2025新高考物理二轮复习【核心素养测评】三十一 洛伦兹力与现代科技（练习，含解析）

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【基础巩固练】
1.(6分)(多选)如图所示是医用回旋加速器的示意图,其核心部分是两个D形金属盒,两金属盒置于匀强磁场中,并分别与高频电源相连。现分别加速氘核(12H)和氦核(24He)。下列说法中正确的是( )
A.氘核(12H)的最大速度较大
B.它们在D形盒内运动的周期相等
C.氦核(24He)的最大动能较大
D.仅增大高频电源的频率可增大粒子的最大动能
2.(6分)(2023·哈尔滨模拟)质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要设备,构造原理如图所示。离子源S产生的各种不同正离子束(初速度可视为零,不计粒子间相互作用)经MN间的加速电压加速后从小孔O垂直进入匀强磁场,运转半周后到达照相底片上的P点,P点到小孔O的距离为x。下列关于x与mq(比荷的倒数)的图像可能正确的是( )
3.(6分)(2021·福建选择考)一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场,其中电场的方向与金属板垂直,磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里,如图所示。一质子(11H)以速度v0自O点沿中轴线射入,恰沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入,能够做匀速直线运动的是(所有粒子均不考虑重力的影响)( )
A.以速度v02射入的正电子(10e)
B.以速度v0射入的电子(-1 0e)
C.以速度2v0射入的氘核(12H)
D.以速度4v0射入的α粒子(24He)
4.(6分)(2023·宁波模拟)在实验室中有一种污水流量计如图甲所示,其原理可以简化为如图乙所示模型:废液内含有大量正、负离子,从直径为d的圆柱形容器右侧流入,左侧流出。流量Q等于单位时间通过横截面的导电液体的体积。空间有垂直纸面向里且磁感应强度大小为B的匀强磁场,并测出M、N间的电压U,则下列说法正确的是( )
A.正、负离子所受洛伦兹力方向是相同的
B.容器内液体的流速为v=UBd
C.污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D.污水流量为Q=πUd2B
5.(6分)(2024·三明模拟)科学家利用图中一块长为a、宽为b、厚为c的金属霍尔元件检测某一海域中磁感应强度的大小。如图,恒定电流方向和磁场方向均垂直元件,元件上下表面间产生电势差,结合有关参数可求出此处的磁感应强度。关于产生的电势差,下列说法正确的是( )
A.元件上表面的电势高于下表面的电势
B.电流越大,电势差越小
C.元件宽度b越大,电势差越大
D.磁感应强度越大,电势差越大
6.(12分)(2021·北京等级考)如图所示,M为粒子加速器;N为速度选择器,两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场,磁场的方向垂直纸面向里,磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子,经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。
(1)求粒子加速器M的加速电压U;
(2)求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向;
(3)仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子,离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d,求该粒子离开N时的动能Ek。
【综合应用练】
7.(6分)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子,其示意图如图所示,其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速,经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速,为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场,需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为( )
A.11 B.12
C.121D.144
8.(6分)(多选)“天问一号”火星探测器由地火转移阶段进入火星俘获阶段后,环绕火星飞行三个月,反复对首选着陆区进行预先探测。“天问一号”环绕器携带磁强计等探测仪器,目前有一种磁强计,用于测定磁场的磁感应强度,原理如图所示,电路有一段金属导体,它的横截面是宽为a、高为b的长方形,放在沿y轴正方向的匀强磁场中,导体中通有沿x轴正方向、大小为I的电流。已知金属导体单位长度中的自由电子数为n,电子电荷量为e,金属导电过程中,自由电子的定向移动可视为匀速运动,两电极M、N分别与金属导体的前后两侧接触,用电压表测出金属导体前后两个侧面间的电势差为U,则关于磁感应强度的大小和电极M、N的正负说法正确的是( )
