备战2025年高考数学模拟（新课标I卷）试卷三

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过解不等式分别计算出集合与集合，计算出即可.
【详解】因为，，所以；因为，，解得，所以，所以.
故选：C.
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算求解即可.
【详解】.
故选：B
3．已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，独立事件的概率公式即可求解.
【详解】,即，解得.
故选：D.
4．函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由排除两个选项，再由时，排除一个选项后可得正确选项．
【详解】∵，所以，故排除C，D，当时，恒成立，排除A，
故选：B．
5．设，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，不等式两边同乘即可得.
【详解】设，令得，所以函数在区间单调递增，
因为，所以，即，，不等式两边同乘得，即.
故选：B.
6．记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】先求出抛物线方程及直线方程，联立，求出交点进而可得答案.
【详解】，由拋物线定义可知到准线距离为，即，解得，即抛物线方程为，不妨取，又，所以，联立，消去整理得，解得，即，则.
故选：C.
7．设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将原不等式转化为恒成立，先判断得出恒成立，结合不等式的基本性质可得恒成立，进而求解即可.
【详解】，即，因为，所以，
即恒成立，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以，
若时，不等式恒成立，则恒成立，
若时，，恒成立，则也成立，
所以当时，恒成立，所以得，即，设
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以，即正实数的最小值为.
故选：C.
8．直三棱柱中，，P为BC中点，，Q为上一点，，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】A
【分析】如图，在上取点M，使得，取的中点N，连接，则，利用线面垂直的判定定理与性质可得，则截面为直角梯形APQM，结合题意求出QM、AP、PM，由梯形的面积公式计算即可求解.
【详解】如图，在上取点M，使得，取的中点N，连接，则，
又，所以，得A、P、M、Q四点共面，又，为BC的中点，所以，由，得，又平面，所以平面，由平面，得，
所以截面为直角梯形APQM，且，得，
所以，作于D，则，
所以.
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论中正确的有（ ）
A．数据第75百分位数为30
B．已知随机变量服从二项分布，若，则
C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D．若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的正相关性很小
【答案】BC
【分析】对于A，由百分位数的定义进行判断；对于B，由二项分布的期望公式及性质即可求得；对于C，回归直线过样本中心，即可求出结果；对于D，相关系数为正，变量间呈正相关，相关系数的绝对值越大，越接近于1，相关性越大.
【详解】对于项，11个数的顺序为，所以第75百分位数为27，故A项错误；
对于B项，因为，所以，
所以，解得，故B项正确；
对于C项，回归直线必过样本中心可得，解得，故C项正确；
对于D项，为正值时，值越大，判断“与之间的正相关”越强，故D项不正确.
故选：BC.
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的单调递增区间是
B．的单调递增区间是
C．在上有3个零点
D．将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数
【答案】AC
【分析】利用图象求出函数解析式，再求出单调增区间，上零点，图象的对称轴，逐一对选项判断即可．
【详解】由图象得，周期，得，
所以，．
令，解得，故单调递增区间为．A正确，B错误；令，解得，
令得，解得，可知C选项正确；函数图象关于直线对称，向左平移3个单位长度，图象关于轴对称，得到的函数为偶函数，故D错误．
故选：AC．
11．已知函数及其导函数的定义域均为，且，的图象关于点对称，则（ ）
A． B．为偶函数
C．的图象关于点对称 D．
【答案】ABD
【分析】对于A，首先由题意，求导代入即可验算；对于B，由即可判断；对于C，用反证法即可求导推翻；对于D，由题意得，进一步构造函数得，由此即可判断.
【详解】由，可得，则，令，得，A正确.
令，则，故为偶函数，B正确.
假设的图象关于点1,0对称，则，则，即关于直线x=1对称，又fx不是常函数，这与f'x的图象关于点1,0对称矛盾，假设不成立，C不正确.
因为f'x的图象关于点1,0对称，所以，令，则，则（为常数），则，从而，即，由，得，D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．等边三角形的边长是，分别是与的中点，则 .
【答案】
【分析】先确定基底为，用基底分别表示向量和，用数量积的运算性质计算即可.
【详解】
.
故答案是：.
