九年级上学期12月数学质量检测题

这是一份九年级上学期12月数学质量检测题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 在直角三角形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，根据特殊角的三角函数值，即可求解；
【详解】，
，
故选：A．
2. 若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标的特征，把点代入反比例函数即可求．
【详解】解：∵的图象经过，
∴．
故选：B
3. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A. 平移B. 旋转C. 轴对称D. 黄金分割
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．
故选：D
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．
4. 电路中在电压保持不变的条件下，电流与电阻成反比例关系，其函数图象如图所示，则关于的函数表达式是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】考查列反比例函数关系式，关键是根据题中所给的值确定常量电压的值．
根据电压=电流×电阻得到稳定电压的值，让即可．
【详解】解：∵当，时，
∴电压=20×11=220，
．
故选：A．
5. 已知和分别是它们的高，若，则与的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．
【详解】解：∵和分别是它们的高，
∴与的面积比，
故选：C．
6. 如果多项式的值为，则的值为（ ）
A. 2B. 2或-2C. -1D. 2或-1
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意列出关于x的方程（2x-1）2=9，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】解：依题意，得
（2x-1）2=9，
开平方，得
2x-1=±3，
则2x=1±3，
解得，x=2或x=-1．
故选D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
7. 如图，在中，，那么cs的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义直接求解即可．
【详解】

故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义.
8. 如图，，若，则的长是（ ）

A. 10B. 5C. 9D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据得出，代入数值计算出，进而可求的长．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选D．
9. 如图，在中，于点，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误；
故选C．
10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B. C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根．
2、一元二次方程的二次项系数不为0．
方程有实数根，则，建立关于a的不等式组，求出a的取值范围．
【详解】解：由题意知，且，
∴且，
故答案为：A．
11. 如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】证△BCP是等腰直角三角形，得BP=PC，再由含30°角的直角三角形的性质得PA=BP，然后由PA+PC=AC，得BP+BP=+1，求解即可．
【详解】解：由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+BP=+1，
解得：BP=1（海里），
故选：B．
【点睛】本题考查了的解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
12. 如图在直角坐标系中有两点，，点为的中点，点在轴上，若以点，，组成的三角形与相似，则点的坐标为（ ）

A. B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可得出的长，再根据与两种情况进行讨论．
详解】∵点，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵为中点，
∴，
如图，

当时，，
即，解得：，
∴，
∴点，
如图，

当时，，
即，解得：，
∴，
∴点，
综上可知：
故选：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是要进行分类讨论，不要漏解．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 若一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，熟练掌握根与系数的关系“若，是一元二次方程的两根时，则 ， ”是解题的关键．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：3．
14. 拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是_______m.
【答案】16
【解析】
【分析】利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高，
∴，
解得：，
则（m）．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．
15. 如图1是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图2是其工作示意图，，拉杆，则之间的距离为______m．
【答案】2.1
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即两梯杆跨度之间距离为，
故答案为：．
16. 如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两反比例函数的图象于点，．若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数比例系数的几何意义．应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，
由反比例函数比例系数的几何意义可知，
，，
∵，
∴，
解：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
解：移项，得． 第一步
二次项系数化为1，得． 第二步
配方，得． 第三步
因此． 第四步
由此得或． 第五步
解得． 第六步
（1）王明的解题过程从第______步开始出现了错误；
（2）请利用配方法正确地解方程．
【答案】（1）二 （2）
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤；
（2）由配方法解一元二次方程即可得到答案；
【小问1详解】
解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2，
故答案为：二；
小问2详解】
．
移项，得：，
二次项系数化为1，得：，
配方，得：，
因此，
由此得：或，
解得：．
18. 已知反比例函数，其函数图象位于第一、三象限．
（1）求取值范围；
（2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可；
（2）先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限及增减性，进而可得出结论．
【小问1详解】
解：该反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
解得．
【小问2详解】
解：该反比例函数图象在第一、三象限，
在每个象限内，随的增大而减小．
又，
．
19. 如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且．
（1）求点P的纵坐标；
（2）的值为______．
【答案】（1）点P的纵坐标为8
（2）
【解析】
【分析】本题考查了已知正弦值求边长，求角的余弦值，掌握三角函数值转化为边的比是解题的关键．
（1）由，可设，，利用勾股定理列方程，求出x的值即可．
（2）由余弦的定义即可求解；
【小问1详解】
如图，过点P作轴于点M， 则，
∵点P的横坐标为6，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得（负数舍去），
，
点P的纵坐标为8．
【小问2详解】
由（1）知，，
，
故答案为：．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点都在小正方形网格的格点上．
（1）以原点为位似中心，在轴右侧画，使与的相似比是；
（2）若的边上的中线长为，则的边上的中线长为______．（用含的代数式表示）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，掌握位似变换的作图是做题的关键；
（1）延长到，使，延长到，使，延长到，使，则即为所作；
（2）由相似三角形对应边成比例即可求解；
【小问1详解】
解：如图，即为所作；
【小问2详解】
与的相似比是，
的边上的中线与的边上的中线的比为，
的边上的中线长为，
的边上的中线长为，
故答案为：．
21. 如图1是一座瞭望塔，数学兴趣小组的同学利用无人机测量该瞭望塔的高度，如图2是其示意图，当无人机飞至距地面的处，即时，测得瞭望塔的顶部C处的俯角为，底部B处的俯角为，求瞭望塔的高度（参考数据：，）
【答案】瞭望塔的高度约为
【解析】
【分析】本题考查解仰角俯角问题的解直角三角形应用，解题的关键是构造直角三角形，合理利用三角函数关系；过点A作于E交的延长线于点E，则 米，在中，可求出，在中可求出，再利用即可得到答案．
【详解】解：如图，延长交于点，，

