陕西省洛南中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

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注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，考试结束后，将答题卡交回;选择题要用2B铅笔填涂，所有试题都在答题卡上作答，写在本试卷上无效.
2.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的运算求解即可.
【详解】，
故.
故选：B
2. 下列函数是幂函数且在是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确.
【详解】由幂函数的概念可以排除B、D选项，
而在是减函数，在是增函数，
故答案为：C.
3. 函数的图象是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将函数表达式化简成分段函数形式即可判断.
【详解】，对比选项可知，只有C符合题意.
故选：C.
4. 设，则的分数指数幂形式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解.
【详解】．
故选：D
5. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】直接由函数的定义代入计算即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
6. 已知p： q：，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.
【详解】当时，，所以，所以充分性满足，
当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
7. 若不等式对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式求出的最小值，然后解不等式即得．
【详解】∵不等式对任意， 恒成立，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴，∴，∴实数取值范围是，
故选：B
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，由于参数已经分离，因此只要求得的最小值，解相应不等式即可得．
8. 若定义域为的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，
再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
由可得且
可得或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】逐一判断函数的奇偶性可得.
【详解】对A：因为函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故A错；
对B：因为，所以为偶函数，故B错；
对C：因为，所以为奇函数，故C正确；
对D：因为，所以为奇函数，故D正确.
故选：CD
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 函数与函数表示同一个函数
B. 若是一次函数，且，则
C. 函数的图象与轴最多有一个交点
D. 函数在上是单调递减函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D.
【详解】A：对于，有，解得，
则的定义域为，
对于，有，解得或，
则的定义域为，
即与的定义域不一致，
所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误；
B：设，则，
又，所以，解得或，
所以或，故B错误；
C：由函数的定义知，的图象与轴最多有一个交点，故C正确；
D：函数在上是单调递减函数，故D错误.
故选：ABD
11. 已知正数，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式公式求解即可.
【详解】对于A：，当且仅当时，等号成立，
又因为，所以，即，故A正确；
对于B：，当且仅当时，等号成立，
因为，，所以，故B正确；
对于C：，当且仅当时，等号成立，
所以，故C错误；
对于D：由 ，为正数，若，又，
所以，则，
所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12.
【答案】##
【解析】
【分析】直接利用指数幂的运算法则化简即可.
【详解】.
故答案为：.
13. 已知函数是R上的奇函数，当时，，则______；
【答案】2
【解析】
【分析】利用奇函数求及，再利用已知条件求解即可.
【详解】由于函数是R上的奇函数，所以，，
当时，有，
又当时，，所以有，
即，
故答案为：.
14. 若函数的定义域是R，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】化成在R上恒成立，结合二次函数进行求解即可.
【详解】因为函数的定义域为R，
所以在R上恒成立，
当时，符合题意，
当时，，解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 若集合，.
（1）若，求；
（2）当时，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得，根据并集运算定义求解；
（2）由条件可得，结合集合包含关系列不等式求结论.
小问1详解】
因为，
∴，又
∴.
【小问2详解】
∵，∴，
∴，
∴，
∴实数取值范围为.
16. 已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析
（2）函数在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性定义可判断函数为奇函数.
（2）函数在上单调递增，利用作差法，即可证明.
（3）可证得函数在上单调递减，结合（2）得在上单调递减；在上单调递增，可得函数的最大值和最小值，即可求得函数的值域.
【小问1详解】
函数是奇函数，证明如下：
函数定义域为，
∵，都有，且
，
∴函数为奇函数.
【小问2详解】
函数在上单调递增，证明如下：
，且，
则
，
由得，，，，
∴，即，
∴函数在上单调递增.
【小问3详解】
设任意，且，
则
，
由得，，，，
∴，即，
所以函数在上单调递减，
结合（2）得在上单调递减；在上单调递增，
，，
故函数的值域为．
17. 已知函数
（1）求函数的解析式；
（2）求关于的不等式解集.（其中）
【答案】（1） （2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）令，则，即可得；
（2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可.
【小问1详解】
由题意，函数，
令，
则，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
即不等式转化为，
则，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.
18. “三星堆”考古发掘出大量的古代象牙，博物馆需要设计一个透明且密封的长方体玻璃保护罩，并充入昂贵的保护液，保护出土的这些古代象牙，该博物馆需要支付的总费用由以下两部分构成：①保护液的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少，且每立方米的保护液费用为500元.②保险费，需支付的保险费为（元），保护罩的容积为，与成反比，当容积为时，支付的保险费为4000元.
（1）求该博物馆支付的总费用（元）与保护罩容积之间的函数关系式；
（2）如何设计保护罩的容积，使博物馆支付的总费用最小?
【答案】（1）；
（2）当保护罩的容积为时，博物馆支付的总费用最小.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出反比例系数，再列出函数关系式即得.
（2）由（1）的关系式，利用基本不等式求出最小值即得.
【小问1详解】
设需要支付的保险费为，当时，，解得，
所以总费用.
【小问2详解】
由（1）知
，当且仅当，即时等号成立，
所以当保护罩的容积为时，博物馆支付的总费用最小.
19. 已知集合.
（1）判断5，12，14是否属于，并说明理由；
（2）集合，证明：；
（3）写出集合中的所有偶数.
【答案】（1），，理由见解析
（2）证明见解析 （3），
【解析】
【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素；
（2）由，即可证明；
（3）根据，同奇同偶及，可得中所有偶数的形式.
【小问1详解】
∵，，∴
假设，则，
且，，
∴，或，均无整数解，∴
【小问2详解】
∵集合，恒有
∴，∴
【小问3详解】
集合，成立，
同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数，
一奇一偶时，，均为奇数，为奇数.
因为，故，
所以，集合中的所有偶数为，.