2025新高考物理二轮复习【核心素养测评】十九 机械能守恒定律（练习，含解析）

这是一份2025新高考物理二轮复习【核心素养测评】十九 机械能守恒定律（练习，含解析），共21页。

【基础巩固练】
1. (6分)(体育运动情境)(2023·邯郸模拟)如图所示,撑竿跳全过程可分为四个阶段:A→B阶段人加速助跑;B→C阶段竿弯曲程度增大、人上升;C→D阶段竿弯曲程度减小、人上升;D→E阶段人过横杆后下落,D为全过程的最高点。取地面为参考平面,空气阻力不计。则( )
A.四个阶段中人的机械能都不守恒
B.B→D阶段人的重力势能增大,竿的弹性势能增大
C.C→D阶段竿对人做的功等于人机械能的变化量
D.人落地时的动能等于人在D点时的重力势能
2.(6分) (生产生活情境)(2023·大连模拟)沿平直公路匀速行驶的汽车上,固定着一个正四棱台,其上、下台面水平,如图为俯视示意图。在顶面上四边的中点a、b、c、d沿着各斜面方向,同时相对于正四棱台无初速度释放4个相同小球。设它们到达各自棱台底边分别用时Ta、Tb、Tc、Td,到达各自棱台底边时相对于地面的机械能分别为Ea、Eb、Ec、Ed(取水平地面为参考平面,忽略斜面对小球的摩擦力)。则有( )
A.Ta=Tb=Tc=Td,Ea=Eb=Ec=Ed
B.Ta=Tb=Tc=Td,Ea>Eb=Ed>Ec
C.TaEb=Ed>Ec
D.Ta3.(6分)如图,将一质量为m的小球从a点以初速度v斜向上抛出(不计空气阻力),小球先后经过b、c两点。已知a、c之间的高度差和b、c之间的高度差均为h,重力加速度为g,取a点所在的水平面为参考平面,则小球在( )
A.b点的机械能为2mgh
B.b点的动能为12mv2+2mgh
C.c点的机械能为mgh
D.c点的动能为12mv2-mgh
4.(6分)(2022·全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑,在下滑过程中,小环的速率正比于
( )
A.它滑过的弧长
B.它下降的高度
C.它到P点的距离
D.它与P点的连线扫过的面积
【加固训练】
(2023·荆州模拟)如图所示,固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个质量为m的小圆环,小圆环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑,当小圆环的向心加速度大小等于重力加速度g时,大圆环对小圆环的弹力大小为( )
A.0 C.mg D.2mg
5. (6分)(2023·北京海淀区模拟)在一轻弹簧下挂一重物,将它从位置P处放开,它将迅速下降,直至位置N后再返回(如甲图所示)。若我们用手托着该重物使它缓缓下降,最终它在到达位置Q后就不再运动了(如乙图所示)。记弹簧的弹性势能为Ep1、重物和地球的重力势能为Ep2、重物的动能为Ek,弹簧始终处于弹性限度内,关于两次实验,下列说法正确的是( )
A.甲图里重物从Q到N的过程中,Ep1+Ep2持续减小
B.乙图里重物从P到Q的过程中,Ep1+Ep2持续增大
C.甲图里重物从P到N的过程中,Ep1+Ep2+Ek保持不变
D.乙图里重物从P到Q的过程中,Ep1+Ep2+Ek保持不变
6.(6分) (学习探究情境)(2023·洛阳模拟)如图所示,一根两端开口的薄壁圆管竖直插入盛有水的薄壁圆柱体桶中。在圆管内有一不漏气的活塞,它可沿圆管上下无摩擦地滑动。开始时,圆管内外水面相齐,且活塞恰好触及水面,圆桶内水面距桶口高度差为h。现通过轻绳对活塞施加一个向上的拉力,使活塞缓慢向上移动(圆桶和圆管竖直固定不动,圆桶内水足够深)。已知圆管半径为r,圆桶半径为2r,水的密度为ρ,重力加速度为g,不计活塞质量。当活塞上升到和圆桶口相平的过程中(此时活塞仍触及水面)。关于绳子拉力所做的功W,下列关系正确的是( )
