山东省淄博市高青县2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份山东省淄博市高青县2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分.）
1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A. 2，5，7B. 9，3，5C. 4，5，6D. 4，5，10
【答案】C
【解析】三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．
A、，不能构成三角形，此项不符题意；
B、，不能构成三角形，此项不符题意；
C、，能构成三角形，此项符合题意；
D、，不能构成三角形，此项不符题意.
故选：C．
2. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意．
故选：D．
3. 已知．下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图中两三角形全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是.
故选：B．
4. 如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】∵AO⊥OB，线段AO＝3，BO＝4，∴在Rt△AOB中，AB==5，
由题意可知：AC=AB=5，∴OC=AC－AO=2.
故选：D．
5. 如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是的角平分线，∴．
∵是的高，∴．
在中，，
∴，
∴，
∴的度数为.
故选：A．
6. 如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】D
【解析】过点作于，
是的角平分线，，，
，解得．
故选：D．
7. 如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若AB＝4，AC＝5，则△ADE的周长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 13
【答案】B
【解析】∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，
∵，∴∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，
∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，∴BD=FD，CE=FE，
∵AB=4，AC=5，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=4+5=9．
故选：B．
8. 如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的底部在水平方向上向右滑动了8米，那么梯子的顶端下滑（ ）米．
A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米
【答案】A
【解析】如图，根据题意知：AB=25米，OB=7米，BC=8米，
在Rt△ABO中，AO=(米)，
在Rt△CDO中，OC=OB+BC=15米，CD=AB=25米，
∴OD=米，
∴AD=AO-OD=24-20=4米.
故选：A.
9. 如图，在方形网格中，与ΔABC有一条公共边且全等（不与ΔABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】B
【解析】以为公共边可以画出两个，以、为公共边可以各画出一个，所以一共四个.
故选：B.
10. 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，已知大正方形面积为25，，用a、b表示直角三角形的两直角边，下列选项中正确的是（ ）
A. 小正方形的面积为4B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得：，故B错误；
，，故D错误；
，故A错误；
，，∴，，故C正确.
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分.）
11. 如图，，若，则______度．
【答案】
【解析】∵，∴
∵，∴.
12. 如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有______米．
【答案】8
【解析】，，，树折断之前的高度为8米．
13. 如图，小亮拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，，，若每个小长方体教具高度均为，则两摞长方体教具之间的距离的长为________．
【答案】
【解析】∵，
，，
在与中，，∴，
∴，，
∵，，∴，，∴．
14. 如图，垂直平分，垂直平分，点D、E在边上，且点D在点B和点E之间．若，则___．
【答案】
【解析】∵，∴，
∵垂直平分，垂直平分，∴，，
∴，，∴，
∴.
15. 如图，在中，为中点，为边上的动点，连接，交的延长线于点，若，则的值是___________．
【答案】5
【解析】，，
为中点，，
在和中，，，
，.
三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．）
16. 画出下列三个轴对称图形的所有对称轴．
解：如图所示，即为所求.
17. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
（1）AB与DC相等吗？请说明理由；
（2）求证：OE=OF.
解：（1）证明：∵BE＝CF，∴BF=CE，
∵在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC.
（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴OE=OF，
∴△OEF是等腰三角形.
18. 在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，∴AC＝8．
（2）如图所示，
∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为17，∴AB+AD+BD＝17，
∵AB＝1，∴AD+BD＝16，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+16＝24．
19. 在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形
解：如图所示.（答案不唯一）
20. 如图，在中，，分别是的高和角平分线．
（1）若，求的度数；
（2）试证明：．
解：（1）∵，∴，
∵分别是的高和角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵，∴，
∵分别是的高和角平分线，
∴，，
∴，
∴．
21. 最短路径问题：
例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C.
（2）若∠MON=30°，OA=10，求三角形的最小周长．
解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接，
与相交于两点，连接，即为所求．
此时线段的长度即为周长的最小值，连接
由对称性知：
为等边三角形，
所以三角形的最小周长为10.
22. 为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
（1）求公路的长度；
（2）若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用．
解：（1）∵，千米，千米，∴千米，
∵千米，∴千米.
（2）∵，∴，
∴千米，
∴修建公路的费用为（万元）．
23. 阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：若，则______度；______度；
（2）类比探索：求，，的关系，并说明理由；
（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由．
解：（1），，
，，
.
（2）结论：，
证明：，
，
，
．
（3）结论：，
理由是：设交于，如图
，
，即，
.