湖北省十堰市六县市区一中教联体2024-2025学年高二上学期11月联考数学试卷（Word版附解析）

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试卷满分：150分
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知复数，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】按照复数的除法运算求出复数z的代数形式，再根据复数的模长公式求解即可.
【详解】.
.
故选：B.
2. 无论为何值，直线过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点.
【详解】由得：，
由得
∴直线恒过定点.
故选：A.
3. 已知向量，，，若，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列出方程求解即可.
【详解】由，
又，则，解得．
故选：B．
4. 直线关于对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线上一点关于直线的对称点，代入直线中即可得到对称直线方程.
【详解】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，
则，整理可得：，，
即直线关于对称的直线方程为：.
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解. 求解点关于直线的对称点的基本方法如下：
①与连线与直线垂直，即；
②中点在直线上，即；
③与到直线的距离相等，即；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.
5. 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模.
【详解】如图：

以为基底，则，，
所以.
因为.
所以
.
所以.
故选：D
6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，
【详解】记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆相切时，得k最小，
此时设，故，解得或（舍去），
即．
故选：C
7. 将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（ ）
A. 事件与事件是对立事件
B. 事件与事件是相互独立事件
C. 事件与事件是互斥事件
D. 事件包含于事件
【答案】D
【解析】
【分析】对于A,C,D选项直接列举出事件，根据对立事件，互斥事件，事件包含的概念可以判断真假；对于B选项，用相互独立事件的概率定义公式验证即可判断.
【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，总共有36种．
表示事件“没有出现1点”，包含,共25种.
表示事件“出现一次1点”，包含共10种，则A错误．
表示事件“两次抛出的点数之和是8”，包含，共5种,
表示事件“两次掷出的点数相等”，包含，共6种．事件与事件不互斥．故C错误．
由上面分析知道包含,5种情况.且，，，由于，则事件与事件不是相互独立事件.故B错误．
显然事件包含于事件，故D正确．
综上所得，正确的只有D．
故选：D.
8. 已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算点到四条直线的距离，结合点相关直线的定义得：当距离小于或等于4时，则称该直线为点的“相关直线”，利用点到直线距离公式即可得到答案．
【详解】由题意，当到直线的距离小于或等于4时，则称该直线为点 的“相关直线”
A ，，直线为，所以点到直线的距离为：，即点到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；
B ，，直线为，所以点到直线的距离为，所以点到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；
C ，，直线为，所以点到直线的距离为：，所以点到直线的最小值距离等于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；
D ，，直线为，所以点到直线的距离为：，即点到直线的最小值距离大于4，所以直线上不存在点使成立，不是点的“相关直线”．
故选：D．
【点睛】本题解决成立问题的关键是正确理解新定义，结合点到直线的距离公式解决问题，新定义问题这是近几年高考命题的方向．属于中档题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选稓的得0分.
9. 已知直线：，圆：，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 若圆关于直线对称，则
B. 点到直线的距离的最大值为
C. 存在两个不同的实数，使得直线与圆相切
D. 存在两个不同的实数，使得圆上恰有三个点到直线的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先确定直线过定点，圆心，半径，再逐项判断即可.
【详解】直线：过定点，
圆：，圆心，半径，
对选项A：直线过圆心，则，解得，故选项A正确；
对选项B：点O到直线l的距离的最大值为，故选项B正确；
对选项C：直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
解得，故选项C错误；
对选项D：当圆上恰有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离，
解得，故选项D正确.
故选:ABD.
10. 已知点，动点满足，则下面结论正确的为（ ）
A. 点的轨迹方程为B. 点到原点的距离的最大值为5
C. 面积的最大值为4D. 的最大值为18
【答案】ABD
【解析】
【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.
【详解】设动点，则由得：，
即，
化简得：，即，所以A选项正确；
所以点轨迹是圆心为，半径为的圆，
则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；
又，和点轨迹的圆心都在轴上，且，
所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；
又，
因（），
所以（），
则，所以D选项正确；
故选：ABD.
11. 在边长为2正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A. 与所成角的余弦值为
B. 过，，三点的正方体的截面面积为3
C. 当在线段上运动时，的最小值为3
D. 若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】建系，由异面直线夹角向量法即可判断A, 取的中点，连接，，，确定即为截面即可判断B，由对称性得到进而可判断C, 设点关于平面的对称点为，连接，可判断当与平面的交点为时，最小，即可判断D.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
∴，
∴与所成角的余弦值为，故A正确；
取的中点，连接，，，
则，
故梯形为过点，，的该正方体的截面，
∵，，，
∴梯形的高为，
∴梯形的面积为，故B错误；
由对称性可知，，故，
又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C正确，
设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时，
最小，
过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，，，故D错误.
故选:AC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出长方体对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积即可.
【详解】由题意，长方体的对角线的长度即外接球的直径，为，
故这个球的表面积是.
故答案为：
13. 某大学进行“羽毛球”､“美术”､“音乐”三个社团选拔.某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”､“美术”､“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为.假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率公式求解即可.
【详解】由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，
则，所以，
即，
所以该同学一个社团都不能进入的概率为
.
故答案为：.
14. 过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】由得出点在以为直径的圆上是关键，通过两圆方程相减得到直线的方程，从而求出面积的表达式，运用函数思想求解即得.
【详解】
如图，设点，因,故点在以为直径的圆上，
因圆心，半径为，故圆方程为：，
又圆：，将两式左右分别相减，整理得直线的方程为：，
于是，点到直线的距离为：，，
故的面积为：，
不妨设则，且，故，
因在上单调递增，故，此时，
即时，点时，面积的最大值为.
故答案为：.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15 已知两圆和．求：
（1）取何值时两圆外切？
（2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可；
（2）根据两圆公共弦的性质，结合点到直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可.
【小问1详解】
由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：
，
则圆心分别为，半径分别为和，
当两圆外切时，满足；
【小问2详解】
当时，有，则，所以两圆相交，
则两圆的公共弦所在直线的方程为：，即，
圆心到直线的距离，
所以公共弦长．
16. 某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球､定点高远球､吊球､杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.

