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解析：山东省菏泽市曹县 八校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题（解析版）
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这是一份解析：山东省菏泽市曹县 八校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间120分钟，满分120分）
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分36分．
1. 围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据将图形沿一条直线折叠，两边完全重合的图形叫轴对称图形逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
选项A、B、D的图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 三角形的外角和等于
B. 一个角的补角一定大于这个角
C. 直角三角形的两个锐角互余
D. 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查多边形的外角和定理、补角的定义及直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．根据多边形的外角和定理、直角三角形的性质及补角的定义逐一判断即可得答案．
【详解】解：A．三角形的外角和等于，故该选项正确，不符合题意，
B．当一个角是直角或钝角时，这个角的补角等于或小于这个角，故该选项不正确，符合题意，
C．直角三角形的两个锐角互余，故该选项正确，不符合题意，
D．三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，故该选项正确，不符合题意，
故选：B．
3. 如图，△EFG≌NMH，△EFG的周长为15cm，HM＝6cm，EF＝4cm，EH＝1cm，则HG等于（ ）
A 4 cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据全等三角形对应边相等可得MN＝EF＝4cm，FG＝MH，△HMN的周长＝△EFG的周长＝15cm，再根据等式的性质可得FG﹣HG＝MH﹣HG，即GM＝FH，进而可得答案．
【详解】∵△EFG≌△NMH，
∴MN＝EF＝4cm，FG＝MH，△HMN的周长＝△EFG的周长＝15cm，
∴FG﹣HG＝MH﹣HG，
即FH＝GM＝1cm，
∵△EFG的周长为15cm，
∴HM＝15﹣6﹣4＝5cm，
∴HG＝5﹣1＝4cm，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．
4. 若点与点N关于x轴对称，则点N的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据关于轴的对称点的坐标特点即横坐标不变，纵坐标互为相反数进行分析可得答案．
【详解】解：∵点与点N关于轴对称，
∴点N的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查关于轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
5. 一个三角形的两边长分别是10和5，第三边的长恰好是7的整数倍，那么第三边的长是（ ）
A. 7B. 14C. 21D. 7或14
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边的长恰好是7的整数倍，进行判断即可．
【详解】解：∵三角形的两边长分别是10和5，设第三边长为，
∴，即：，
∵第三边的长恰好是7的整数倍，
∴第三边的长是或；
故选：D．
6. AD、AE分别是△ABC的中线和高,则AD和AE的大小关系为（ ）
A. AD＞AEB. AD＜AEC. AD≥AED. AD≤AE
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂线段最短求解即可.
【详解】∵AD、AE分别是△ABC的中线和高,
∴AD≥AE
故选C.
【点睛】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解答本题的关键.
7. 如图，点，，，在同一条直线上，已知，，添加下列条件还不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各个选项中的条件和全等三角形的判定可以解答本题．
【详解】解：已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠ABC=∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠A=∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是EB=CF，可得得到BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的判定解答．
8. 如图，，，于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：，
，
，
又，
．
故选：C．
9. 如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得，进而由余角性质得到，即可得到，得到，，再根据线段的和差关系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
．
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
故选：．
10. 如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点D，连结，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. 是线段的垂直平分线
C. D. 四边形的面积为
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．根据作图方法可得，利用垂直平分线的判定方法可得BD垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，利用面积公式可计算四边形的面积．
【详解】解：根据作图方法可得，
，
点在的垂直平分线上，
∵AD=CD，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，故B结论正确；
∴，故A结论正确；
，
，故C结论正确；
，
∴四边形的面积，故D错误．
故选：D．
11. 如图，把一张纸片△ABC沿着DE对折，点C落在△ABC的外部点C'处，若∠1＝87°，∠2＝17°，则∠C的度数是（ ）
A. 17°B. 34°C. 35°D. 45°
【答案】C
【解析】
【分析】由折叠性质可得出∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合平角等于180°即可求出∠CDE和∠CED的度数，再在△CDE中，利用三角形内角和定理可求出∠C的度数．
【详解】解：由折叠的性质可得出∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED．
∵∠1+∠C′DE+∠CDE＝180°，∠CED+∠C′ED﹣∠2＝180°，