A.W=43πρr2gh2 B.W=23πρr2gh2
C.W=πρr2gh2D.W=12πρr2gh2
【加固训练】
小珂在游乐场游玩时,发现过山车(图甲)有圆形轨道也有“水滴”形轨道,想到了教材必修二上有如下表述:运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动,可以称为一般的曲线运动。尽管这时曲线各个位置的弯曲程度不一样,但在研究时,可以把这条曲线分割为许多很短的小段,质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分(注解:该一小段圆周的半径为该点的曲率半径),这样,在分析质点经过曲线上某位置的运动时,就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。小珂设计了如图乙所示的过山车模型,质量为m的小球在A点静止释放,沿倾斜轨道AB下滑,经水平轨道BC进入半径R1=0.8 m的圆形轨道(恰能做完整的圆周运动),再经水平轨道CE进入“水滴”形曲线轨道EFG,E点的曲率半径为R2=2 m,并且在“水滴”形轨道上运动时,向心加速度大小为一定值,F与D等高。忽略所有轨道摩擦力,轨道连接处都平滑连接,“水滴”形轨道左右对称。(g取10 m/s2)
(1)求小球释放点A距离水平面的高度H;
(2)设小球在圆形轨道上运动时,离水平面的高度为h,求向心加速度a与h的函数关系;
(3)设小球在“水滴”形轨道上运动时,求轨道曲率半径r与h的函数关系(h为小球离水平面的高度)。
【综合应用练】
7.(6分)(多选)(2023·景德镇模拟)如图(a),在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC,小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道,图(b)是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中,其速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5 N,空气阻力不计,B点为AC轨道中点,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A.图(b)中x=36 m2/s2
B.小球质量为0.2 kg
C.小球在A点时重力的功率为10 W
D.小球在B点受到轨道作用力为8.5 N
8.(6分) (2023·常州模拟)如图所示,两个完全相同的轻质小滑轮P、Q固定在天花板上,一段不可伸长的轻质细绳通过滑轮,两端分别系住小球A、B,现用一轻质光滑小挂钩将小球C挂在滑轮PQ之间的水平细绳的中间位置上,静止释放小球C,在小球C下降的某时刻,拉小球C的细绳与水平方向成θ角。已知三小球A、B、C的质量均为m,A、B小球始终没有与P、Q相撞,忽略一切阻力,sin37°=0.6,cs37°=0.8,则下列关于小球C在下降过程中说法正确的个数为( )
①A、B、C三小球组成的系统机械能守恒
②小球C重力做功的瞬时功率先变大后变小
③A、B、C三小球的速度大小的关系为vA=vB=vCsinθ
④当θ=53°时小球C下降到最低点
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【加固训练】
(2023·岳阳模拟)如图所示,一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2,一端和质量为m的小球连接,另一端与套在光滑固定直杆上质量也为m的小物块连接,直杆与两定滑轮在同一竖直面内,与水平面的夹角θ=60°,直杆上O点与两定滑轮均在同一高度,O点到定滑轮O1的距离为L,直杆上D点到O点的距离也为L,重力加速度为g,直杆足够长,小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从O点由静止释放,下列说法错误的是( )
