广东省中山市八校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省中山市八校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是( )
A. B. C. D.
2.若m是方程x2−x−2023=0的一个根，则m2−m+1的值为( )
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
3.把函数y=−3x2的图象沿x轴向右平移5个单位，得到的图象的解析式为( )
A. y=−3x2+5B. y=−3x2−5C. y=−3(x+5)2D. y=−3(x−5)2
4.电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达36亿元，将增长率记作x，则方程可以列为( )
A. 4+4x+4x2=36B. 4(1+x)2=36
C. (1+x)2=36D. 4+4(1+x)+4(1+x)2=36
5.如图，△ABC中，∠C=30∘，将△ABC绕点A顺时针旋转60∘得△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB的度数是( )
A. 70∘B. 90∘C. 60∘D. 55∘
6.关于y的一元二次方程y2+ny−n−2=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不确定
7.关于二次函数y=x2+2x−3的图象，下列说法正确的是( )
A. 对称轴是直线x=1B. 图象与x轴没有交点
C. 顶点坐标为(1,2)D. 当x>−1时，y随x的增大而增大
8.汽车刹车后行驶的距离S(单位：米)关于行驶时间t(单位：秒)的函数关系式是S=6t−t2则汽车从刹车到停止所用时间为( )
A. 4秒B. 3秒C. 2秒D. 1秒
9.某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y=−16(x−5)2+6.则CD的长为( )m.
A. 18B. 20C. 22D. 30
10.如图，是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b>2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为−3和1；④a−2b+c>0.其中正确的命题是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.点M(4,−3)关于原点对称的点N的坐标是______.
12.若函数y=x2−6x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m=______.
13.如图，在△ABC中，∠CAB=62∘，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′//AB，则旋转角的度数为______.
14.现要在一个长为30m，宽为20m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应是______m.
15.校运会上，一名男生推铅球，出手点A距地面53m，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是4m时，达到最大高度3m，那么该名男生推铅球的成绩是______m.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解方程：8(x−3)+4x(x−3)=0.
17.(本小题7分)
已知关于x的一元二次方程x2+x+n=0.
(1)若方程其中一个根为−2，求另一根及n值；
(2)若该方程有实数根，求n的取值范围.
18.(本小题7分)
如图，AB与CD相交于点E，EC=ED，AC//BD.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上.
(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+x+m(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与直线y2=−x−4交于点A、B，其中点B坐标为(0,−4)，点C坐标为(2,0).
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)根据图象，直接写出y220.(本小题9分)
某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
21.(本小题9分)
已知甲乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元.经市场调查发现，甲种玩具每天的销售量y1件与每件售价x元之间的函数关系为y1=−2x+100，乙种玩具每天的销售量y2件与每件售价z元之间的函数关系为y=−4x+180，其中x、z均为正整数.商店按照甲种玩具单利润是乙种玩具单利润的2倍来确定两种玩具的售价.
(1)求甲种玩具每天的销售利润W甲与甲每件售价x的关系式；
(2)写出甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式；
(3)当这两种玩具每天销售的总利润之和W总最大时，求甲种玩具的售价.
22.(本小题13分)
已知：如图，抛物线y=ax2+4x+c经过原点O(0,0)和点A(3,3)，P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B(m,0)，并与直线OA交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
(3)过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
23.(本小题14分)
已知Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB=4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP=CQ=2，将三角板CPQ绕点C旋转(保持点P在△ABC内部)，连接AP、BP、BQ.
(1)求证：AP=BQ；
(2)当PQ⊥BQ时，求AP的长；
(3)设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，直接写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称轴图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称轴图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称轴图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称轴图形，故本选项不符合题意；
故选：C.
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵m是方程x2−x−2023=0的一个根，
∴m2−m−2023=0，
∴m2−m=2023，
∴m2−m+1=2023+1=2024.
故选：C.
先根据一元二次方程解得的定义得到m2−m=2023，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】D
【解析】解：原抛物线的顶点为(0,0)，向右平移5个单位，那么新抛物线的顶点为(5,0).可设新抛物线的解析式为y=−3(x−ℎ)2+k，代入得：y=−3(x−5)2.