A.M为正、N为负
B.M为负、N为正
C.磁感应强度的大小为neUaI
D.磁感应强度的大小为nebUI
9.(12分)由于缺少地磁场的屏蔽作用,高能宇宙射线对航天员的辐射具有非常大的危害。目前,国际上正在积极探索载人航天主动防护的方法,其中某种磁防护方案为在航天器内建立同心圆柱体形屏蔽磁场,磁场分布情况如图所示。设同心圆内径R1=R,外径R2=3R,轴向足够长。设定区内为匀强磁场,磁场方向与轴平行,设定区外和防护区内无磁场。
(1)一个质子在平行于圆柱横截面的平面内,以速度v0沿指向圆心方向入射,该粒子恰好打不到防护区内部,求磁感应强度的大小和粒子在设定区内的运动时间。(已知质子的质量为m,电荷量为q)
(2)若宇宙中充满了大量速度大小为v0,沿任意方向运动的质子,为了使任何质子都打不到防护区内部,求磁感应强度的大小应该满足的条件。
(3)若已知磁感应强度为B0,以A点所在截面建立x-y坐标系,圆柱轴线为z轴,y轴通过A点。如有一质子以初速度v=2qB0Rm从A点射向防护区的C点,已知C点坐标(0,R,(3-1)R),求质子打到防护区的位置。
【情境创新练】
10.(14分) “国际热核聚变实验堆(ITER)计划”是目前全球规模最大、影响最深远的国际科研合作项目之一,其原理主要是将发生热核反应的高能粒子束缚在磁场中,其中一种设计方案原理如图所示,空间中存在两个以O为圆心的圆形保护磁场,磁场方向均垂直于纸面,磁场Ⅰ、Ⅱ的半径分别为R1、R2,粒子在O点发生热核反应。其中R1=2R0,R2=3R0,半径为R1的圆内磁感应强度大小为B1。有一电荷量为q,质量为m的粒子由O点以速度v射出,不计粒子的重力,不计任何阻力。(题中已知量为R0、q、B1、m)
(1)若粒子不能射出半径为R1的圆形区域,求粒子速度的最大值v1;
(2)若粒子由O点射出的速度为54v1,求粒子第一次在磁场Ⅰ区域运动的时间;
(3)若要使束缚效果最好,则半径R1和R2之间的圆环内磁感应强度B2要与B1方向相同。若B2=B12,为使粒子不能射出半径为R2的圆形区域,求粒子速度的最大值v2。
【加固训练】
(2021·广东选择考)如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图。空间有三个同心圆a、b、c围成的区域,圆a内为无场区,圆a与圆b之间存在辐射状电场,圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定,大小不同,方向均垂直纸面向外,电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场,电场可以反向,保证电子每次进入电场即被全程加速,已知圆a与圆b之间电势差为U,圆b半径为R,圆c半径为3R,电子质量为m,电荷量为e。忽略相对论效应。取tan 22.5°=0.4。
(1)当Ek0=0时,电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场,且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为 45°,最终从Q点出射,运动轨迹如图中带箭头实线所示。求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能;
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰,就能从出射区域出射。当Ek0=keU时,要保证电子从出射区域出射,求k的最大值。
解析版
1.(6分)(多选)如图所示是医用回旋加速器的示意图,其核心部分是两个D形金属盒,两金属盒置于匀强磁场中,并分别与高频电源相连。现分别加速氘核(12H)和氦核(24He)。下列说法中正确的是( )
A.氘核(12H)的最大速度较大
B.它们在D形盒内运动的周期相等
C.氦核(24He)的最大动能较大
D.仅增大高频电源的频率可增大粒子的最大动能
【解析】选B、C。粒子在回旋加速器中能达到的最大速度,取决于在最外圈做圆周运动的速度。根据qvB=mv2R,得v=qBRm,两粒子的比荷qm相等,所以最大速度相等,A错误。带电粒子在磁场中运动的周期T=2πmqB,两粒子的比荷qm相等,所以周期相等,B正确。最大动能Ek=12mv2=q2B2R22m,两粒子的比荷qm相等,但电荷量不相等,所以氦核最大动能大,C正确。回旋加速器加速粒子时,粒子在磁场中运动的周期与交流电的周期相同,否则无法加速,D错误。
2.(6分)(2023·哈尔滨模拟)质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要设备,构造原理如图所示。离子源S产生的各种不同正离子束(初速度可视为零,不计粒子间相互作用)经MN间的加速电压加速后从小孔O垂直进入匀强磁场,运转半周后到达照相底片上的P点,P点到小孔O的距离为x。下列关于x与mq(比荷的倒数)的图像可能正确的是( )