A.小物块刚释放时,轻绳中的张力大小为mg
B.小球运动到最低点时,小物块加速度的大小为32g
C.小物块下滑至D点时,小物块与小球的速度大小之比为2∶1
D.小物块下滑至D点时,小物块的速度大小为203gL5
9.(6分) (多选)(2023·恩施模拟)如图所示,不计质量的细杆两端分别通过铰链固定有可视为质点的小球A、B,质量均为m,杆的长度为l。开始时A、B均靠在光滑竖直墙面上并处于静止状态,A在光滑水平地面上。当有轻微扰动后,可能A球开始沿水平地面向右滑动,B球随之下降,也可能B球先向右运动。两球始终在同一竖直平面内运动,细杆与水平方向的夹角为θ(θ<90°),重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
A.不管A先向右运动还是B先向右运动,当sinθ=23时,A和B的动能都达到最大
B.不管A先向右运动还是B先向右运动,当sinθ<23时,都会离开竖直墙面
C.当A先向右运动时,A球的机械能先增大后减小
D.当B先向右运动时,B球的机械能先增大后减小
10.(10分)如图所示,长L=0.8 m的光滑直杆以倾角θ=37°固定在地面上。轻绳一端与套在直杆顶端的质量mA=1.6 kg的小球A连接,另一端绕过两个光滑的轻质小定滑轮O1、O2后与物体B连接。初始控制小球A静止不动,与A相连的绳子保持水平,此时绳子中的张力F=45 N。质量mB=3.5 kg的物体B与固定在地面的竖直轻弹簧连接,弹簧的劲度系数k=100 N/m。已知AO1=0.5 m,重力加速度大小g取10 m/s2,sin37°=0.6,cs37°=0.8,轻绳不可伸长,A、B均可视为质点。现将小球A由静止释放。
(1)求释放小球A之前弹簧的形变量;
(2)若直线CO1与杆垂直,求小球A运动到C点的过程中绳子拉力对小球A所做的功;
(3)求小球A运动到直杆底端D点时的速度大小。
【情境创新练】
11.(6分)(科技前沿情境)(2023·南昌模拟)早期航母使用重力型阻拦索使飞机在短距离内停下,如图甲所示,阻拦索通过固定于航母甲板两侧的滑轮分别挂有质量为m=500 kg的沙袋。在无风环境下,一螺旋桨式舰载机以v0的速度降落到该静止的航母上,尾钩立即钩到阻拦索的中间位置,滑行一段距离后速度减为零,这一过程沙袋被提起的高度h1=20 m。螺旋桨式舰载机(含飞行员)质量M=500 kg,忽略飞机所受甲板摩擦力以及空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。
(1)螺旋桨式舰载机降落到航母上的速度v0的大小为多少?
(2)如图乙所示,阻拦索在甲板上的长度为l=15 m,当θ=30°时,舰载机的速度大小为多少?
解析版
1. (6分)(体育运动情境)(2023·邯郸模拟)如图所示,撑竿跳全过程可分为四个阶段:A→B阶段人加速助跑;B→C阶段竿弯曲程度增大、人上升;C→D阶段竿弯曲程度减小、人上升;D→E阶段人过横杆后下落,D为全过程的最高点。取地面为参考平面,空气阻力不计。则( )
A.四个阶段中人的机械能都不守恒
B.B→D阶段人的重力势能增大,竿的弹性势能增大
C.C→D阶段竿对人做的功等于人机械能的变化量
D.人落地时的动能等于人在D点时的重力势能
【解析】选C。D→E阶段人过横杆后下落,只有重力做功,机械能守恒,故A错误;B→D阶段人的高度升高,重力势能增大,B→C竿形变量变大,弹性势能变大,C→D竿的弹性势能减小,形变量减小,故B错误;C→D阶段除重力以外,只有竿对人做功,所以竿对人做的功等于人机械能的变化量,故C正确;因为人在D点有动能,所以根据机械能守恒可知,人落地时的动能大于人在D点时的重力势能,故D错误。