故选D.
抛物线平移不改变a的值．
解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
4.【答案】D
【解析】解：∵第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约4(1+x)亿元，第三天票房约4(1+x)2亿元．
依题意得：4+4(1+x)+4(1+x)2=36.
故选：D.
根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约4(1+x)亿元、第三天票房约4(1+x)2亿元，根据三天后累计票房收入达36亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
先根据旋转的性质得∠CAE=60∘，再利用三角形内角和定理计算出∠AFC=90∘，然后根据邻补角的定义易得∠AFB=90∘.
【解答】
解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60∘得△ADE，
∴∠CAE=60∘，
∵∠C=30∘，
∴∠AFC=90∘，
∴∠AFB=90∘.
故选B.
6.【答案】A
【解析】解：∵关于y的一元二次方程y2+ny−n−2=0，
∴Δ=b2−4ac=n2−4(−n−2)=n2+4n+8=(n+2)2+4>0，
∴关于y的一元二次方程y2+ny−n−2=0有两个不相等的实数根．
故选：A.
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号就可以了．
此题主要考查了一元二次方程的判别式与根的情况，判定一元二次方程判别式的符号，即可得出结论．熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式Δ=b2−4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式Δ=b2−4ac<0时，一元二次方程没有实数根．
7.【答案】D
【解析】解：二次函数y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴抛物线的对称轴是直线x=−1，顶点坐标(−1,−4)，
∵a=1>0，
∴开口向上，图象与x轴有交点，当x>−1时，y随x的增大而增大．
故选项A，B，C错误．选项D正确．
故选：D.
二次函数y=x2+2x−3=(x+1)2−4，推出抛物线的对称轴是直线x=−1，顶点坐标(−1,−4)，由a=1>0，推出开口向上，图象与x轴有交点，当x>−1时，y随x的增大而增大．由此即可判断．
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．
8.【答案】B
【解析】解：∵S=6t−t2=−t2+6t=−(t−3)2+9，
∴当t=3时，S最大值为9.
∴从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是3秒．
故选：B.
依据题意，利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
本题主要考查了利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：当y=0时，−16(x−5)2+6=0，
解得：x1=−1(舍去)，x2=11，
∴点D的坐标为(11,0)，
∴OD=11m.
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC=OD=11m，
∴CD=OC+OD=22m.
故选：C.
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD=OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标．
10.【答案】C
【解析】解：∵x=1时，y=0，
∴a+b+c=0，所以①正确；
∵x=−b2a=−1，
∴b=2a，所以②错误；
∵点(1,0)关于直线x=−1对称的点的坐标为(−3,0)，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(−3,0)和(1,0)，
∴ax2+bx+c=0的两根分别为−3和1，所以③正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
而a+b+c=0，b=2a，
∴c=−3a，
∴a−2b+c=−3b，
∵b>0，
∴−3b<0，所以④错误．
故选：C.
根据抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)对①进行判断；根据对称轴方程为x=−b2a=−1对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为(−3,0)和(1,0)，由此对③进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，得到c<0，而a+b+c=0，则a−2b+c=−3b，由b>0，于是可对④进行判断．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c).
11.【答案】(−4,3)
【解析】解：由M(4,−3)关于原点对称的点N的坐标是(−4,3)，
故答案为：(−4,3).
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
12.【答案】9
【解析】解：根据题意得b2−4ac=(−6)2−4m=0，
解得m=9.
故答案为9，
根据△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=(−6)2−4m=0，然后解关于m的方程即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
13.【答案】56∘
【解析】解：∵CC′//AB，
∴∠ACC′=∠CAB=62∘
∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C=62∘，
∴∠CAC′=180∘−∠ACC′−∠AC′C=180∘−2×62∘=56∘，
∴旋转角为56∘.
故答案为56∘.
先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=62∘，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=62∘，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14.【答案】1
【解析】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30−2x)(20−x)=532，
整理，得x2−46x+88=0.
解得，x1=1，x2=34.
∵34>30(不合题意，舍去)，
∴x=1.
答：小道进出口的宽度应为1米．
故答案为：1.
