2025武汉华中师范大学第一附中高二上学期11月期中数学试题含解析

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考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：严贤灿 刘晓华 审题人：张丹 曹宗庆
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）
1. 在长方体中，运算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量对应线段的位置关系，结合向量加减法的几何意义求结果.
【详解】如下图示，.
故选：C
2. 已知圆，若圆C关于直线对称，则的最小值为（ ）
A. 8B. 1C. 16D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意直线过圆心，进而有，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
【详解】由题意，直线过圆心，则，且，
所以，
当且仅当时取等号，故的最小值为8.
故选：A
3. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程.
【详解】设点，因点为线段的中点，则（*）
又在椭圆上，则 ①， ② ，
由，可得，
将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，
故直线的方程为：，即.
故选：B.
4. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案.
【详解】由，，而且，
则
，
显然，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C
5. 已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】由两圆恰有三条公切线判断两圆外切，再由即可求得t的值.
【详解】由圆与圆恰有三条公切线，可知圆与圆外切.
由配方得：，知圆心半径；
由配方得：，知圆心半径.
由，可得，解得.
故选：B.
6. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小，再设切线联立椭圆求切线即可.
【详解】由题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小，
令切线为，联立椭圆方程有，整理得，
所以，则，
对于，其切点到距离为，
对于，其切点到的距离为，
显然点M到直线距离最小值为.
故选：C
7. 已知分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】若，根据椭圆的定义有、，应用余弦定理及得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率.
【详解】由为等腰三角形，则有，而，
又，，若，则，，
所以，
在中，
在中，
，即，整理得，则.
故选：D
8. 设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（ ）
A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组
【答案】B
【解析】
【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案.
【详解】由题设，的方向向量分别为，，，
若，则，
此时，，，它们交于一点，不符；
若，则或或，
当时，，，，满足题设；
当时，，，，满足题设；
当时，，重合，不符；
若，则或，
当时，，，，满足题设；
当时，同上分析，不符.
综上，、、时满足要求，故有3组.
故选：B
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ）
A. 当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1
B. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1
C. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1
D. 当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1
【答案】CD
【解析】
【分析】先求出圆心到到直线的距离，根据选项中参数的范围求得的范围，结合图形，即可一一判断.
【详解】
由题设条件，圆的半径为2，圆心到直线的距离为.
对于A，当或时 ，则，当时，
由图1知，圆O上有一点到直线l的距离等于1，故A错误；
对于B，D，当时，，由图2知，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1，故B错误，D正确；
对于C，当 时， ，由图3知，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1，故C正确.
故选：CD.
10. 将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为A，B，则（ ）
A. 椭圆的标准方程为
B. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在的延长线上，MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q，则线段OQ长为定值4
C. 椭圆上恰有四个点M，使得
D. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则内切圆半径的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A若椭圆上点为，则在上代入即可得椭圆方程，B假设是直线与交点，易得为线段的中点，且，结合椭圆定义及中位线性质求；C由为椭圆上下顶点时最大，应用余弦定理求其最大值判断；D利用等面积法列方程求半径.
【详解】若椭圆上点为，则在上，故，所以椭圆，A错；
假设是直线与交点，
因为MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q，
所以为线段的中点，且，
而是的中点，故中为中位线，
故为定值，B对；
当为椭圆上下顶点时最大，此时，
又，故，
结合椭圆的对称性，椭圆上恰有四个点M，使得，C对；
若内切圆半径为，
则，
所以，要使最大，只需最大，为，
所以最大，D对.
故选：BCD
11. 如图，正方体透明容器的棱长为8，E，F，G，M分别为的中点，点N是棱上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 向量在向量上的投影向量为
C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为
D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个
【答案】AC
【解析】
【分析】A根据正方体易知，利用线面垂直的判断、性质定理即可判断；B若是交点，连接，则所成角，即为所成角，余弦定理求夹角余弦值，进而求向量在向量上的投影向量；C令放在桌面上的顶点为，根据正方体的结构特征，要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，并确定最大截面的形状，求其面积即可；D通过直观想象，有第一层小球为个，第二层小球为，且奇数层均为个，偶数层均为，结合上下两层相邻5球的球心构成几何体为正四棱锥并求高，再确定层数，最后求小球个数.
【详解】A：由正方体性质知：且都在面内，
所以面，面，则，对；
B：由题意且，若是交点，连接，
所以，故为平行四边形，则且，
所以所成角，即为所成角，
由题设，易知，
在中，即夹角为，
所以夹角为，故向量在向量上的投影向量为，错；
C：令放在桌面上的顶点为，若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，
此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，
根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大，
此时，截面是边长为的正六边形，故最大面积为，对；
D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为，且奇数层均为个，偶数层均为，
而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为，
假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数，
令，则，而，故小球总共有10层，
由上，相邻的两层小球共有个，所以正方体一共可以放个小球，错.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：D选项，注意分析各层小球最多可放入的个数，结合两层相邻的5个球的球心所成几何体的高，结合正方体棱长求总层数为关键.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 对于任意实数，的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据目标式的几何意义是空间任意点到定点距离的和，判断距离和最小的位置，即可得答案.
【详解】由目标式的几何意义为空间任意点到定点距离的和，
要使它们的距离和最小，只需在线段上，此时最小值为.
故答案为：
13. 已知正方形ABCD中心的坐标为，若直线AB的方程为，则与AB边垂直的两条边所在的直线方程为________________．
【答案】和
【解析】
【分析】依题意，设出与AB边垂直的两条边所在的直线的方程，利用正方形的性质，建立等式，求解即得.
