精品解析：广东省东莞市五校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

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1. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，直接去括号进而移项，得出答案．
【详解】解：，
，
故选：A．
3. 下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C. 打开电视机，正在播放广告
D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握三种事件的区别与联系成为解答本题的关键．
4. 将抛物线通过一次平移可得到抛物线．对这一平移过程描述正确的是（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向上平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向下平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况．
【详解】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x−3）2的顶点坐标为（3，0），
∵点（0，0）向右平移3个单位可得到（3，0），
∴将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到抛物线．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5. 一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求得圆锥的底面周长，即侧面的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据题意得：圆锥侧面展开图的弧长为，
∴圆锥侧面展开图的面积是．
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图是扇形是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
6. 正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据正多边形的中心角和为360°与正多边形的中心角相等，列式计算即可.
详解：∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是30°，
∴这个正多边形的边数==12．
故选A．
点睛：本题考查了正多边形和圆的知识点，掌握正多边形的中心角和为360°与正多边形的中心角相等，是解答本题的关键.
7. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠DOC=50°，进而得出答案．
详解】解：连接OC，
∵DC是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=40°，
∴∠DOC=50°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠A=∠DOC=25°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出∠DOC=50°是解题关键．
8. 小华把如图所示的的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形和正方形的面积公式及概率公式即可得到结论．
【详解】解：∵正方形的面积为4×4=16，阴影区域的面积为×4×1+ ×2×3=5，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是求出阴影部分的面积与总面积的比．
9. 若m，n是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数关系， 把代入，得出，再根据根与系数关系求出，整体代入计算即可解答．
【详解】解：是方程的两个根，
，
把代入得：，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】过点C作CM⊥AB于N，，
在等腰中，，
，
①当时，如图，，
，
，
∴，y随x的增大而增大；
②当时，如图，
，
∴当时，y是一个定值为1；
③当时，如图，，
，
,
当x=3，y=1，当3结合ABCD选项的图象，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 点关于原点对称的点的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，点关于原点对称的点的坐标是，据此即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：
12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，解得x⩾5．
故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式．
13. 如图，已知圆心角的度数为，则圆周角的度数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，应在优弧上取D点，连接，再进行解答即可．
【详解】解：如图，在优弧上取D点，连接，
∵点C在的圆周上，
∵的度数为，
∴．