∠1＝87°，∠2＝17°，
∴∠CDE＝×（180°﹣87°）＝（）°，
∠CED＝（180°+17°）＝（）°．
在△CDE中，∠C+∠CDE+∠CED＝180°，
∴∠C＝180°﹣（）°﹣（）°＝35°．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
12. 中，，高和高所在直线交于O，则的大小为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高线，分①是锐角三角形时，根据四边形的内角和等于360度求出，再根据对顶角相等解答即可；②是钝角三角形时，根据三角形内角和定理可得．
【详解】解：分两种情况：
是锐角三角形时，如图：
和是高，
，
．
；
是钝角三角形时，如图：
在和中，，，
．
故选A．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．
13. 在等腰中，若，，则的度数为________．
【答案】##45度
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质、三角形内角和定理，根据等边对等角结合三角形内角和为计算即可得解．
【详解】解：∵在等腰中，若，，
∴，
故答案为：．
14. 若实数、满足，则以、的值为两边长的等腰三角形的腰长为____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查绝对值和算术平方根的非负性、三角形三边关系及等腰三角形的定义．正确求出、的值是解题关键．根据绝对值与算术平方根的非负性即可求出、的值．根据三角形三边关系及等腰三角形的定义即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∵、为等腰三角形的两边长，
∴等腰三角形的三边长为、、或、、，
当三边长为、、时，，不能构成三角形，不符合题意，
当三边长为、、时，能构成三角形，此时腰长为，
故答案为：
15. 如图，已知，要使，你添加的一个条件是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意三角形中，，根据，当时或当时即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴当时，，
当时，，
故答案为：或．
16. 如图，，，，，则___________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】先利用三角形的外角的性质求解，再证明，可得，最后利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
17. 如图，在中，，，若沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，小明同学得出了下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号为________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
由折叠的性质可知，，，，可知①②正确；由，可得，则，，可知④正确；由，可知③错误；然后作答即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，
∴①②正确，故符合要求；
∵，，
∴，
∴，
∴，，④正确，故符合要求；
∴，③错误，故不符合要求；
故答案为：①②④．
18. 如图，在中，已知点D、E、F分别是、AD、的中点，且，则阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由三角形中线得到，，，则，即可得到答案．
【详解】解：如图：
∵点D是的中点，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
即阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
三、解答题：本大题共6个小题，每小题10分，满分60分．
19. 如图，已知各顶点坐标分别为、、．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）直接写出的各顶点坐标；
（3）试求的面积．
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据轴对称的性质作出点、、，再顺次连接即可得解；
（2）根据图形写出坐标即可得解；
（3）连接，，再根据三角形面积公式计算即可得解．
【小问1详解】
解：如图，即为所作，
；
【小问2详解】
解：由图可得：，，；
【小问3详解】
解：如图：连接，，
，
则的面积．
20. 如图，已知：，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先由平行线的性质得出，再由证明，得出结论即可．
【详解】证明：，
．
在和中，
，
．
．
．
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
21. 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河岸l的什么地方，才能使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，写出作法并说明你的理由（尺规作图，保留作图痕迹）．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查路程最短的问题，实质利用了线段垂直平分线的性质，是考试中经常出现的问题．
可作点关于小河的对称点，连接与小河的交点，就是所求．
【详解】解：先作点关于河岸对称点，然后连接交河岸于点，点即为所求．
理由：根据作图可知：直线l垂直平分，
∴，
∴，
∴当三点共线时，此时到两地的距离最短，最短为，
∴点P即为所求的位置．
22. 已知等腰的周长为30，求腰长的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边．
根据三角形的性质，两边之和大于第三边列出不等式可求出腰长的取值范围．
【详解】解：设等腰的腰长为x，则底边长为，
，解得：；
又∵，解得：；
故腰长的取值范围为．
23. 如图，在中，根据要求完成下列问题：
（1）分别作、平分线、，使之相交于点P（尺规作图，不写作法但要保留作图痕迹）；
（2）求证点P在的平分线上．
【答案】（1）作图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练运用角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的画法直接作图即可；
（2）利用角平分线的性质，和三角形全等的判定与性质证明即可．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
如图所示，过分别作的垂线，垂足为，连接，
为的角平分线，
，
为的角平分线，
，
，
在与中，
，
≌，
，
即为的角平分线，
点P在的平分线上．
24. 已知：AD平分∠BAC，ADCE，AF⊥CE，求证：EF＝CF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义推出∠E＝∠ACF，进而得到AC＝AE，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解．
【详解】证明：∵AD∥CE，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACF，