（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数；
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和80,90的概率；
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和为1求出的值，根据百分位数的定义列出方程，求解即得；
（2）利用分层抽样方法确定从两组中应抽取的数目，设出样本点，列出试验所含的样本空间和事件包含的样本点，根据古典概型概率公式计算即可.
【小问1详解】
由题意得：，解得，
因为，
，
设第60百分位数为，则，
解得，即第60百分位数为85.
【小问2详解】
由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，
在80,90的有人，设为.
则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为：
，，
设事件“两人得分分别来自和80,90”，
则，
因此
所以两人得分分别来自和80,90的概率为.
17. 如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面的夹角余弦值为，求三棱柱的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再由面面垂直的判定定理证结论；
（2）构建空间直角坐标系，根据面面角的余弦值求，再由柱体体积公式求体积.
【小问1详解】
菱形中，则为等边三角形，
又O是AC的中点，则，
又平面ABC⊥平面，平面平面，平面，
平面，又面，则面面.
【小问2详解】
由（1）知平面，又，O是AC的中点，则，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，设，则，，，
所以，，，
设平面法向量， 则，
令，，得，
设平面法向量，则，
令，，可得，
所以，由，解得，
，，
三棱柱的体积为.
18. 如图1，在梯形中，为的中点，与交于点.将沿折起到的位置，得到三棱锥，使得二面角为直二面角（如图2）.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）证明，根据直线和平面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，计算法向量之间夹角的余弦值，即可得到二面角的大小；
（3）假设存在点满足题意，设，分别求出平面和平面的法向量，根据其法向量垂直，数量积为零列方程解的值得到答案.
【小问1详解】
证明：在梯形中，因为为的中点，
所以，连接，所以四边形为平行四边形，
因为，所以为的中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
【小问2详解】
在平行四边形中，因为，
所以四边形为菱形，所以，
所以在三棱锥中，.
因为平面平面，所以即为二面角的平面角，
所以，即.
如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，所以.
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则，令，得.
易知平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面的夹角的大小为.
【小问3详解】
假设在线段上存在点，使得平面平面，
设，因为，所以，
所以，
易知.
设平面的一个法向量为，
则，令，得.
设平面的一个法向量为，
则，令，得.
由，解得，
所以当为线段的中点时，平面平面，此时.
19. 已知.
（1）若圆与x轴相切，求圆的方程；
（2）求圆心的轨迹方程；
（3）已知，与x轴相交于两点（点在点的左侧），过点任作一条直线（斜率存在）与圆相交于两点，是否存在实数a使得若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由题意，利用圆与直线相切的性质，建立方程，可得，解得参数的值，可得答案；
（2）由（1）的标准方程，设出圆心的坐标，建立方程组，整理轨迹方程，可得答案.
（3）由题意，分为斜率为零以及不为零两种情况讨论，不为零时，联立方程，写韦达定理，利用，可得直线､的斜率互为相反数，建立方程，解得答案.
【小问1详解】
由圆与x轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等.
故先将圆的方程化成标准方程为：，
由，整理可得，解得，
即可得到所求圆的方程为，即；
【小问2详解】
由（1）可知圆的标准方程，则，
设圆心点坐标为，则，消去参数a得，
因此，圆心的轨迹方程为；
【小问3详解】
在圆的方程中，令，得，即，
，且点在点的右侧，所以点､，
假设存在实数a，当直线与x轴重合时，A､､､四点共线，则当时，，当时，；
当直线与x轴不重合时，
设直线的方程为，设点､，
联立，消去x并整理得，
，
由韦达定理得，，
，所以直线､的斜率互为相反数，
即恒成立，
所以，，解得.
综上所述，存在，使得.