2.(6分) (生产生活情境)(2023·大连模拟)沿平直公路匀速行驶的汽车上,固定着一个正四棱台,其上、下台面水平,如图为俯视示意图。在顶面上四边的中点a、b、c、d沿着各斜面方向,同时相对于正四棱台无初速度释放4个相同小球。设它们到达各自棱台底边分别用时Ta、Tb、Tc、Td,到达各自棱台底边时相对于地面的机械能分别为Ea、Eb、Ec、Ed(取水平地面为参考平面,忽略斜面对小球的摩擦力)。则有( )
A.Ta=Tb=Tc=Td,Ea=Eb=Ec=Ed
B.Ta=Tb=Tc=Td,Ea>Eb=Ed>Ec
C.TaEb=Ed>Ec
D.Ta【解析】选B。以棱台为参考系,以释放点为原点建立坐标系。水平方向的加速度ax=gsinθcsθ,竖直加速度ay=gsinθsinθ,相对于棱台水平位移x=12gsinθcsθt2,竖直位移y=12gsinθsinθt2,四个小球的竖直位移y均相同,故所用时间相同,即Ta=Tb=Tc=Td,根据功的定义可知,重力对四个小球做功相等,因a受支持力与运动方向成锐角,做正功,而c受支持力与运动方向成钝角,做负功,b、d受到的支持力与运动方向垂直,不做功;故前者水平速度大,故落地时的机械能关系为Ea>Eb=Ed>Ec,故B正确,A、C、D错误。
3.(6分)如图,将一质量为m的小球从a点以初速度v斜向上抛出(不计空气阻力),小球先后经过b、c两点。已知a、c之间的高度差和b、c之间的高度差均为h,重力加速度为g,取a点所在的水平面为参考平面,则小球在( )
A.b点的机械能为2mgh
B.b点的动能为12mv2+2mgh
C.c点的机械能为mgh
D.c点的动能为12mv2-mgh
【解析】选D。b点不是最高点,根据机械能守恒,b点机械能为Eb=Ea=12mv2>2mgh,同理,c点机械能大于mgh ,A、C错误;根据机械能守恒12mv2=Ekb+2mgh,b点的动能为Ekb=12mv2-2mgh,B错误;根据机械能守恒12mv2=Ekc+mgh,c点的动能为Ekc=12mv2-mgh,D正确。
4.(6分)(2022·全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑,在下滑过程中,小环的速率正比于
( )
A.它滑过的弧长
B.它下降的高度
C.它到P点的距离
D.它与P点的连线扫过的面积
【解析】选C。设大圆环的半径为R,小环下降的高度为h,它到P点的距离为L,如图所示
对小环,根据动能定理有:mgh=12mv2,而h=Lsinθ、sinθ=L2R,联立解得v=LgR,故选项C正确。
【加固训练】
(2023·荆州模拟)如图所示,固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个质量为m的小圆环,小圆环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑,当小圆环的向心加速度大小等于重力加速度g时,大圆环对小圆环的弹力大小为( )
A.0 C.mg D.2mg
【解析】选B。环的向心加速度为an=v2R=g,即v=gR,说明此时小环在大圆环的上部,设环与圆心的连线跟竖直方向的夹角为θ,由机械能守恒定律mgR(1-csθ)=12mv2,大圆环对小圆环的弹力大小满足N+mgcsθ=mv2R,解得θ=60°,N=12mg,故选B。
5. (6分)(2023·北京海淀区模拟)在一轻弹簧下挂一重物,将它从位置P处放开,它将迅速下降,直至位置N后再返回(如甲图所示)。若我们用手托着该重物使它缓缓下降,最终它在到达位置Q后就不再运动了(如乙图所示)。记弹簧的弹性势能为Ep1、重物和地球的重力势能为Ep2、重物的动能为Ek,弹簧始终处于弹性限度内,关于两次实验,下列说法正确的是( )
A.甲图里重物从Q到N的过程中,Ep1+Ep2持续减小
B.乙图里重物从P到Q的过程中,Ep1+Ep2持续增大