设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为864m2找到正确的等量关系并列出方程．
15.【答案】10
【解析】解：设二次函数的解析式为y=a(x−4)2+3，
把(0,53)代入y=a(x−4)2+3，
解得，a=−112，
则二次函数的解析式为：y=−112(x−4)2+3=−112x2+23x+53；
令y=0得到：−112x2+23x+53=0，
解得，x1=−2(舍去)，x2=10，
则铅球推出的距离为10m.
故答案为10.
把(0,53)代入y=a(x−4)2+3，求出a的值即可，再求出抛物线与x轴的交点即可解决问题．
本题主要考查二次函数的实际应用，孰练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
16.【答案】解：∵8(x−3)+4x(x−3)=0，
∴(x−3)(4x+8)=0，
则x−3=0或4x+8=0，
解得x1=3，x2=−2.
【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2+x+n=0的一个根是−2，
∴4−2+n=0，
∴n=−2，
∴方程为x2+x−2=0，
解得x1=−2，x2=1，
∴另一个根为1，n=−2；
(2)∵一元二次方程x2+x+n=0有实数根，
∴Δ≥0，
∴1−4n≥0，
∴n≤14.
【解析】(1)根据方程根的定义求出n的值，再解方程即可；
(2)根据Δ≥0，构建不等式求解．
本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】(1)证明：∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D，
在△AEC和△BED中，
∠A=∠B∠C=∠DEC=ED，
∴△AEC≌△BED(AAS)；
(2)如图，四边形DMCN即为所求作的菱形．
【解析】(1)根据平行，得出∠A=∠B，∠ACD=∠BDC，利用AAS证明全等；
(2)过点E作CD垂线即可．
本题考查了全等三角形的判定，菱形的构造，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．
19.【答案】解：(1)把点B(0,−4)，C(2,0)代入y1=ax2+x+m得m=−44a+2+m=0，
解得a=12m=−4，
∴此抛物线的函数解析式为y=12x2+x−4；
(2)把y=0代入y2=−x−4得，−x−4=0，解得x=−4，
∴A(−4,0)，
由图象可知，y20.
【解析】(1)利用待定系数法求得即可；
(2)求得A点的坐标，然后根据图象即可求解．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
20.【答案】解：(1)根据题意得：(30−2x)x=72，
即x2−15x+36=0，即(x−3)(x−12)=0，
解得：x=3或x=12，
∵30−2x≤18，
∴x≥6，故x=12；
(2)设苗圃园的面积为y，
∴y=x(30−2x)=−2x2+30x=−2(x−152)2+2252，
∵a=−2<0，
∴苗圃园的面积y有最大值，
又30−2x≥8，解得x≤11，
由(1)，x≥6，可得6≤x≤11，
∴当x=152时，即平行于墙的一边长为15米时，y最大=112.5平方米；
当x=11时，y最小=88平方米．
【解析】本题考查了二次函数、一元二次方程、一元一次不等式的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
(1)根据题意得方程求解即可；
(2)设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y=x(30−2x)，配方后根据二次函数的性质求解即可．
21.【答案】解：(1)由题意，∵甲种玩具每天的销售量y1件与每件售价x元之间的函数关系为y1=−2x+100，且甲种玩具每件的进价分别为10元，
∴甲种玩具每天的销售利润W甲与甲每件售价x的关系式为W甲=(x−10)(−2x+100)=−2x2+120x−1000.
(2)由题意，∵按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，且销售单价高于进价，
∴x−10=2(z−15)，即x=2z−20(z>15).
