甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数 学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1 设集合，
A. B. C. D.
2. 已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是( )
A. 2B. 3
C. 4D. 8
3. 不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设，，若，则的最小值为
A. B. 8C. 9D. 10
5. 以下函数在上是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
（2019·吉林高一期中）
6. 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
7. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（ ）
A. B. C. D.
8. 若为锐角，，则等于（ ）
A. B. C. D.
9. 已知当x∈(1，+∞)时，函数y=的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是（ ）
A. 0<α<1B. α<0C. α<1D. α>1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
10. 的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 若函数在上是单调函数，则的取值可能是（ ）
A. 0B. 1C. D. 3
13. 下列函数中，既是偶函数又在上是递减的函数是（ ）
A. B.
C D.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
14. 不等式的解集为________________．（用区间表示）
15. 已知集合，，且，则实数a取值范围是______________________ .
16. 定义在上的奇函数f(x)若函数f(x)在上为增函数，且则不等式的解集为_____．
17. 若关于的不等式在内恒成立，则的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 设集合,.
（1）若，求m的范围；
（2）若，求m的范围.
19. （1）设，求的值；
（2）已知cs（75°+α），且﹣180°＜α＜﹣90°，求cs（15°﹣α）值．
20. 设集合，集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数取值范围．
21. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）试判断函数在上的单调性；
（3）试判断函数在的最大值和最小值.
22. 已知定义域为的函数是奇函数
（1）求的值
（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
23. 设函数．
（1）若不等式的解集，求的值；
（2）若，
①，求的最小值；
②若在R上恒成立，求实数a的取值范围．
2024年兰州市一中高一级第一学期期中学业质量检测卷
数 学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 设集合，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：依题意.
考点：集合的运算
2. 已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}集合N的个数是( )
A. 2B. 3
C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】因为由M∪N={-1，0，1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，又M={0，-1}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4个．故选C
3. 不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解集求出参数，从而可得，根据该形式可得正确的选项．
【详解】因为不等式的解集为，
故，故，故，
令，解得或，
故抛物线开口向下，与轴的交点的横坐标为，
故选：C．
4. 设，，若，则的最小值为
A. B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案．
【详解】由题意知，，，且，则
当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式的性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．
5. 以下函数在上是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助基本初等函数依次对四个选项判断．
【详解】选项A：在上先增后减；
选项B：定义域为：（0，+∞），在（0，+∞）上是减函数，不满足在上是减函数；
选项C：定义域中就没有0，不满足在上减函数；
选项D正确．
故选D．
【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性，属于基础题．
（2019·吉林高一期中）
6. 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数单调性及函数零点存在性定理求解.
【详解】因为在上单调递增，
且，
所以函数零点所在区间为.
故选：C
7. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.
【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；
对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；
但是最终是乌龟到达终点用的时间短.
故选：B．
【点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.
8. 若为锐角，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据所给两个角的形式，发现，进而利用正弦的和角公式可以计算出结果．
【详解】由角的关系可知
因为为锐角，
根据同角三角函数关系式，可得



所以选A
【点睛】本题利用整体配凑法求三角函数值，根据所给函数角的特征，配出所求角，进而利用三角函数式化简求值，属于常考题．
9. 已知当x∈(1，+∞)时，函数y=的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是（ ）
A. 0<α<1B. α<0C. α<1D. α>1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂函数图象的特点，数形结合即可容易求得结果.
【详解】当时，与的图象如下所示：
显然不合题意，故舍去；
当时，与的图象重合，故舍去；
当时，与的图象如下所示：
显然，此时满足题意.
当时，与的图象如下所示：
显然，此时满足题意.
当时，，与的图象如下所示：
显然，此时满足题意.
综上所述：.
故选：.
【点睛】本题考查幂函数图象的特征，属简单题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
10. 的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
由不等式，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
详解】由不等式，可得，结合选项可得：
选项A为的一个充分不必要条件；
选项B为的一个既不充分也不必要条件；
选项C为的一个充分不必要条件；
选项D为的一个充要条件,
故选：AC.
11. 已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由正数，，结合基本不等式依次判断选项，即可得结果.
【详解】对于A， ，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，，，当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC
12. 若函数在上是单调函数，则的取值可能是（ ）
A. 0B. 1C. D. 3
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的单调性求出a的取值范围，即可得到选项.
【详解】当时，增函数，
所以当时，也为增函数，
所以，解得.
故选：BC
【点睛】此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值辨析导致产生增根.
13. 下列函数中，既是偶函数又在上是递减的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：A：是偶函数，且在上递减，∴该选项正确；
B：是奇函数，∴该选项错误；
C：是偶函数，且在上递减，∴该选项正确；
D：是非奇非偶函数，∴该选项错误.
故选：AC
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
14. 不等式的解集为________________．（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】先将不等式变形为，然后解出该不等式可得出其解集.
