华东师大版（2024）八年级上册2 线段垂直平分线同步训练题

这是一份华东师大版（2024）八年级上册2 线段垂直平分线同步训练题，共17页。

知识点01 线段垂直平分线的定义
线段垂直平分线的定义：
过线段的 且与线段 的直线是这条线段的垂直平分线。如图，若点C是AB的中点且MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线。

知识点02 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质：
①线段垂直平分线 线段。如图：∠PCA＝∠PCB＝ ， AC BC。
②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。即PA PB。所以△PAB是等腰三角形。
在Rt△PAC与Rt△PBC中

∴Rt△PAC≌Rt△PBC
∴∠A ∠B；∠APC ∠BPC。
【即学即练1】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm
【即学即练2】
2．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC＝18cm，AB＝10cm，则△ABD的周长为（ ）
A．16 cmB．28 cmC．26 cmD．18 cm
【即学即练3】
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．求∠EBC的度数．
知识点03 作已知线段的垂直平分线
作已知线段的垂直平分线：
具体步骤：
①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图①
②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②
垂直平分线的证明：
如图③，连接MA，MB，NA，NB。
由作图过程可知
MA＝MB＝NA＝NB
在△MAN与△MBN中

∴△MAN≌△MBN
∴∠AMO＝∠BMO
在△AMO与△BMO中

∴△AMO≌△BMO
∴OA＝OB，∠AOM＝∠BPM＝90°
∴MN垂直平分AB。
【即学即练1】
4．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的大小为（ ）
A．60°B．75°C．65°D．70°
【即学即练2】
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则BE等于（ ）
A．2B．C．D．
知识点04 线段的垂直平分线的判定
线段垂直平分线的判定
方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。
方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的 上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。
【即学即练1】
6．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点
D．三边垂直平分线的交点
【即学即练2】
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
题型01 利用线段垂直平分线的性质求线段（长度与周长）
【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为（ ）
A．5B．10C．12D．13
【变式1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，且DE＝2，则CE＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式2】如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）cm．
A．9B．12C．15D．18
【变式3】如图，在△ABC中，BC＝6，边AB的垂直平分线交BC于M，点N在MC上，连接AM，AN，∠C＝∠NAC，则△MAN的周长为（ ）
A．6B．4C．3D．12
【变式4】
如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，BC＝13cm，则△AEG的周长为（ ）
A．6.5cmB．13cmC．26cmD．15cm
【变式5】如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上的任一点则△ABP周长的最小值是（ ）
A．8.5B．9C．12D．12.5
题型02 利用线段垂直平分线的性质求角度
【典例1】如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
【变式1】如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝36°，则∠ACD的度数为（ ）
A．36°B．38°C．48°D．52°
【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，点D为BC中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E，连接CE，作∠ACE的平分线，与DE的延长线交于点F，则∠F的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．55°
【变式3】如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【变式4】如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（ ）
A．115°B．116°C．117°D．118°
题型03 根据作图痕迹判断并解决问题
【典例1】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝5，观察图中尺规作图的痕迹，则△ADC的周长是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【变式1】如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【变式2】如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径面弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AC＝5，△AEC的周长为17，则BC的长为（ ）
A．7B．10C．12D．17
【变式3】如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
题型04 线段的垂直平分线的判定
【典例1】如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．
【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于F．试判断AF所在直线与BC的位置关系并说明理由．
【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．
【变式4】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）已知∠FAN＝56°，求∠FPN的度数．
题型05 线段的垂直平分线的实际应用
【典例1】如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【变式1】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
【变式2】如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．


【变式3】如图所示，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，有关部门计划建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，学校的位置应设在何处？请说明理由．

【变式4】作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．

1．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点
3．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．60°B．70°C．75°D．85°
4．如图，△ACB中，∠ACB＝90°，DF垂直平分AC，E为CF中点，连接DE，若DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3B．C．4D．
5．如图，在△ABC中，BC＝12，AB的垂直平分线交BC边于点F，AC的垂直平分线交BC边于点H，则△AFH的周长是（ ）
A．B．10
C．12D．
6．如图，在△ABC中，∠A＝58°，P为△ABC内一点，过点P的直线EF分别交AB，AC于点E，F．若点E，F分别在PB，PC的垂直平分线上，则∠BPC的度数为（ ）
A．122°B．120°C．119°D．116°
7．点M是△ABC三边垂直平分线的交点，连接MA、MB、MC，若∠MBC+∠ACM＝75°，则∠BAM的值是（ ）
A．45°B．30°C．25°D．15°
8．如图，△ABC中，∠BAC＝105°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF的度数为（ ）
A．65°B．50°C．30°D．45°
9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的角平分线，MF垂直平分AE，垂足为点H，分别交AB、AD、AC于点N、G、F，交CB的延长线于点M，连接EF，下列结论中错误的是（ ）
A．∠M＝∠DAEB．
C．EF∥ABD．∠EFC＝2∠M+∠C
10．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E．以下四个结论：①∠EAD＝∠EDA；②DF∥AC；③∠FDE＝90°；④∠B＝∠CAE．恒成立的结论有（ ）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
11．如图，在△ABC中，DE、DF分别是AC、BC边的垂直平分线，连接AD、BD、CD，若∠ACB＝40，则∠BAD的度数为 °．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，分别交AB．BC于点D、E，且DE＝2，则CE为 ．
13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF＝ ．
14．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．若AB＝10，则△CDE的周长为 ．
15．如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝ °．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
17．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？
19．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为23，△DEC的周长为9，求AB的长；
（2）若∠ABC＝28°，∠C＝46°，求∠CDE度数．
20．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O．
（1）如图①，当∠ABC＝∠ACB＝25°时，直接写出∠DAE的度数为 ；
（2）如图①，当AB≠AC，且90°≤∠BAC＝180°．
①若∠BAC＝120°，则∠DAE＝ °；
②当AD⊥AE时，求∠BAC的度数；
（3）如图②，连接OA，OB，OC．若△ADE的周长为9cm，△OBC的周长为21cm，则BC＝ cm；OB＝ cm．
课程标准
学习目标
①线段垂直平分线的定义
②线段垂直平分线的性质
③作已知线段的垂直平分线
④线段垂直平分线的判定
掌握线段垂直平分线的定义与性质并能够运用其性质解决相关题目。
掌握线段垂直平分线的画法，能够熟练的话线段垂直平分线以及根据作图痕迹判断并解决相关问题。
掌握线段垂直平分线的判定，并能熟练进行相关证明。