【解题指南】解答本题应注意以下两点:
(1)要选择好研究对象,并根据其经历的物理过程列出相应的方程;
(2)要掌握相关的数学函数知识,能根据表达式判断出图像。
【解析】选B。某一正离子经MN间的加速电压U加速,由动能定理有:Uq=12mv2
某一正离子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力充当向心力,则有:qvB=mv2r
由几何关系可知:x=2r
联立方程,解得:x=22UBmq
由幂函数的性质可知,A、C、D错误,B正确。
3.(6分)(2021·福建选择考)一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场,其中电场的方向与金属板垂直,磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里,如图所示。一质子(11H)以速度v0自O点沿中轴线射入,恰沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入,能够做匀速直线运动的是(所有粒子均不考虑重力的影响)( )
A.以速度v02射入的正电子(10e)
B.以速度v0射入的电子(-1 0e)
C.以速度2v0射入的氘核(12H)
D.以速度4v0射入的α粒子(24He)
【解析】选B。根据题述,质子(11H)以速度v0自O点沿中轴线射入,恰沿中轴线做匀速直线运动,可知质子所受的静电力和洛伦兹力平衡,即eE=ev0B,因此满足速度v=EB=v0的粒子才能够做匀速直线运动,所以选项B正确。
4.(6分)(2023·宁波模拟)在实验室中有一种污水流量计如图甲所示,其原理可以简化为如图乙所示模型:废液内含有大量正、负离子,从直径为d的圆柱形容器右侧流入,左侧流出。流量Q等于单位时间通过横截面的导电液体的体积。空间有垂直纸面向里且磁感应强度大小为B的匀强磁场,并测出M、N间的电压U,则下列说法正确的是( )
A.正、负离子所受洛伦兹力方向是相同的
B.容器内液体的流速为v=UBd
C.污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D.污水流量为Q=πUd2B
【解析】选B。离子进入磁场后受到洛伦兹力作用,根据左手定则可知,正离子受到的洛伦兹力向下,负离子受到的洛伦兹力向上,故A错误;当达到平衡时有Udq=qvB,解得v=UBd,故B正确;不带电的液体在磁场中不受力的作用,M、N两点没有电势差,无法计算流速,故C错误;污水流量为Q=vS=14πd2·UBd=πUd4B,故D错误。
5.(6分)(2024·三明模拟)科学家利用图中一块长为a、宽为b、厚为c的金属霍尔元件检测某一海域中磁感应强度的大小。如图,恒定电流方向和磁场方向均垂直元件,元件上下表面间产生电势差,结合有关参数可求出此处的磁感应强度。关于产生的电势差,下列说法正确的是( )
A.元件上表面的电势高于下表面的电势
B.电流越大,电势差越小
C.元件宽度b越大,电势差越大
D.磁感应强度越大,电势差越大
【解析】选D。金属材料中,定向移动的是自由电子,自由电子定向移动方向与电流方向相反,根据左手定则可知电子向上表面偏转,所以元件上表面的电势小于下表面的电势,故A错误;电子在电场中受力为eUb,受到的洛伦兹力为evB,根据金属电流微观表达式I=neSv=nebcv 得v=Inebc,当电场力和洛伦兹力相等时电流稳定,则有eUb=evB,联立解得U=IBnce,根据上述表达式可知,电流越大,电势差越大;元件宽度b越大,电势差不变;磁感应强度越大,电势差越大,故D正确,B、C错误。
6.(12分)(2021·北京等级考)如图所示,M为粒子加速器;N为速度选择器,两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场,磁场的方向垂直纸面向里,磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子,经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。
(1)求粒子加速器M的加速电压U;
答案:(1)mv22q
【解析】(1)根据功能关系:qU=12mv2
得U=mv22q;
(2)求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向;
答案: (2)Bv 方向垂直于导体板向下
【解析】(2)电场力与洛伦兹力平衡:qE=qBv
得E=Bv;
由左手定则判定电场的方向垂直导体板向下。
(3)仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子,离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d,求该粒子离开N时的动能Ek。