(3)∵x=2z−20，
∴z=12x+10，
∴y2=−4z+180=−4(12x+10)+180=−2x+140，
∴W总=(x−10)(−2x+100)+(12x+10−15)(−2x+140)=−3x2+200x−1700=−3(x−1003)2+49003，
∵−3<0，且x，z均为非负整数，
∴x=34时，W总取最大值，
∴甲种玩具每件的销售价格是34元．
【解析】(1)依据题意，由甲种玩具每天的销售量y1件与每件售价x元之间的函数关系为y1=−2x+100，且甲种玩具每件的进价分别为10元，可得甲种玩具每天的销售利润W甲与甲每件售价x的关系式为W甲与=(x−10)(−2x+100)=−2x2+120x−1000，进而得解；
(2)依据题意，由按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，且销售单价高于进价，可得x−10=2(z−15)，即x=2z−20(z>15)，进而可以得解；
(3)依据题意，由x=2z−20，从而z=12x+10，从而y2=−4z+180=−4(x+10)+180=−2x+140，故W总=(x−10)(−2x+100)+(12x+10−15)(−2x+140)=−3x2+200x−1700=−3(x−1003)2+49003，再由二次函数的性质可以判断得解．
本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22.【答案】解：(1)把原点O(0,0)和点A(3,3)代入y=ax2+4x+c得c=09a+12+c=3，
解得a=−1c=0，
∴抛物线的解析式为y=−x2+4x；
(2)∵0又∵B(m,0)，PB⊥x轴，点P在y=−x2+4x上，点C在OA上，A(3,3)，
则可得直线OA的解析式为y=x，
∴P点坐标为(m,−m2+4m)，C点坐标为(m,m)
∴PC=PB−CB=−m2+4m−m=−m2+3m=−(m−32)2+94，
∵−1<0，开口向下，
∴当m=32时，PC有最大值，最大值为94，
∴当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是94；
(3)存在，理由如下：
∵A(3,3)，
∴AD=3，
由(2)知，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是94，
∴点P在直线OA的下方，
过点D作DP//OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC和四边形ADP′C′是平行四边形，
∵直线OA的解析式为y=x，
∴直线DP的解析式为y=x−3，
由y=x−3y=−x2+4x，
解得x=3− 212y=−3− 212或x=3+ 212y=−3+ 212，
∴m的值为3± 212.
【解析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值．
(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)设P点坐标为(m,−m2+4m)，则C点坐标为(m,m)，可得PC=PB−CB=−m2+4m−m=−m2+3m，利用二次函数的性质即可解决问题；
(3)因为AD=3，再由(2)可知，点P在直线OA的下方，过点D作DP//OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC和四边形ADP′C′是平行四边形，求出直线DP的解析式，再利用方程组即可解决问题；
23.【答案】(1)证明：如图1中，
∵CA=CB，CP=CQ，∠ACB=∠PCQ=90∘，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ，
∴PA=BQ.
(2)解：如图2中，作CH⊥PQ于H.
∵PQ⊥BQ，
∴∠PQB=90∘，∵∠CQP=∠CPQ=45∘，
∴∠CQB=135∘，
∵△ACP≌△CBQ，
∴∠APC=∠CQB=135∘，
∴∠APC+∠CPQ=180∘，
∴A、P、Q共线，
∵PC=2，
∴CH=PH= 2，
在Rt△ACH中，AH= AC2−CH2= 42−( 2)2= 14，
∴PA=AH−PH= 14− 2.
(3)解：结论：EP+EQ= 2EC.
理由：如图3中，作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O.
∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAO=∠OBE，
∵∠AOC=∠BOE，
∴∠OEB=∠ACO=90∘，
∵∠M=∠CNE=∠MEN=90∘，
∴∠MCN=∠PCQ=90∘，
∴∠PCN=∠QCM，
∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90∘，
∴△CNP≌△CMQ，
∴CN=CM，QM=PN，
∴CE=CE，
∴△CEM≌△CEN，
∴EN=EM，∠CEM=∠CEN=45∘
∴EP+EQ=EN+PN+EM−MQ=2EN，EC= 2EN，
∴EP+EQ= 2EC.
当点E在BQ的延长线上时，同法可得：EP−EQ= 2EC.
【解析】(1)欲证明PA=BQ，只要证明△ACP≌△BCQ即可；
(2)如图2中，作CH⊥PQ于H.首先证明A、P、Q共线，利用勾股定理求出AH，PH即可解决问题；
(3)结论：EP+EQ= 2EC.①如图3中，作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O.只要证明△CNP≌△CMQ，△CEM≌△CEN，即可解决问题；②当点E在BQ的延长线上时，同法可得：EP−EQ= 2EC.
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．