13．在一次射击比赛中，6名志愿者被安排到安检､引导运动员入场､赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方案 .（用数字作答）
【答案】
【分析】本题为标准的先分组再分配问题，第一步先分组，第二步分配.
【详解】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，则分组方式为或或；第一步先分组，分组方式共有种；
第二步再分配，三个组三个任务，由排列的定义可知为全排列种分配方案；
第三步根据分步乘法原理总计种按排方案.
故答案为：.
14．已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为 .
【答案】
【分析】作出图形，计算出的大小，可得出，利用余弦定理求出，然后利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可解得该双曲线离心率的值.
【详解】如下图所示：设，由题意可得，，
则，且，所以，，
因为，则，由余弦定理可得，
所以，，由双曲线的定义可得，即，故该双曲线的离心率为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15. （13分）已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求角；
（2）若，，求的周长．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）先利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）利用正弦定理求出即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，即，………………………3分
整理得，
由余弦定理得，又，所以；………………………6分
（2）因为，，，
所以，………………………8分
因为，………………………10分
所以，，………………………12分
所以的周长为.………………………13分
16．（15分）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)
(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
(2)由直方图可认为农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元（含9.06）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.06万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）
附：①；②若，则，；③．
【答案】(1)，；(2)①317户；②
【分析】（1）由平均数和方差的计算公式求解即可；
（2）①根据正态分布的对称性得出，进而得出所求户数；②年收入不超过9.06万元的农户家庭数服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.
【详解】（1）这2000户农户家庭年收入的样本平均数.………………………3分
这2000户农户家庭年收入的样本方差.………………7分
（2）①农户家庭年收入近似服从正态分布.因为，
所以.………………………11分
因为，所以这2000户农户家庭年收入超过9.06万元（含9.06）的户数为317.
②年收入不超过9.06万元的农户家庭数服从二项分布.
所以.………………………15分
17. （15分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在恒成立，求整数的最大值.
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）将转化为对恒成立，构造函数，通过二次求导的方法求得（其中），由此求得整数的最大值.
【详解】（1）函数的定义域为.因为，………………………1分
所以.………………………2分
当，即时，；………………………3分
当，即时，由得，得.………………………5分
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；………………………6分
（2）因为，即，所以.
所以对恒成立.令，则，……8分
令，则，因为，所以，……………………10分
所以在上单调递增，因为，，
所以存在满足，即.………………………12分
当时，，即；………………………14分
当时，，即.所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，………16分
因为，，所以的最大值为.………………………17分
18．（17分）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）证出面面平行，再利用面面平行的性质定理得出线面平行；
（2）由已知得出，，进而建立空间直角坐标系，利用向量法表示出二面角的余弦值，即可求出结果.
【详解】（1）矩形中，，平面，平面DCF，平面．…1分
梯形中，平面，平面DCF，平面．……………3分
平面，平面平面，面，平面．…5分
（2）平面，交线为，平面，
平面，又平面，，，……………7分
以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设，则，……………8分
因为，且，……………9分
所以解得，所以，……………11分
设与平面垂直，则，……………13分
取，解得，又因为平面，，……………15分
所以，得到，
即当时，二面角的大小为．……………17分
19．（17分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为分别是双曲线的左､右顶点.
(1)求的标准方程；
(2)设是直线上的动点，直线分别与双曲线交于不同于的点，过点作直线的垂线，垂足为，求当最大时点的纵坐标.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用给定的渐近线方程求出即可得双曲线方程.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理、三点共线探求直线过的定点，结合几何意义求解即得.
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即，依题意，，
所以的标准方程为.………………………3分
（2）由（1）知，，设，
显然直线不垂直于轴，否则由双曲线的对称性，点在轴上，不符合题意；…………4分
设直线，由消去得，
有，………………………6分
则，于是，
由三点共线得直线的斜率满足，………………………7分
同理，由三点共线得，
消去，得，即，………………………9分
整理得，即，
则，因此或，………………………11分
若，又，得，
结合，从而，即，不成立，………………………13分
即，因此，满足，
则直线恒过点，点在以为直径的圆上，………………15分
当与重合时，最大，此时轴，，
所以当最大时，点的纵坐标为.………………………17分