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湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）(1)
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这是一份湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）(1)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024年11月
考试时间：120分钟 考试满分：150分 命题:高一数学备课组
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集概念及其运算可得，再由交集运算可得答案.
【详解】由，可得，
又，可得.
故选：A
2. 已知命题，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可.
【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题的否定是：.
故选：B
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数性质以及指数函数单调性即可判断.
【详解】，且函数定义域为，关于原点对称，所以为奇函数，排除CD．
当时，，所以，排除B，经检验A选项符合题意.
故选：A．
4. 设，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据已知求出，再求的值.
【详解】 ， ，则.
故选D
【点睛】本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到在定义域上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数
因为函数任意且，都有，
所以函数在定义域上为单调递减函数，
则满足，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
6. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由增函数结合函数在区间0,1上单调递增得函数在区间0,1上单调递增，再由一元二次函数图像性质即可求解.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间0,1上单调递增，
所以函数在区间0,1上单调递增，
所以，解得.
故选：B.
7. 已知a，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】举例说明，根据充分、必要条件结合指数函数单调性分析判断.
【详解】当，时，，但是，故；
当，时，，但是，故；
故“”是“”既不充分也不必要条件.
故选：D.
8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的单调递减区间是
B. 若函数，则函数
C. 若，则函数中满足的函数共有9个
D. 若定义在上的函数满足，且，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据单调性判断A，根据换元法求选项B，根据映射定义判断C，根据赋值法判断D.
【详解】对于A，多个单调区间不能用并集符号连接，用“，”或“和”连接，故A错误；
对于B，令，则，所以，即，故B错误；
对于C，，满足，则集合中剩2个元素，
但集合中仍有3个元素，集合中每一个元素在集合中都有3个相对应，即个，故C正确；
对于D，，令，则，
则，所以，故D正确；
故选：CD.
10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）．
A. 函数为增函数
B. 当时，
C. 函数为偶函数
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数的性质逐项判断即得.
【详解】设幂函数，则，解得，，
对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，A错误；
对于B，当时，，B错误；
对于C，函数定义域为，，函数为偶函数，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：CD
11. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ）
A. 的最大值为4B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为2
【答案】BD
【解析】
【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断.
【详解】对于A，因为，则，，
当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误；
对于B，由，得，，
当且仅当，时取“＝”，B正确；
对于C，，
当且仅当时，取“＝”，C错误；
对于D，因为，所以，
则，当且仅当时，取“＝”，D正确.
故选：BD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足：，解得且.
故答案为：
13. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】令，则问题转化为，时恒成立，采用分离参数法，求出函数，的最大值即可．
【详解】令，则问题转化为，时恒成立，
即，恒成立，
而函数，
当时，，
，即为所求．
所以的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式.
【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数，
由对任意的，当时，有成立，
得在上单调递减，
因此函数在上单调递增，由，得，
不等式，因此，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知常数，集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
分析】（1）解不等式确定集合后，由交集定义计算；
（2）由得，然后由集合包含的定义求解．
【小问1详解】
，，
时，，
；
【小问2详解】
由得，
时，，满足题意，
的两根分别是和，
时，，由题意，解得，
时，，由题意，解得，
综上，．
16. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
（3）已知，求式子的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质运算即可；
（2）根据对数的运算性质求解即可；
（3）根据完全平方公式和指数幂运算性质求解.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
.
【小问3详解】
，，，
且，
，.
17. 已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若存在实数，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）函数在R上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义域为R且为奇函数，所以，即可求解.
（2）利用函数单调性的定义法即可证明求解.
（3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解.
【小问1详解】
由函数为奇函数，其定义域为R，所以，
即，解得，此时，
满足，即为奇函数，
故的值为.
【小问2详解】
在R上单调递减，证明如下：
由（1）知，
，且，则，
因为，所以，，，
所以，即函数在R上单调递减.
【小问3详解】
由，则，
又因为为奇函数，所以，
又由（2）知函数在R上单调递减，
所以，因存在实数，使得成立，
所以，解得.
所以的取值范围为.
18. 某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析发现，生产此款手机全年需投入固定成本280万元，每生产x千部手机，需另投入成本万元，且假设每部手机售价定为0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出全年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
（2）当全年产量为多少千部时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】（1）
（2）当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．
【解析】
【分析】（1）读懂题意，根据已知条件求解.
（2）分类讨论，利用二次函数、基本不等式进行求解.
【小问1详解】
当时，
，
当时，
，
所以
【小问2详解】
若，则，
当时，；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时．
因为，所以当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．
19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
（1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由；
（2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．
【答案】（1）是上的有界函数；理由见解析
（2）
（3）存在，答案见解析
【解析】
【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数；
（2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案；
（3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案.
【小问1详解】
是上的有界函数，理由如下：
当时，，
当时，，
由对勾函数性质得或，
或，
或，
∴的值域为，，
∴存在，使得，
所以是上的有界函数；
【小问2详解】
由题意可知在上恒成立，
，，
即，
∴在上恒成立，
∴．
设，，，
由，得．
∵在上单调递减，在上是单调递增，
∴在上，，．
所以，实数a的取值范围是.
【小问3详解】
，
∵，，
∴在上递增，
根据复合函数的单调性可得在上递减，
∴，
∴h(x)存在上界.
①若，两边平方整理得，
即时，；此时，即，
②若，两边平方整理得，
即时，；此时，即，
综上，当时，；
当时，.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质.