【详解】由,可得，则与AB边垂直的两条边所在的直线的斜率为，
其方程可设为：，即.
由正方形的性质，可知点到直线的距离等于它到直线的距离，
故有，解得或，
故与AB边垂直的两条边所在的直线方程为和.
故答案为：和.
14. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合四边形的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，进而可得线段AB的长度.
【详解】由椭圆方程可知：，
圆的圆心为（也为椭圆的左焦点），半径，
因为，可知四边形的面积，
当最小时，即为四边形的面积最小，
又因为，
可知当取到最小值时，四边形的面积最小，即最小，
且点P是椭圆上一动点，
由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，
此时，由对称性可知：，
即，为等边三角形，则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为．
（1）求点B的坐标；
（2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可；
（2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程.
【小问1详解】
由题意可设点，
因为，则的中点在直线上，
可得，解得，
所以点B的坐标为.
【小问2详解】
设关于直线对称点为，
则，解得，即
所以反射光线所在直线方程为，可得.
16. 已知圆和，，．
（1）求过点且与圆M相切的直线方程；
（2）试求直线上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或
（2）存在, 点有两个
【解析】
【分析】（1）结合图形，将过点且与圆M相切的直线分成斜率不存在和存在两类情况，在斜率存在时，由圆心到直线的距离等于半径即可求得直线斜率，即得切线方程.
（2）法一：先求出直线的方程，设出点，利用向量数量积的坐标公式计算即得关于的方程，通过判断方程根的个数即可判断点的个数；法二：先求出直线的方程，设点，根据求出点的轨迹方程为：，从而将问题转化为直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离与半径比较即得.
【小问1详解】
由，可得，
如图1，因过点且斜率不存在的直线恰与圆相切，故有一条切线方程为；
设另一条切线方程为：，即，
由圆心到直线的距离，解得，
故另一条切线方程为：.
综上，过点且与圆M相切的直线方程为或；
【小问2详解】
解法一：如图2，因，，，故,则直线的方程为：，
设在直线AC上存在点，满足，
则有，即，
因，方程有两个不等根，
即在直线AC上存在两个点，满足.
故符合题意的点有两个.
解法二：设在直线上存在点，其坐标为，
因，，，故,则直线的方程为：.
由，可得，化简得：，
即，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（如图3），
故要判断点的个数，只需判断直线与圆的位置关系即可.
因圆心到直线距离为，
可知直线与圆相交，即满足题意的点有两个.
17. 如图，直三棱柱的体积为1，的面积为．
（1）求点A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面⊥平面，求二面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）可得三棱锥的体积为，由等体积法运算即可得解；
（2）由垂直关系可得平面，求相应长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【小问1详解】
因为直三棱柱的体积为1，则三棱锥的体积为，
设点A到平面的距离为，则，
即，解得，
所以点A到平面的距离为.
【小问2详解】
过作，垂足为，
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面，可得，，
又因为平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，
设，则，
由的面积可得，
即，解得，
即，，
又因为的面积为，解得，
以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，
则，，
设平面的一个法向量m=x,y,z，则，
令，则，可得，
设平面的一个法向量n=a,b,c，则，
令，则可得，
则，
设二面角为，则，可得
所以二面角的正弦值为.
18. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程：
（2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N．
（ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）不为定值，理由见详解；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可知，结合椭圆定义即可得方程；
（2）①联立方程，结合相切关系可得和点Q的坐标，进而可得，进而可得结果；②根据垂径定理求面积，结合分析最值即可.
【小问1详解】
由题意可知：，
则，
可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以曲线C的方程为.
【小问2详解】
①联立方程，消去y可得，
因为直线与曲线C相切，则，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，
则，不为定值；
②由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径，

因为O0,0到直线的距离，
可得，
因为，则，
可得，
则面积，
可知当，即时，取到最大值.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．
19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过x轴上的一定点作两条直线，，其中与椭圆M交于A、B两点，与椭圆M交于C、D两点，（A，C在x轴上方，B，D在x轴下方），如图所示．
（ⅰ）已知，直线QA斜率为，直线QC斜率为，且，求证：直线AC过定点；
（ⅱ）若直线，相互垂直，试求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）根据离心率、所过的点求椭圆参数，即可得椭圆方程；
（2）（ⅰ）令，，且，且均不为2，联立椭圆方程，应用韦达定理得，，结合得到关于的方程，可得的关系，即可证；
（ⅱ）利用向量数量积的运算律得，令，，则，且，联立椭圆方程并结合韦达定理、向量数量积的坐标表示得到关于参数t的方程，即可求范围.
【小问1详解】
由题设，可得，故椭圆方程为；
【小问2详解】
（ⅰ）由题意，令，，且，且均不为2，
联立，则，
且，所以，
则，，
由，
所以，则，
所以，故或，
当时，，此时过定点；
当时，，此时过定点，而该点在椭圆内，与在同侧矛盾；
综上，直线过定点，得证.
（ⅱ）由，，又直线，相互垂直，
即，
所以
，
若，
则，
所以，
令，则，且，
联立，可得，显然，
则，，同理，，
所以，，
，，
所以
，
令，则，
所以，
综上，
【点睛】关键点点睛：第二问的二小问，注意应用数量积运算律得到，设，则，且，综合应用韦达定理、数量积的坐标表示得到关于参数t的方程是关键.