精品解析：广东省广州市番禺区象贤中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数，则在复平面内z对应的点的坐标是（ ）
A B. C. D.
3. 已知三个顶点分别为，，，则边上中线所在的直线方程为（ ）
A. B.
C D.
4. 设为ΔABC所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是
A. B.
C. D.
5. 函数的大致图象为
A. B.
C. D.
6. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知实数x、y满足方程，则的最大值为（ ）
A. 0B. C. 4D.
8. 在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分.每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数则下列各选项正确的是（ ）
A. 最小正周期为
B. 是的一条对称轴
C. 在区间上单调递减
D. 向右平移个单位是一个奇函数.
10. 已知点在圆上，直线与轴､轴分别交于两点，则（ ）
A 直线与圆相离
B. 点到直线的距离小于7
C. 当最大时，
D. 以为直径的圆与圆的公共弦所在直线的方程为
11. 如图，正方体的棱长为1，E为的中点.下列说法正确的是（ ）
A. 直线与平面所成角是B. 在直线上存在点F，使EF⊥平面
C. 直线与直线AD是异面直线D. 点B到平面的距离是
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 若，则__________．
13. 在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为__________.
14. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______.
四、解答题（本大题共7小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在平面直角坐标系中，直线和直线的交点为P．
(Ⅰ)直线l经过点P，且直线l与直线垂直，求直线l的方程；
(Ⅱ)直线m经过点P，且直线m与直线平行，求直线m的方程；
(Ⅲ)若直线过点P，求的最小值．
16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
17. 已知圆心为的圆经过点
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆C交于两点，且，求的值.
（3）求直线被圆截得弦长的最小值.
18. 2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名同学的平均成绩；
（2）先用分层抽样的方法从评分在和的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学的分数都在区间的概率．
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.