C.甲图里重物从P到N的过程中,Ep1+Ep2+Ek保持不变
D.乙图里重物从P到Q的过程中,Ep1+Ep2+Ek保持不变
【解析】选C。由题意可知,甲图里重物在到达位置Q处,弹簧的弹力与重物的重力大小相等,此时重物的速度最大,则重物从Q到N的过程中,弹力大于重力,重物做减速运动,动能减小,重物与弹簧组成的系统机械能守恒,由机械能守恒定律可知,Ep1+Ep2持续增大,A错误;乙图里重物从P到Q的过程中,用手托着该重物使它缓缓下降,重物动能不变,可手对重物的支持力对重物做负功,则系统的机械能减小,则有Ep1+Ep2持续减小,B错误;甲图里重物从P到N的过程中,重物与弹簧组成的系统机械能守恒,则有Ep1+Ep2+Ek保持不变,C正确;乙图里重物从P到Q的过程中,手对重物的支持力对重物做负功,因此系统的机械能减小,则有Ep1+Ep2+Ek减小,D错误。
6.(6分) (学习探究情境)(2023·洛阳模拟)如图所示,一根两端开口的薄壁圆管竖直插入盛有水的薄壁圆柱体桶中。在圆管内有一不漏气的活塞,它可沿圆管上下无摩擦地滑动。开始时,圆管内外水面相齐,且活塞恰好触及水面,圆桶内水面距桶口高度差为h。现通过轻绳对活塞施加一个向上的拉力,使活塞缓慢向上移动(圆桶和圆管竖直固定不动,圆桶内水足够深)。已知圆管半径为r,圆桶半径为2r,水的密度为ρ,重力加速度为g,不计活塞质量。当活塞上升到和圆桶口相平的过程中(此时活塞仍触及水面)。关于绳子拉力所做的功W,下列关系正确的是( )
A.W=43πρr2gh2 B.W=23πρr2gh2
C.W=πρr2gh2D.W=12πρr2gh2
【解析】选B。活塞上升距离为h,设管外水面下降距离为h1,则管内外水面高度差h2=h+h1,因水的体积不变,有h1=hπr2π(2r)2-πr2=13h,可得h2=43h,由功能关系可知,拉力做的功全部转化为上升水的重力势能,则W=ρ(πr2)hgℎ22=23πρr2gh2,故选B。
【加固训练】
小珂在游乐场游玩时,发现过山车(图甲)有圆形轨道也有“水滴”形轨道,想到了教材必修二上有如下表述:运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动,可以称为一般的曲线运动。尽管这时曲线各个位置的弯曲程度不一样,但在研究时,可以把这条曲线分割为许多很短的小段,质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分(注解:该一小段圆周的半径为该点的曲率半径),这样,在分析质点经过曲线上某位置的运动时,就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。小珂设计了如图乙所示的过山车模型,质量为m的小球在A点静止释放,沿倾斜轨道AB下滑,经水平轨道BC进入半径R1=0.8 m的圆形轨道(恰能做完整的圆周运动),再经水平轨道CE进入“水滴”形曲线轨道EFG,E点的曲率半径为R2=2 m,并且在“水滴”形轨道上运动时,向心加速度大小为一定值,F与D等高。忽略所有轨道摩擦力,轨道连接处都平滑连接,“水滴”形轨道左右对称。(g取10 m/s2)
(1)求小球释放点A距离水平面的高度H;
答案:(1)2 m
【解析】(1)小球在圆形轨道最高点D点时有mg=mvD2R1
从A到D过程中,由机械能守恒定律得
mgH-2mgR1=12mvD2
解得H=2 m
(2)设小球在圆形轨道上运动时,离水平面的高度为h,求向心加速度a与h的函数关系;
答案:(2)a=50-25h(0≤h≤1.6 m)
【解析】(2)由机械能守恒定律得
mg(H-h)=12mv2
又a=v2R1
解得a=50-25h(0≤h≤1.6 m)
(3)设小球在“水滴”形轨道上运动时,求轨道曲率半径r与h的函数关系(h为小球离水平面的高度)。
答案:(3)r=2 m-h(0≤h≤1.6 m)
