湖南省永州市蓝山县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案.）
1. 已知集合，，则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集运算即可求解.
【详解】，
所以，
故选：B
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
详解】由解得；
由解得；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 设，命题“存在，使有实根”的否定是（ ）.
A. ，使无实根B. ，使有实根
C. ，使无实根D. ，使有实根
【答案】A
【解析】
分析】修改量词，否定结论，则结果可知.
【详解】修改量词：“存在”改为“”，
否定结论：“使有实根”改为“使无实根”，
所以否定为：“，使无实根”，
故选：A.
4. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质一一判定即可.
【详解】对于A项，举反例即可，若，则，故A错误；
对于B项，举反例即可，若，则，故B错误；
对于C项，∵，∴，则，故C正确；
对于D项，举反例即可，若，则不成立，故D错误.
故选：C
5. 函数定义域是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】要使函数有意义，则，解得且.
所以函数定义域为.
故选：C.
6. 已知，则的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】变形为，再根据基本不等式即可求解最值.
【详解】由于，故，所以，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为4.
故选：B
7. 图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A. ，3，B. ，3，C. ，，3D. ，，3
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.
【详解】由题图知：，，，
所以，，依次可以是，，3．
故选：D
8. 已知函数，且，则（ ）.
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意利用奇函数的定义即可求解.
【详解】因为，所以.
所以.
故选：.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列函数中，即是偶函数，又在上单调递增的函数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由偶函数的定义和单调性即可得出结论.
【详解】A选项：定义域为， ，不是偶函数，故A选项错误；
B选项：定义域为，，是偶函数，且当时，在0,+∞单调递增，B选项正确；
C选项：定义域为，，是偶函数，由二次函数图形及性质可知在0,+∞单调递增，C选项正确；
D选项：定义域为，，不是偶函数，D选项错误.
故选：BC
10. 已知函数是定义域为的奇函数，且对任意，当时，总有，则满足的x的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意得在上是增函数，根据奇偶性可得在上也是增函数，f1−2x>f−13，由单调性即可求解.
【详解】由题意可知，在上是增函数，
而为奇函数，故在上也是增函数，所以fx在R上单调递增.
因f1−2x+f13>0，
所以f1−2x>−f13，即f1−2x>f−13，
所以，解得.
故选：.
11. 定义为中最大值，设，则的函数值可以取（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】CD
【解析】
【分析】分别作出，根据图象可得ℎx的值域，对比选项分析判断.
【详解】在同一坐标系内分别作出，
可得的图象（图中实线部分），

所以ℎx的值域为，
结合选项可知CD正确，AB错误.
故选：CD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】，根据集合并集运算即可求解.
【详解】集合，，
因为，
所以，解得.
故答案为：.
13. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________.
【答案】或}##
【解析】
【分析】首先根据不等式的解集求，再求解一元二次不等式的解集.
【详解】因为的不等式的解集为，所以，
解得：，，
所以，，解得：或,
所以不等式的解集是或}.
故答案为：或}
14. 函数在区间上是增函数，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数在区间上的单调性可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为函数在区间上是增函数，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设函数
（1）求的值.
（2）若，求值.
【答案】（1）1 （2）0或.
【解析】
【分析】（1）代入解析式计算即可；
（2）由或求解即可.
【小问1详解】
∵，∴
【小问2详解】
由，得，或，
解得或.
∴的值为0或.
16. 已知函数，.
（1）若时，求，.
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由集合的运算即可得解；
（2）讨论集合B能否为空集结合包含关系求解即可.
【小问1详解】
当时，，
则或，又，
则，.
小问2详解】
当，即时，，满足；
当，即时，由，得，解得.
综上所述，a的取值范围为.
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义奇函数特征，，求出的值，又，求出的值，得到的解析式，并检验.
（2）利用定义法证明函数单调性.
【小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，
则，即有，
且，则，解得，
则函数的解析式：，，
经检验，是奇函数.
【小问2详解】
证明：设，则，
由于，则，，即，
又，
则有，
则在上是增函数.
18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）4千克，480元
【解析】
【分析】（1）根据单株产量与施用肥料满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案；
（2）结合二次函数的最值以及基本不等式求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得
；
【小问2详解】
当时，，
则当时，取到最大值；
当时，
，
当且仅当，即时取等号，
由于，
故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是480元.
19. 已知函数.
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
（3）对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的性质计算可得；
（2）分、、三种情况讨论，分别求出，即可得解；
（3）结合（2）求出的值域，则当，恒有成立，令，，则，再分、两种情况讨论，分别求出，即可得解.
【小问1详解】
函数开口向上，对称轴为，
若在上单调递减，则，即的取值范围为；
【小问2详解】
因为，，
当时，在上单调递增，所以；
当时，在上单调递减，所以；
当时，；
所以；
【小问3详解】
当时，则，
因为当，时，恒有成立，
所以当，恒有成立，
令，，则，
当，即时，，解得，所以；
当，即时，，解得，所以；
综上可得.