∴AC＝AE，
∵AF⊥CE，
∴EF＝CF．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定、平行线的性质是解题的关键．
（时间120分钟，满分120分）
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分36分．
1. 围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据将图形沿一条直线折叠，两边完全重合的图形叫轴对称图形逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
选项A、B、D的图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 三角形的外角和等于
B. 一个角的补角一定大于这个角
C. 直角三角形的两个锐角互余
D. 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查多边形的外角和定理、补角的定义及直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．根据多边形的外角和定理、直角三角形的性质及补角的定义逐一判断即可得答案．
【详解】解：A．三角形的外角和等于，故该选项正确，不符合题意，
B．当一个角是直角或钝角时，这个角的补角等于或小于这个角，故该选项不正确，符合题意，
C．直角三角形的两个锐角互余，故该选项正确，不符合题意，
D．三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，故该选项正确，不符合题意，
故选：B．
3. 如图，△EFG≌NMH，△EFG的周长为15cm，HM＝6cm，EF＝4cm，EH＝1cm，则HG等于（ ）
A 4 cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据全等三角形对应边相等可得MN＝EF＝4cm，FG＝MH，△HMN的周长＝△EFG的周长＝15cm，再根据等式的性质可得FG﹣HG＝MH﹣HG，即GM＝FH，进而可得答案．
【详解】∵△EFG≌△NMH，
∴MN＝EF＝4cm，FG＝MH，△HMN的周长＝△EFG的周长＝15cm，
∴FG﹣HG＝MH﹣HG，
即FH＝GM＝1cm，
∵△EFG的周长为15cm，
∴HM＝15﹣6﹣4＝5cm，
∴HG＝5﹣1＝4cm，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．
4. 若点与点N关于x轴对称，则点N的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据关于轴的对称点的坐标特点即横坐标不变，纵坐标互为相反数进行分析可得答案．
【详解】解：∵点与点N关于轴对称，
∴点N的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查关于轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
5. 一个三角形的两边长分别是10和5，第三边的长恰好是7的整数倍，那么第三边的长是（ ）
A. 7B. 14C. 21D. 7或14
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边的长恰好是7的整数倍，进行判断即可．
【详解】解：∵三角形的两边长分别是10和5，设第三边长为，
∴，即：，
∵第三边的长恰好是7的整数倍，
∴第三边的长是或；
故选：D．
6. AD、AE分别是△ABC的中线和高,则AD和AE的大小关系为（ ）
A. AD＞AEB. AD＜AEC. AD≥AED. AD≤AE
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂线段最短求解即可.
【详解】∵AD、AE分别是△ABC的中线和高,
∴AD≥AE
故选C.
【点睛】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解答本题的关键.
7. 如图，点，，，在同一条直线上，已知，，添加下列条件还不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各个选项中的条件和全等三角形的判定可以解答本题．
【详解】解：已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠ABC=∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠A=∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是EB=CF，可得得到BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的判定解答．
8. 如图，，，于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：，
，
，
又，
．
故选：C．
9. 如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得，进而由余角性质得到，即可得到，得到，，再根据线段的和差关系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
．
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
故选：．
10. 如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点D，连结，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. 是线段的垂直平分线
C. D. 四边形的面积为
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．根据作图方法可得，利用垂直平分线的判定方法可得BD垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，利用面积公式可计算四边形的面积．
【详解】解：根据作图方法可得，
，
点在的垂直平分线上，
∵AD=CD，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，故B结论正确；
∴，故A结论正确；
，
，故C结论正确；
，
∴四边形的面积，故D错误．
故选：D．
11. 如图，把一张纸片△ABC沿着DE对折，点C落在△ABC的外部点C'处，若∠1＝87°，∠2＝17°，则∠C的度数是（ ）
A. 17°B. 34°C. 35°D. 45°
【答案】C
【解析】
【分析】由折叠性质可得出∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合平角等于180°即可求出∠CDE和∠CED的度数，再在△CDE中，利用三角形内角和定理可求出∠C的度数．
【详解】解：由折叠的性质可得出∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED．
∵∠1+∠C′DE+∠CDE＝180°，∠CED+∠C′ED﹣∠2＝180°，
∠1＝87°，∠2＝17°，
∴∠CDE＝×（180°﹣87°）＝（）°，
∠CED＝（180°+17°）＝（）°．
在△CDE中，∠C+∠CDE+∠CED＝180°，
∴∠C＝180°﹣（）°﹣（）°＝35°．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