由题意知，，，
在中，
，
．
在中，
，
，
．
答：瞭望塔的高度约为．
22. 如图，在中，．在BC的延长线上取一点B，使，连接AE，AE与CD交于点F．
（1）求证：；
（2）求DF的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，从而得出，即证明；
（2）由平行四边形的性质可得出，，即得出，再根据相似三角形的性质可得出，即，最后结合，即可求出DF的长．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，即．
∵，
∴，即．
∵,
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键．
23. 某景区八月份的游客人数为64万人，九、十月份的游客人数持续下降，十月份的人数为49万人．
（1）该景区九、十月份游客人数的月平均下降率为______．
（2）该景区内某商店销售一种纪念品，已知每件纪念品的成本是30元．如果每件的售价定为40元，那么日销售量将达到100件．在库存不足的情况下，店主想提价销售，若售价每提高5元，日销售量将减少10件，要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时尽可能让利于游客，那么每件纪念品的售价应定为多少元？（利润＝售价－成本）
【答案】23
24. 每件纪念品的售价应定为50元
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程增长率问题和一元二次方程营销问题解题的关键；
（1）根据增长率问题列出方程，解方程即可得到答案；
（2）根据营销问题列出方程，解方程即可得到答案；
【小问1详解】
解：设该景区九、十月份游客人数的月平均下降率为x，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)，
故答案为：．
【小问2详解】
设每件纪念品的售价定为y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
由题意得，
整理得，
解得，
尽可能让利于游客，
．
答：每件纪念品的售价应定为50元．
24. 如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．

（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可．
【小问1详解】
∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
∴，
解得，
故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式．
【小问2详解】
∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴，设，
根据题意，得，
∴，
解得或，
故点C的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键．
25. 某中学九（1）班的同学小章和小南在校园的操场边看见一棵特别高的黄果树，他们准备测量这棵黄果树的高度．如图，小章在点A处观测到黄果树的最高点P的仰角为，再沿正对黄果树的方向前进至点B处测得最高点P的仰角为，小南先在点C处竖立一根长为的标杆，再后退至使其眼睛所在的位置点D、标杆顶F、最高点P在一条直线上，此时测得最高点P的仰角为，已知两人的眼睛距离地面的高度均为（即）．
（1）求黄果树的高度．（结果保留一位小数，参考数据：）
（2）测量结束时小章站在点E处，小南站在原测量点，两人约在树下点Q处见面，小章步行的速度为，小南步行的速度是他的2倍，谁先到达点Q？请说明理由．
【答案】（1）
（2）小章先到达点，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）设与相交于点G，根据题意可得：， ，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于x的方程，进而求出的长，最后进行计算即可解答；
（2）设与相交于点H，根据题意可得：，则，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答．
【小问1详解】
解：如图，设与相交于点G，与交于点．
由题意，得．设，则．
在中，，
．
在中，，
，
，
解得，
，
，
黄果树的高度约为．
【小问2详解】
解：小章先到达点．
理由：由题意，得．
，
．
在中，，
，则．
小章步行的速度为，小南步行的速度是小章的2倍，
小南步行的速度为．
，．
，
小章先到达点．