精品解析：广东省广州市真光中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份精品解析：广东省广州市真光中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，文件包含精品解析广东省广州市真光中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷原卷版docx、精品解析广东省广州市真光中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A. 2B. 4
C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】列出含有元素0的A的子集，求出答案.
【详解】含有元素0的A的子集有，，，，，，，，
故含有元素0的A的子集个数为8.
故选：D.
2. 设命题，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定方法即可得解.
【详解】因为存在量词命题的否定方法为：改量词，否结论，
所以命题的否定为.
故选：C.
3. 设集合，，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件，必要条件的定义判断作答.
【详解】由题意知当时，，此时，故充分性成立；
当时，或，即或，故必要性不成立；
综上所述：“”是“”充分不必要条件，故A正确.
故选：A.
4. 已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.
【详解】由题可知的定义域为，
则为使有意义必须且只需，
解得，
所以的定义域为.
故选：D
5. 图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象，图（2）（3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（ ）
A. 图（1）中的点A表示当乘客量为0时，亏损1.5个单位
B. 图（1）中的点B表示当乘客量为3时，既不亏损也不盈利
C. 图（2）的建议为降低成本同时提高票价
D. 图（3）的建议为保持成本同时提高票价
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的斜率与纵截距的实际意义(斜率表示每增加一个乘客时收入的增加值，纵截距表示乘客人数为0时的支出)，分析图形即可得出结论.
【详解】对于A，当时，，所以图（1）中当乘客量为0时，亏损个单位，故本选项说法正确；
对于B，当时，，所以图（1）中点B表示当乘客量为3时，既不亏损也不盈利本选项说法正确；
对于C，根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为时，
收支差额（负值)变大了，即支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，
所以本选项不正确；
对于D，根据题意和图（3）知，当乘客量为时，支出不变，
但是直线的倾斜角变大，即每增加一个乘客时收支差额的增加值变大，即票价提高了，
但乘客人数为0时的收支差额(负值)没有变化，即说明此建议是提高票价而保持成本不变所以本选项说法正确.
故选：C
6. 函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负.
【详解】由图象可知，函数为减函数，
从而有；
法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，
令，得，
由，即，解得 .
法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，
则，即.
故选：D.
7. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
8. 定义函数为实数的小数部分，为不超过的最大整数，则正确为（ ）
A. 的最小值为0，最大值为1B. 在为增函数
C. fx是奇函数D. 满足
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出fx为周期为1的函数即可对D判断，并作出函数的图象，然后根据图象可对A、B、C判断，即可求解.
【详解】D：由题意得，使得，此时，
当，，所以，故D正确；
从而可得出fx为周期为1的函数，其图象如图所示；
A：由图可知fx的值域为，故A错误；
B：由图可知fx在上没有单调性，故B错误；
C：由图可知fx不是奇函数，故C错误.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 已知满足，且，那么下列各式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，判断出，由不等式性质得到A正确；B选项，先得到，结合得到B正确；C选项，求出，由不等式性质得到C错误；D选项，作差法比较出.
【详解】A选项，因为，所以，又，故，A正确；
B选项，因为，，所以，
又，故，所以，B正确；
C选项，因为，所以，
两边同乘以，得，C错误；
D选项，因为，所以，故，D正确.
故选：ABD
10. 已知一次函数满足，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果.
【详解】设，则，故．
因为，所以，解得或，
则或．
故选：AC.
11. 已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 函数在上有个零点
D. 函数在上为减函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】依题意利用奇函数性质可得，即的图象关于直线对称，可推出是周期为4的周期函数，即可判断AB正确；易知函数y=fx在上有7个零点，即C错误；由函数单调性及其对称性可判断D正确.
【详解】根据题意，函数y=fx是R上的奇函数，所以；
又对任意x∈R，都有成立，
令，可得，即，所以，
即可知函数的图象关于直线对称；
又函数y=fx是R上的奇函数，所以f2−x=−f−x，则fx+2=−fx；
则有fx+4=−fx+2=fx，故函数是周期为4的周期函数；
当，且时，都有，所以区间0,1上单调递增；
再由奇函数性质可知在区间−1,0上单调递增；
对于A，由fx+2=−fx可得，
所以，即A正确；
对于B，由直线是函数的一条对称轴，且是周期为4的周期函数；
则也是函数的一条对称轴，又为奇函数，
所以直线是函数y=fx图象一条对称轴，即B正确；
对于C，函数y=fx在上有7个零点，分别为，即C错误；
对于D，易知函数y=fx在上单调递增，且周期为4，则函数y=fx在上为增函数，
由直线是函数的一条对称轴，则函数y=fx在上为减函数，即D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：本题主要考察函数奇偶性、对称性、单调性和周期性的应用，要根据其他性质综合运用推出函数值求和、对称轴、对称中心、零点个数等的求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得，然后求得.