∴．
故答案为：．
14. 如图，在△ABC纸片中，∠BAC＝50°，将△ABC纸片绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，此时AD边经过点C，连接BD，若∠DBC的度数为40°，则∠E的度数为_____．
【答案】105°
【解析】
【分析】由旋转的性质可得AD＝AB，∠E＝∠ACB，由等腰三角形的性质可得∠ADB＝∠ABD＝65°，由三角形的外角性质可求解．
【详解】解：∵将△ABC纸片绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，
∴AD＝AB，∠E＝∠ACB，
又∵∠BAC＝50°，
∴∠ADB＝∠ABD＝65°，
∴∠ACB＝∠ADB＋∠DBC＝65°＋40°＝105°，
∴∠E＝105°，
故答案为：105°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
15. 已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．
【详解】解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，
若，当时，函数值y最小，最小值为1，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共10分）
16. 若抛物线与轴分别交于A、B两点，求线段的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，二次函数与一元二方程的关系，令，解一元二次方程，求出二次函数与x轴交点的横坐标，即可求线段的长．
【详解】解：令，则，
，，
的长为：．
17. ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D．
求证：AC是O的切线．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．
【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是O的半径，
∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是O的切线。
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
四、解答题（每小题7分，共14分）
18. 一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色、形状相同的小球若干个，其中红球2个，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数．
（2）一次摸出两个球，请用画树状图或列表格的方法，求摸到两个不同颜色的小球的概率．
【答案】（1）1个 （2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了概率的实际应用，掌握概率公式以及树状图或列表法是解题关键．
（1）设袋中的黄球个数为x个，根据任意摸出一个球是蓝球的概率为，即可建立方程求解；
（2）画出树状图，根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：设袋中的黄球个数为x个，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
【小问2详解】
画树状图得：
一共有种等可能情况数，其中“两个颜色不同的有10种”的有种，
则“摸到两个不同颜色的小球的概率”概率是．
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，由绕点A顺时针旋转90°而得．
（1）直接写出点C的坐标 ；
（2）求过A、B、C三点的抛物线解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定：
（1）过点C作轴于D，由旋转的性质得到，证明得到，则，即可得到，
（2）利用待定系数法求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，过点C作轴于D，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设抛物线解析式为，
由题意得，
解得
∴抛物线解析式为．
20. 如图是某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形．
（1）请利用尺规作图，确定圆弧的圆心．（保留作图痕迹）
（2）求桥拱的半径．
【答案】（1）见解析 （2）半径为13m
【解析】
【分析】此题主要考查了应用设计与作图、垂径定理、勾股定理及其应用问题；
（1）直接利用垂径定理的推论作出，的垂直平分线，其交点即为点；
（2）首先得到，根据勾股定理列出股定理得：，求出即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图所示：点即为所求；
【小问2详解】
连接，设半径为，
由题意得于
m
m
中，
答：半径为13m
五、解答题（每小题8分，共16分）
21. 某工厂生产一批无盖盒子，如图，把长为40cm，宽为30cm的长方形铁片的四角截去一个大小相同的正方形，然后把每边折起来，做成一个无盖的盒子．
（1）若纸盒的底面积（阴影部分）是原来铁片面积的一半，求盒子的高．
（2）工厂今年9月份盒子产值为5000个，11月份的产值达到了7200个，求平均每个月生产盒子的增长率．
【答案】（1）5cm （2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
（1）根据题意设盒子的高为，列出方程正确计算即可得到本题答案；
（2）根据题意设平均每月增长率为，列出方程正确计算即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：设盒子的高为，
，
，（舍去），
答：盒子高为5cm．
小问2详解】
解：设平均每月增长率为，
，
，
，（舍），
答：平均每月增长率为．
22. 已知关于x的方程
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）是否存在m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）方程有两两个的实数根，利用求出的范围．
（2）利用根与系数的关系，，，代入即可得到关于的方程，求出的值，再根据△来判断所求的的值是否满足原方程．
【小问1详解】
，，方程有两个实数根，
△，即△，
．
【小问2详解】
存在使方程的两个实数根的平方和等于224．
，
，
即：，
解得：，，
又，
∴
当=-2时，方程的两个实数根的平方和等于224．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合求出m的值是解题的关键．
23. 如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接、．
（1）求证：；
（2）当为何值时，的面积最大？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析．
【解析】
分析】（1）根据题意，利用SAS可证明出全等；
（2）由可得，，设，，列出面积的表达式求出最值即可．
【详解】解：（1）绕点顺时针旋转至的位置，
，
在正方形中，，，
，即
；
（2）在正方形中，，
由（1）知，
，，
设，正方形的边长为，
故，
，
当，即时，的面积最大．
【点睛】本题考查全等三角形判定和性质的综合运用，还涉及二次函数求最值问题，需要熟练掌握全等三角形判定和性质，能够列出面积的表达式是解决本题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
24. 如图，的直径为，点是内切圆的内心，的延长线交于点．

（1）求的长；
（2）求的长；
（3）求弦、劣弧所围成的图形面积；
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内心的性质、圆周角定理、勾股定理、扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，由圆周角定理可得，由点为内心，得出平分，从而得到，推出，最后由勾股定理计算即可得出答案；
（2）由点为内心， 得出，证明，即可得出；
（3）由（1）可得是等腰直角三角形，再根据进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，
，
直径，
，
∵点为内心，
平分，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接，
，
点为内心，
，
，
，，
，
，
；
【小问3详解】
解：由（1）可得是等腰直角三角形，
．
25. 如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+4
（2）S最大＝，D（﹣，5）
（3）存在，Q（﹣2，）
【解析】
【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
【小问1详解】
解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
【小问2详解】
如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
【小问3详解】
设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质