12. 中，，高和高所在直线交于O，则的大小为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高线，分①是锐角三角形时，根据四边形的内角和等于360度求出，再根据对顶角相等解答即可；②是钝角三角形时，根据三角形内角和定理可得．
【详解】解：分两种情况：
是锐角三角形时，如图：
和是高，
，
．
；
是钝角三角形时，如图：
在和中，，，
．
故选A．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．
13. 在等腰中，若，，则的度数为________．
【答案】##45度
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质、三角形内角和定理，根据等边对等角结合三角形内角和为计算即可得解．
【详解】解：∵在等腰中，若，，
∴，
故答案为：．
14. 若实数、满足，则以、的值为两边长的等腰三角形的腰长为____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查绝对值和算术平方根的非负性、三角形三边关系及等腰三角形的定义．正确求出、的值是解题关键．根据绝对值与算术平方根的非负性即可求出、的值．根据三角形三边关系及等腰三角形的定义即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∵、为等腰三角形的两边长，
∴等腰三角形的三边长为、、或、、，
当三边长为、、时，，不能构成三角形，不符合题意，
当三边长为、、时，能构成三角形，此时腰长为，
故答案为：
15. 如图，已知，要使，你添加的一个条件是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意三角形中，，根据，当时或当时即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴当时，，
当时，，
故答案为：或．
16. 如图，，，，，则___________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】先利用三角形的外角的性质求解，再证明，可得，最后利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
17. 如图，在中，，，若沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，小明同学得出了下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号为________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
由折叠的性质可知，，，，可知①②正确；由，可得，则，，可知④正确；由，可知③错误；然后作答即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，
∴①②正确，故符合要求；
∵，，
∴，
∴，
∴，，④正确，故符合要求；
∴，③错误，故不符合要求；
故答案为：①②④．
18. 如图，在中，已知点D、E、F分别是、AD、的中点，且，则阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由三角形中线得到，，，则，即可得到答案．
【详解】解：如图：
∵点D是的中点，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
即阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
三、解答题：本大题共6个小题，每小题10分，满分60分．
19. 如图，已知各顶点坐标分别为、、．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）直接写出的各顶点坐标；
（3）试求的面积．
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据轴对称的性质作出点、、，再顺次连接即可得解；
（2）根据图形写出坐标即可得解；
（3）连接，，再根据三角形面积公式计算即可得解．
【小问1详解】
解：如图，即为所作，
；
【小问2详解】
解：由图可得：，，；
【小问3详解】
解：如图：连接，，
，
则的面积．
20. 如图，已知：，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先由平行线的性质得出，再由证明，得出结论即可．
【详解】证明：，
．
在和中，
，
．
．
．
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
21. 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河岸l的什么地方，才能使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，写出作法并说明你的理由（尺规作图，保留作图痕迹）．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查路程最短的问题，实质利用了线段垂直平分线的性质，是考试中经常出现的问题．
可作点关于小河的对称点，连接与小河的交点，就是所求．
【详解】解：先作点关于河岸对称点，然后连接交河岸于点，点即为所求．
理由：根据作图可知：直线l垂直平分，
∴，
∴，
∴当三点共线时，此时到两地的距离最短，最短为，
∴点P即为所求的位置．
22. 已知等腰的周长为30，求腰长的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边．
根据三角形的性质，两边之和大于第三边列出不等式可求出腰长的取值范围．
【详解】解：设等腰的腰长为x，则底边长为，
，解得：；
又∵，解得：；
故腰长的取值范围为．
23. 如图，在中，根据要求完成下列问题：
（1）分别作、平分线、，使之相交于点P（尺规作图，不写作法但要保留作图痕迹）；
（2）求证点P在的平分线上．
【答案】（1）作图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练运用角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的画法直接作图即可；
（2）利用角平分线的性质，和三角形全等的判定与性质证明即可．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
如图所示，过分别作的垂线，垂足为，连接，
为的角平分线，
，
为的角平分线，
，
，
在与中，
，
≌，
，
即为的角平分线，
点P在的平分线上．
24. 已知：AD平分∠BAC，ADCE，AF⊥CE，求证：EF＝CF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义推出∠E＝∠ACF，进而得到AC＝AE，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解．
【详解】证明：∵AD∥CE，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACF，
∴AC＝AE，
∵AF⊥CE，
∴EF＝CF．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定、平行线的性质是解题的关键．
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