答案: (3)12mv2+qBvd
【解析】(3)电场力做正功,根据功能关系:
Ek=qU+qEd
得:Ek=12mv2+qBvd
【解题指南】解答本题应注意以下三点:
(1)在粒子加速度器M的运动过程利用功能关系求解;
(2)由左手定则判断出安培力方向,而且安培力方向和电场力方向相反,由此计算场强的大小和方向;
(3)对整个运动过程利用功能关系求解。
【综合应用练】
7.(6分)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子,其示意图如图所示,其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速,经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速,为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场,需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为( )
A.11 B.12
C.121D.144
【解析】选D。带电粒子在加速电场中运动时,有qU=12mv2,在磁场中偏转时,其半径r=mvqB,由以上两式整理得:r=1B2mUq。由于质子与一价正离子的电荷量相同,B1∶B2=1∶12,当半径相等时,解得:m2m1=144,选项D正确。
8.(6分)(多选)“天问一号”火星探测器由地火转移阶段进入火星俘获阶段后,环绕火星飞行三个月,反复对首选着陆区进行预先探测。“天问一号”环绕器携带磁强计等探测仪器,目前有一种磁强计,用于测定磁场的磁感应强度,原理如图所示,电路有一段金属导体,它的横截面是宽为a、高为b的长方形,放在沿y轴正方向的匀强磁场中,导体中通有沿x轴正方向、大小为I的电流。已知金属导体单位长度中的自由电子数为n,电子电荷量为e,金属导电过程中,自由电子的定向移动可视为匀速运动,两电极M、N分别与金属导体的前后两侧接触,用电压表测出金属导体前后两个侧面间的电势差为U,则关于磁感应强度的大小和电极M、N的正负说法正确的是( )
A.M为正、N为负
B.M为负、N为正
C.磁感应强度的大小为neUaI
D.磁感应强度的大小为nebUI
【解析】选B、D。由左手定则可知,金属中的自由电子所受洛伦兹力方向指向M,则电子偏向M,即M为负、N为正,选项A错误,B正确;当达到平衡时有Uae=evB,I=ΔqΔt=abvΔt·neΔt=nveab,联立解得B=nebUI,选项D正确,C错误。
9.(12分)由于缺少地磁场的屏蔽作用,高能宇宙射线对航天员的辐射具有非常大的危害。目前,国际上正在积极探索载人航天主动防护的方法,其中某种磁防护方案为在航天器内建立同心圆柱体形屏蔽磁场,磁场分布情况如图所示。设同心圆内径R1=R,外径R2=3R,轴向足够长。设定区内为匀强磁场,磁场方向与轴平行,设定区外和防护区内无磁场。
(1)一个质子在平行于圆柱横截面的平面内,以速度v0沿指向圆心方向入射,该粒子恰好打不到防护区内部,求磁感应强度的大小和粒子在设定区内的运动时间。(已知质子的质量为m,电荷量为q)
答案:(1)mv0qR 2πR3v0
【解析】(1)设带电粒子的轨迹半径为r,由几何关系得R22+r2=(r+R1)2
解得r=R
根据牛顿第二定律qv0B=mv02r
解得B=mv0qR
带电粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为23π,所求时间为t=sv0=2πR3v0
(2)若宇宙中充满了大量速度大小为v0,沿任意方向运动的质子,为了使任何质子都打不到防护区内部,求磁感应强度的大小应该满足的条件。
答案: (2)B≥(3+1)mv0qR
【解析】(2)为使所有速度为v0的粒子都不进入防护区,则粒子的半径最大为r'=12(R2-R1)=3-12R
由洛伦兹力提供向心力得qv0B'=mv02r'
所以B'=(3+1)mv0qR
磁感应强度B≥B',即B≥(3+1)mv0qR
(3)若已知磁感应强度为B0,以A点所在截面建立x-y坐标系,圆柱轴线为z轴,y轴通过A点。如有一质子以初速度v=2qB0Rm从A点射向防护区的C点,已知C点坐标(0,R,(3-1)R),求质子打到防护区的位置。
答案: (3)(R2,32R,π3R)
【解析】(3)已知v=2qB0Rm,因为AC与y轴方向夹角为45°,所以v在z方向和y方向的分速度大小为vz=vy=22v=qB0Rm
xOy平面内,由洛伦兹力提供向心力
qvyB0=mvy2r,解得r=R
如图所示,轨迹圆和防护区边界相切
sinθ=rr+R=0.5
切点坐标x=Rsinθ=R2
y=Rcsθ=32R
沿z方向为匀速运动
t=16·2πRvz=πR3vz,z=vzt=π3R
质子打到防护区的位置坐标为(R2,32R,π3R)。
【解题指南】解答本题应注意以下三点:
(1)带电粒子进入磁场后只受洛伦兹力而做匀速圆周运动,画出其运动轨迹图,由几何关系求得运动半径,由洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律求解,运用粒子在磁场中转过的圆心角,结合周期公式,求解粒子在磁场中运动的时间;
(2)作轨迹找到运动半径的临界条件,由洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律求解;
(3)将质子的运动分解为在xOy平面内的匀速圆周运动和沿z轴的匀速直线运动,在xOy平面内由洛伦兹力提供向心力,解得运动半径,由几何关系求得x和y轴坐标值,利用偏转的圆心角求得时间,进而求得z轴坐标值。
【情境创新练】
10.(14分) “国际热核聚变实验堆(ITER)计划”是目前全球规模最大、影响最深远的国际科研合作项目之一,其原理主要是将发生热核反应的高能粒子束缚在磁场中,其中一种设计方案原理如图所示,空间中存在两个以O为圆心的圆形保护磁场,磁场方向均垂直于纸面,磁场Ⅰ、Ⅱ的半径分别为R1、R2,粒子在O点发生热核反应。其中R1=2R0,R2=3R0,半径为R1的圆内磁感应强度大小为B1。有一电荷量为q,质量为m的粒子由O点以速度v射出,不计粒子的重力,不计任何阻力。(题中已知量为R0、q、B1、m)
(1)若粒子不能射出半径为R1的圆形区域,求粒子速度的最大值v1;
答案:(1)qR0B1m
【解析】(1)若粒子不能射出半径为R1的圆形区域,则粒子的最大半径为r0=R0
粒子做圆周运动有qv1B1=mv12r0
解得v1=qR0B1m
(2)若粒子由O点射出的速度为54v1,求粒子第一次在磁场Ⅰ区域运动的时间;
答案: (2)53πm90qB1
【解析】(2)粒子由O点射出的速度为54v1,粒子做圆周运动有q·54v1B1=m(54v1)2r
粒子运动轨迹如图所示,
由几何关系可得sinθ=R0r
t=2θ360°·2πr54v1
解得t=53πm90qB1
(3)若要使束缚效果最好,则半径R1和R2之间的圆环内磁感应强度B2要与B1方向相同。若B2=B12,为使粒子不能射出半径为R2的圆形区域,求粒子速度的最大值v2。
答案: (3) 13qB1R012m
【解析】(3)粒子在R1圆区域内运动时,圆心为O1,在圆环区域内运动时,圆心为O2,粒子在两区域内运动时的半径分别为r1、r2。
因为B2=B12,所以r2=2r1,2r1csθ=R1
在等腰三角形△OO1O2中OO1=r1,OO2=R2-r2,O1O2=r2-r1=r1,∠OO1O2=2θ
可得2r1sinθ=R2-r2
解得r1=1312R0
所以v2=qB1r1m=13qB1R012m
【加固训练】
(2021·广东选择考)如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图。空间有三个同心圆a、b、c围成的区域,圆a内为无场区,圆a与圆b之间存在辐射状电场,圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定,大小不同,方向均垂直纸面向外,电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场,电场可以反向,保证电子每次进入电场即被全程加速,已知圆a与圆b之间电势差为U,圆b半径为R,圆c半径为3R,电子质量为m,电荷量为e。忽略相对论效应。取tan 22.5°=0.4。
(1)当Ek0=0时,电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场,且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为 45°,最终从Q点出射,运动轨迹如图中带箭头实线所示。求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能;
答案:(1)5eUmeR πRmeU4eU 8eU
【解析】(1)电子在电场中加速有2eU=12mv2,
在磁场Ⅰ中,由几何关系可得r=Rtan22.5°=0.4R,B1ev=mv2r,联立解得B1=5eUmeR,
在磁场Ⅰ中的运动周期为T=2πrv,由几何关系可得,电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为φ=54π,在磁场Ⅰ中的运动时间为t=φ2πT,联立解得t=πRmeU4eU,
从Q点出来的动能为Ek=8eU。
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰,就能从出射区域出射。当Ek0=keU时,要保证电子从出射区域出射,求k的最大值。
答案: (2)136
【解析】(2)在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为rm,此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切,由几何关系可得(3R-rm)2=R2+rm2,
解得rm=33R,由于B1evm=mvm2rm,
2eU=12mvm2-keU,联立解得k=136。