因为，所以，
故，
特别地，，故，即，
由，且，故，即，
以此类推，.
又因为，
所以，
又因为，即，
所以，
即，故
当时，满足条件.
综上，的最小值为.
【点睛】关键点点睛：对于新概念题目，理解定义是关键.