精品解析：广东省广州市禺山高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷

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1．本试卷分第I卷（选择题》和第II卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自已的姓名、考号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．
2．回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则（ ）
A. -2B. 2C. D. 2
3. 已知向量，，满足，则的值为（ ）
A. 2B. -2C. D.
4. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A. （）B. （）
C （）D. （）
5. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 已知椭圆：，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若，，，则点A到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A. 一个方向向量为
B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C. 与直线垂直
D. 与直线平行
10. 圆和圆的交点为，，则（ ）
A. 公共弦所在直线的方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
11. 如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ）
A. ；
B. 当是靠近的三等分点时，，，共面；
C. 当时，；
D. 的最小值为．
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 已知直线与圆相切，则______.
13. 已知函数是偶函数，它在上是减函数，若满足，则取值范围是___________.
14. 印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若，，求的周长．
16. 圆M经过三点：A（2，），B（0，4），C（，0）.
（1）求圆M的方程；
（2）过点P（2，3）的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.
17. 如图，已知直三棱柱的底面是直角三角形，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
18. 已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为.
（1）求椭圆标准方程；
（2）设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围.
19. 定义三阶行列式运算：，其中.已知，关于的不等式的解集为.
（1）求；
（2）已知函数不存在最小值，求的取值范围.