【解析】(3)A到E点,由机械能守恒定律得
mgH=12mvE2
又a'=vE2R2
解得a'=2g
由题意可知,小球在“水滴”形轨道上运动时,向心加速度大小相等,均为a'=2g。
当小球高度为h时,由机械能守恒定律得
mg(H-h)=12mv2,a'=v2r
解得r=2 m-h(0≤h≤1.6 m)。
【综合应用练】
7.(6分)(多选)(2023·景德镇模拟)如图(a),在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC,小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道,图(b)是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中,其速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5 N,空气阻力不计,B点为AC轨道中点,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A.图(b)中x=36 m2/s2
B.小球质量为0.2 kg
C.小球在A点时重力的功率为10 W
D.小球在B点受到轨道作用力为8.5 N
【解析】选B、D。小球在光滑轨道上运动,只有重力做功,故机械能守恒,有12mvA2=12mvℎ2+mgh,解得vA2=vℎ2+2gh,即x=vA2=25 m2/s2,故A错误;依题意小球在C点时有F+mg=mvC2R,又vC2=9 m2/s2,2R=0.8 m,解得m=0.2 kg,故B正确;小球在A点时重力方向竖直向下,速度水平向右,二者夹角为90°,根据P=mgvcsθ,易知功率为零,故C错误;由机械能守恒,可得12mvA2=12mvB2+mgR,又因为小球在B点受到的在水平方向上的合外力提供向心力,可得FB=mvB2R,联立,可得FB=8.5 N,故D正确。
8.(6分) (2023·常州模拟)如图所示,两个完全相同的轻质小滑轮P、Q固定在天花板上,一段不可伸长的轻质细绳通过滑轮,两端分别系住小球A、B,现用一轻质光滑小挂钩将小球C挂在滑轮PQ之间的水平细绳的中间位置上,静止释放小球C,在小球C下降的某时刻,拉小球C的细绳与水平方向成θ角。已知三小球A、B、C的质量均为m,A、B小球始终没有与P、Q相撞,忽略一切阻力,sin37°=0.6,cs37°=0.8,则下列关于小球C在下降过程中说法正确的个数为( )
①A、B、C三小球组成的系统机械能守恒
②小球C重力做功的瞬时功率先变大后变小
③A、B、C三小球的速度大小的关系为vA=vB=vCsinθ
④当θ=53°时小球C下降到最低点
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】选A。忽略一切阻力,A、B、C三小球组成的系统,机械能没有向其他形式能量转化,机械能守恒,①正确;小球C在下降过程中,小球C速度先增大后减小,由P=mgv可知,小球C重力做功的瞬时功率先变大后变小,②正确;小球C速度分解如图甲所示,由对称性可知vA=vB,又vCsinθ=vA,得vA=vB=vCsinθ,③正确;设滑轮P、Q之间的水平细绳的长度为2l2,小球C下降到最低点时,下降的高度为h,滑轮与小球C之间长度为l1,如图乙所示,
小球C下降到最低点过程中,三球组成的系统机械能守恒,即2mg(l1-l2)=mgh,又h=l12-l22,解得l2=35l1,此时csθ=l2l1=35,得θ=53°,④正确。说法正确的个数为4个,故选A。
【加固训练】