2024年11月
考试时间：120分钟 考试满分：150分 命题:高一数学备课组
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集概念及其运算可得，再由交集运算可得答案.
【详解】由，可得，
又，可得.
故选：A
2. 已知命题，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可.
【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题的否定是：.
故选：B
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数性质以及指数函数单调性即可判断.
【详解】，且函数定义域为，关于原点对称，所以为奇函数，排除CD．
当时，，所以，排除B，经检验A选项符合题意.
故选：A．
4. 设，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据已知求出，再求的值.
【详解】 ， ，则.
故选D
【点睛】本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到在定义域上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数
因为函数任意且，都有，
所以函数在定义域上为单调递减函数，
则满足，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
6. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由增函数结合函数在区间0,1上单调递增得函数在区间0,1上单调递增，再由一元二次函数图像性质即可求解.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间0,1上单调递增，
所以函数在区间0,1上单调递增，
所以，解得.
故选：B.
7. 已知a，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】举例说明，根据充分、必要条件结合指数函数单调性分析判断.
【详解】当，时，，但是，故；
当，时，，但是，故；
故“”是“”既不充分也不必要条件.
故选：D.
8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的单调递减区间是
B. 若函数，则函数
C. 若，则函数中满足的函数共有9个
D. 若定义在上的函数满足，且，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据单调性判断A，根据换元法求选项B，根据映射定义判断C，根据赋值法判断D.
【详解】对于A，多个单调区间不能用并集符号连接，用“，”或“和”连接，故A错误；
对于B，令，则，所以，即，故B错误；
对于C，，满足，则集合中剩2个元素，
但集合中仍有3个元素，集合中每一个元素在集合中都有3个相对应，即个，故C正确；
对于D，，令，则，
则，所以，故D正确；
故选：CD.
10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）．
A. 函数为增函数
B. 当时，
C. 函数为偶函数
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数的性质逐项判断即得.
【详解】设幂函数，则，解得，，
对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，A错误；
对于B，当时，，B错误；
对于C，函数定义域为，，函数为偶函数，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：CD
11. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ）
A. 的最大值为4B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为2
【答案】BD
【解析】
【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断.
【详解】对于A，因为，则，，
当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误；
对于B，由，得，，
当且仅当，时取“＝”，B正确；
对于C，，
当且仅当时，取“＝”，C错误；
对于D，因为，所以，
则，当且仅当时，取“＝”，D正确.
故选：BD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足：，解得且.
故答案为：
13. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】令，则问题转化为，时恒成立，采用分离参数法，求出函数，的最大值即可．
【详解】令，则问题转化为，时恒成立，
即，恒成立，
而函数，
当时，，
，即为所求．
所以的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式.
【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数，
由对任意的，当时，有成立，
得在上单调递减，
因此函数在上单调递增，由，得，
不等式，因此，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知常数，集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
分析】（1）解不等式确定集合后，由交集定义计算；
（2）由得，然后由集合包含的定义求解．
【小问1详解】
，，
时，，
；
【小问2详解】
由得，
时，，满足题意，
的两根分别是和，
时，，由题意，解得，
时，，由题意，解得，
综上，．
16. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
（3）已知，求式子的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质运算即可；
（2）根据对数的运算性质求解即可；
（3）根据完全平方公式和指数幂运算性质求解.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
.
【小问3详解】
，，，
且，
，.
17. 已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若存在实数，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）函数在R上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义域为R且为奇函数，所以，即可求解.
（2）利用函数单调性的定义法即可证明求解.
（3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解.
【小问1详解】
由函数为奇函数，其定义域为R，所以，
即，解得，此时，
满足，即为奇函数，
故的值为.
【小问2详解】
在R上单调递减，证明如下：
由（1）知，
，且，则，
因为，所以，，，
所以，即函数在R上单调递减.
【小问3详解】
由，则，
又因为为奇函数，所以，
又由（2）知函数在R上单调递减，
所以，因存在实数，使得成立，
所以，解得.
所以的取值范围为.
18. 某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析发现，生产此款手机全年需投入固定成本280万元，每生产x千部手机，需另投入成本万元，且假设每部手机售价定为0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出全年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
（2）当全年产量为多少千部时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】（1）
（2）当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．
【解析】
【分析】（1）读懂题意，根据已知条件求解.
（2）分类讨论，利用二次函数、基本不等式进行求解.
【小问1详解】
当时，
，
当时，
，
所以
【小问2详解】
若，则，
当时，；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时．
因为，所以当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．
19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
（1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由；
（2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．
【答案】（1）是上的有界函数；理由见解析
（2）
（3）存在，答案见解析
【解析】
【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数；
（2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案；
（3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案.
【小问1详解】
是上的有界函数，理由如下：
当时，，
当时，，
由对勾函数性质得或，
或，
或，
∴的值域为，，
∴存在，使得，
所以是上的有界函数；
【小问2详解】
由题意可知在上恒成立，
，，
即，
∴在上恒成立，
∴．
设，，，
由，得．
∵在上单调递减，在上是单调递增，
∴在上，，．
所以，实数a的取值范围是.
【小问3详解】
，
∵，，
∴在上递增，
根据复合函数的单调性可得在上递减，
∴，
∴h(x)存在上界.
①若，两边平方整理得，
即时，；此时，即，
②若，两边平方整理得，
即时，；此时，即，
综上，当时，；
当时，.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质.
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