【详解】不等式等价于，解该不等式得或，
因此，不等式的解集为，故答案为.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，要熟悉一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.
15. 已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ .
【答案】
【解析】
【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.
【详解】数轴上表示出集合和集合,要使，只有.
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题.
16. 定义在上的奇函数f(x)若函数f(x)在上为增函数，且则不等式的解集为_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先将题意转化为或，再画出函数的图象，根据图象解不等式即可.
【详解】由题意得到f(x)与异号，故不等式可转化为或，
根据题意可作函数图象，如图所示：

由图象可得：当时，；当时，，
则不等式的解集是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，属于简单题.
17. 若关于的不等式在内恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【详解】由,得,在同一坐标系中作和的草图,如图所示
要使在内恒成立,只要在内的图象在的上方,于是.
因为时，
所以只要时,
所以，即.又，所以即实数的取值范围为.
答案为：.
【点睛】本题考查函数的函数与方程及函数的零点个数问题，还涉及导数的几何意义，难度较大．解决此类问题的方法是先求出函数在所给区间上的解析式，画出函数的草图，利用数形结合的方法进行求解．解题时先得到参数取值的临界值，然后结合图象再确定参数的取值范围．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 设集合,.
（1）若，求m的范围；
（2）若，求m的范围.
【答案】（1）或；（2）或.
【解析】
【分析】（1）分和两种情况讨论,使得即可;
（2）分和两种情况讨论,使得即可.
【详解】（1）已知,.
当时,有,即,满足.
当时,有,即,
又,则或,即或，
综上可知,m的取值范围为或；
（2）∵,∴.
当时,有,即,满足题意.
当,有,即,且,解得.
综上可知,m的取值范围为或.
【点睛】本题考查了集合的交集与并集的性质,注意空集是任何一个集合的子集,属于基础题.
19. （1）设，求的值；
（2）已知cs（75°+α），且﹣180°＜α＜﹣90°，求cs（15°﹣α）的值．
【答案】（1）－1；（2）．
【解析】
【分析】（1）将分子的1化成sin2α+cs2α，然后将分子、分母都除以cs2α，得到关于tanα的分式，代入题中数据即可得到所求式子的值．
（2）根据α的取值范围，利用同角三角函数的关系算出sin（75°+α），再由互为余角的两角的诱导公式加以计算，可得cs（15°﹣α）的值．
【详解】（1）∵1＝sin2α+cs2α，．
∴原式；
（2）∵由﹣180°＜α＜﹣90°，得﹣105°＜α+75°＜﹣15°，
∴sin（75°+α），
∵cs（15°﹣α）＝cs[90°﹣（75°+α）]＝sin（75°+α）
∴cs（15°﹣α）．
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、任意角的三角函数与诱导公式等知识，属于基础题．
20. 设集合，集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据交集先将元素2代入集合，求出的值再逐一验证；
（2）对进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集.
【小问1详解】
由题意得．
，
即，化简得：，
即，解得：，
经检验当，满足
当，满足
【小问2详解】
，故
①当为空集，则，即，得或；
②当为单元素集，则，即，得或，
当，舍去；当符合；
③当为双元素集，则，则有，无解，
综上：实数的取值范围为.
21. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）试判断函数在上的单调性；
（3）试判断函数在的最大值和最小值.
【答案】（1）；
（2）函数在上是增函数；
（3）最大值是，最小值是.
【解析】
【分析】（1）利用函数的定义域概念求解；
（2）利用函数单调性的定义判断并证明；
（3）利用函数的单调性和最值关系求解.
【小问1详解】
要使函数有意义，则，解得，
所以定义域为；
【小问2详解】
由题，，
判断函数在上是增函数，
证明如下：
，
，
因为，
所以，
所以，所以，
所以函数在上是增函数.
【小问3详解】
由（2）知，函数在单调递增，
所以
22. 已知定义域为的函数是奇函数
（1）求的值
（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）减函数，证明见解析（3）
【解析】
【分析】(1)由题意结合确定实数a的值即可；
(2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可；
(3)由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f符号，结合恒成立的结论求解实数的取值范围即可.
【详解】（1）由题设，需．经验证，为奇函数，
（2）减函数.
证明：任取，，
，
，
所以在上是减函数.
（3）由得，
是奇函数，，
由（2）知在是减函数，
故原问题可化为即：对任意恒成立，
，
解得.
【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.
23. 设函数．
（1）若不等式的解集，求的值；
（2）若，
①，求的最小值；
②若在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）①9；②
【解析】
【分析】（1）利用不等式的解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可；
（2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把转化为在R上恒成立，利用判别式求解即可.
【小问1详解】
若不等式的解集，
则，
所以.
解得.
【小问2详解】
若，即，.
①，则，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为9，
②在R上恒成立，
即在R上恒成立，
故，
解得：
故a的取值范围为