【详解】依题意，
所以.
故答案为：
13. 已知集合，，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，且，进而代入不等式求解即可.
【详解】由题意，，则，且，
所以或，
解得，即取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数，若在上具有单调性，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】因为在定义域上为增函数，所以fx在上具有单调性则为增函数，可得从而可求解.
【详解】因为在定义域上为增函数，所以fx在上具有单调性则为增函数，
又因为在上单调递增，上单调递减，
所以要使fx在上为增函数，则，解得.
故的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）已知，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由求出参数值，再检验即可；
（2）先判断函数的单调性，然后根据单调性列出不等式求解即可．
【小问1详解】
函数的定义域为，又因为是奇函数，
则，解得；
经检验，故成立；
【小问2详解】
因为
对任意，有
所以在上单调递增
又，所以
解得
16. 某企业生产A、B两种产品，根据市场调查，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的平方根成正比，其关系如图2(注：单位是万元).
（1）若A、B两种产品的利润表示为投资的函数分别为、，求出它们的表达式并注明定义域；
（2）现企业有20万元资金全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这20万元资金，能使获得的利润最大，其最大利润是多少万元？
【答案】(1) ,;
(2) 当有16万元投入产品,4万元投入产品时能使得利润最大为12万元.
【解析】
【分析】(1)由题可设,再代入图中的点进行计算即可.
(2)设有万元投入产品,则有万元投入产品.再表达出利润的函数,再分析函数的最值即可.
【详解】(1) 由题可设,,又,故.故.
故,
(2) 设有万元投入产品,则有万元投入产品.
则利润.
令.则
故利润.对称轴为 .
又,故当时.
此时
故当有16万元投入产品,4万元投入产品时能使得利润最大为12万元.
【点睛】本题主要考查了函数实际应用的问题,设出对应的含参表达式再代入进行参数求解.同时与考查了函数换元求最值问题,属于中等题型.
17. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（图中阴影部分）和一个小正方形构成的面积为的十字形地域，现计划在正方形上建一座花坛，造价为420元；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）．

（1）将表示为的函数；
（2）当为何值时，总造价最小？并求出这个最小值．
【答案】（1）
（2）米，元
【解析】
【分析】（1）设，求得，结合题意，即可求得关于的函数关系式；
（2）由（1）中关于的函数关系式，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，正方形构成的面积为且，
矩形的面积为，则阴影部分的面积为，
设，则，可得，
且，解得，
所以
，
所以关于的函数关系式为.
【小问2详解】
解：由（1）知，，
由，
当且仅当，即时等号成立，
即的长为米时，总造价为最小，且最小值为元.
18. 设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若在上的最大值为，求实数a的取值范围；
（3）当时，对任意的正实数a，不等式恒成立，求m的最大值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）变换得到，考虑，，三种情况，解不等式得到答案；
（2）确定函数对称轴为，考虑和两种情况，计算最值得到范围；
（3）注意分类讨论的思想，分当时和当时两种情况进行讨论，当时，转化为，又由题意对任意的不等式恒成立，而，只要时不等式成立即可从而解出m的取值范围，同理可求另一种情况.
【小问1详解】
即，即，
的两根为和，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为.
综上所述：
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
【小问2详解】
因为，的对称轴为，
当时，即时，，不合题意；
当时，即时，，而，符合题意.
故取值范围为.
【小问3详解】
当时，即时，
不等式即为：，
整理得：
即：，
由题意：对任意的不等式恒成立，
而，
只要时不等式成立即可，
，而，
；
当时，即时，同理不等式可整理为：，
即：，
由题意：对任意的不等式恒成立，
而，只要时不等式成立即可，
，而，
；
综上，的最大值为1.
【点睛】对于第（3）问，当时，将，转化为关于的一次不等式进行研究是关键，同理研究.
19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）若（1）中的函数与的图象有4个公共点，，，，，，，，求的值；
（3）类比上述推论，写出 “函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广的结论，并尝试写出一个符号语言表述的形式．
【答案】（1）
（2）
（3）函数为偶函数（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）设对称中心坐标为，根据题意得到为奇函数，得到，解得答案.
（2）确定函数fx与图象4个公共点也关于点对称，得到答案.
（3）根据奇函数的对称类比得到答案.
【小问1详解】
设对称中心坐标为，根据题意得到为奇函数，
对任意，恒成立，
即，
化简得恒成立，
则，解得，
所以函数图象的对称中心为.
【小问2详解】
对于函数，有为奇函数，
所以函数的图象关于点对称，
所以函数fx与图象4个公共点也关于点对称，
所以.
【小问3详解】
函数的图象关于直线轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.
【点睛】方法点睛：（1）、（2）中对于函数的对称中心结合题意可得任意，恒成立，从而也可求出为奇函数；（3）中利用类比即可求得函数的图象关于直线轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.