(2023·岳阳模拟)如图所示,一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2,一端和质量为m的小球连接,另一端与套在光滑固定直杆上质量也为m的小物块连接,直杆与两定滑轮在同一竖直面内,与水平面的夹角θ=60°,直杆上O点与两定滑轮均在同一高度,O点到定滑轮O1的距离为L,直杆上D点到O点的距离也为L,重力加速度为g,直杆足够长,小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从O点由静止释放,下列说法错误的是( )
A.小物块刚释放时,轻绳中的张力大小为mg
B.小球运动到最低点时,小物块加速度的大小为32g
C.小物块下滑至D点时,小物块与小球的速度大小之比为2∶1
D.小物块下滑至D点时,小物块的速度大小为203gL5
【解析】选A。小物块刚释放时,小物块将加速下滑,加速度向下,小球处于失重状态,则轻绳对小球的拉力小于球的重力mg,故A错误,符合题意;当拉物块的绳子与直杆垂直时,小球下降的距离最大,对小物块受力分析,由牛顿第二定律mgsinθ=ma,此时小物块加速度的大小为a=32g,故B正确,不符合题意;将小物块的速度分解为沿绳子方向和垂直绳子方向,如图所示,
沿绳子方向的分速度等于小球的速度,即vcs60°=v1,所以小物块在D处的速度
与小球的速度之比为vv1=21,故C正确,不符合题意;设小物块下滑距离为L时的速度大小为v,此时小球的速度大小为v1,对小物块和小球组成的系统根据机械能守恒定律,有mgLsin60°=12mv2+12mv12,其中vv1=21,解得,此时小物块的速度大小为v=203gL5,故D正确,不符合题意。
9.(6分) (多选)(2023·恩施模拟)如图所示,不计质量的细杆两端分别通过铰链固定有可视为质点的小球A、B,质量均为m,杆的长度为l。开始时A、B均靠在光滑竖直墙面上并处于静止状态,A在光滑水平地面上。当有轻微扰动后,可能A球开始沿水平地面向右滑动,B球随之下降,也可能B球先向右运动。两球始终在同一竖直平面内运动,细杆与水平方向的夹角为θ(θ<90°),重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
A.不管A先向右运动还是B先向右运动,当sinθ=23时,A和B的动能都达到最大
B.不管A先向右运动还是B先向右运动,当sinθ<23时,都会离开竖直墙面
C.当A先向右运动时,A球的机械能先增大后减小
D.当B先向右运动时,B球的机械能先增大后减小
【解析】选B、C。若A先向右运动时,假设小球B能一直沿着墙面向下运动,设细杆与水平方向的夹角为θ时,两小球的速度大小分别为vA、vB,根据连接体关联速度之间的关系可得vBsinθ=vAcsθ,即vB=vAtanθ,则由系统机械能守恒定律有mgl(1-sinθ)=12m(vAtanθ)2+12mvA2,整理结合数学知识可得vA2=gl(2-2sinθ)sin2θ≤8gl27,当sinθ=23 时取等号,说明小球A的动能先增大后减小,即杆中先存在挤压的内力,之后出现拉伸的内力,故此后B会离开墙面,直至B落地,B的重力始终对AB组成的系统做正功,因此B的动能始终增大;若B先向右运动时,当杆与水平方向成θ角时,球B的速度大小为v,根据机械能守恒定律有12mv2=mgl(1-sinθ),解得v=2gl(1-sinθ),对于小球B,由牛顿第二定律有mgsinθ-N=mv2l,由上两式解得N=mg(3sinθ-2),当sinθ=23时N=0,即此时A离开墙面,此后AB及杆组成的系统机械能守恒,B的动能继续增大,但B的机械能减小,一部分机械能转化成了A的动能,故B正确;根据以上分析可知,B的动能一直在增大,直至落地时动能达到最大,故A错误;根据以上分析可知,当A先向右运动时,杆对A的作用力对A先做正功后做负功,故A球的机械能先增大后减小,故C正确;根据以上分析可知,当B先向右运动时,B球机械能先不变后减小,故D错误。
10.(10分)如图所示,长L=0.8 m的光滑直杆以倾角θ=37°固定在地面上。轻绳一端与套在直杆顶端的质量mA=1.6 kg的小球A连接,另一端绕过两个光滑的轻质小定滑轮O1、O2后与物体B连接。初始控制小球A静止不动,与A相连的绳子保持水平,此时绳子中的张力F=45 N。质量mB=3.5 kg的物体B与固定在地面的竖直轻弹簧连接,弹簧的劲度系数k=100 N/m。已知AO1=0.5 m,重力加速度大小g取10 m/s2,sin37°=0.6,cs37°=0.8,轻绳不可伸长,A、B均可视为质点。现将小球A由静止释放。
(1)求释放小球A之前弹簧的形变量;
答案:(1)0.1 m
【解析】(1)释放小球A前,B处于静止状态,由于绳子的拉力大于B受到的重力,故弹簧被拉伸,设弹簧的伸长量为x,对于B,根据平衡条件有kx=F-mBg,
解得x=0.1 m
(2)若直线CO1与杆垂直,求小球A运动到C点的过程中绳子拉力对小球A所做的功;
答案:(2)7 J
【解析】(2)对A球从直杆顶端运动到C点的过程,应用动能定理得
W+mAgh=12mAvA2-0
其中h=CO1cs37°,CO1=AO1sin37°=0.3 m
物体B下降的高度h'=AO1-CO1=0.2 m
由此可知,弹簧此时被压缩了0.1 m,弹簧的弹性势能与初状态相等,A、B和弹簧组成的系统机械能守恒,有
mAgh+mBgh'=12mAvA2+12mBvB2
由题意知,小球A在C点时运动方向与绳垂直,此瞬间物体B的速度为零,
解得W=7 J
(3)求小球A运动到直杆底端D点时的速度大小。
答案:(3)2 m/s
【解析】(3)由题意可知,杆长L=0.8 m,AC=AO1cs37°=0.4 m,
故∠CDO1=θ=37°,DO1=AO1
当A到达D点时,弹簧的弹性势能与初状态相等,物体B又回到原位置,在D点对小球A的速度沿绳和垂直于绳方向进行分解,沿绳方向的速度等于B的速度,由几何关系得vB'=vA'cs37°
对于整个过程,由机械能守恒定律得
mAgLsin37°=12mAvA'2+12mBvB'2
解得vA'=2 m/s。
【解题指南】求解本题需注意以下三点:
(1)释放小球A之前,对B受力分析,根据平衡条件列式可求;
(2)小球A运动到C点时弹簧被压缩,A、B和弹簧组成的系统机械能守恒,根据机械能守恒定律列式可求;
(3)小球A从最高点运动到直杆底端D点过程,A、B及弹簧组成的系统机械能守恒,根据机械能守恒定律列式可求。
【情境创新练】
11.(6分)(科技前沿情境)(2023·南昌模拟)早期航母使用重力型阻拦索使飞机在短距离内停下,如图甲所示,阻拦索通过固定于航母甲板两侧的滑轮分别挂有质量为m=500 kg的沙袋。在无风环境下,一螺旋桨式舰载机以v0的速度降落到该静止的航母上,尾钩立即钩到阻拦索的中间位置,滑行一段距离后速度减为零,这一过程沙袋被提起的高度h1=20 m。螺旋桨式舰载机(含飞行员)质量M=500 kg,忽略飞机所受甲板摩擦力以及空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。
(1)螺旋桨式舰载机降落到航母上的速度v0的大小为多少?
答案:(1)202 m/s
【解析】(1)在忽略摩擦力和空气阻力的前提下,舰载机与沙袋所组成的系统机械能守恒,舰载机的动能会转化为沙袋的重力势能,则有12Mv02=2mgh1,
解得v0=202 m/s
(2)如图乙所示,阻拦索在甲板上的长度为l=15 m,当θ=30°时,舰载机的速度大小为多少?
答案:(2)102 m/s
【解析】(2)当θ=30°时,由几何关系可得舰载机与滑轮间阻拦索的长度l'=l=15 m
此时沙袋被提起的高度h2=l'-l2=7.5 m
由几何关系可得,此时舰载机速度方向与阻拦索的夹角为30°,舰载机沿阻拦索分速度与沙袋沿阻拦索分速度一样,设此时舰载机的速度为v1,沙袋速度为v2,则有32v1=v2
由系统机械能守恒可得
12Mv02=12Mv12+12×2mv22+2mgh2
联立解得v1=102 m/s。