黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

八年级数学试卷
（满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）
1．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．在以下节水、绿色食品、质量安全、可回收物等四个标志中，是轴对称图形的有（ ）个．

A．1B．2C．3D．4
3．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（ ）
A．3 cm或5 cmB．3 cm或7 cmC．3 cmD．5 cm
4．把分式中的x，y的值都扩大3倍，那么分式的值是( )
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍
C．不变D．缩小到原来的
5．若二次三项式是一个完全平方式，则的可能值是（ ）
A．B．12C．6D．
6．如图，△ABC是一张三角形纸片，∠C＝90°，∠A＝36°，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，连接BD，则∠CBD的度数为（ ）
A．16°B．18°C．15°D．17°
7．若一个正多边形的一个内角与它相邻的外角的比是，则这个正多边形的边数为（ ）
A．14B．12C．10D．8
8．“绿水青山就是金山银山”．为改造太湖水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了40天完成任务．设实际每天净化的水域面积为x平方公里，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为( )

A．B．C．D．
10．如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，．FG为的角平分线，点H在FG的延长线上，，连接HA、HC．①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分,共21分）
11．一个氧原子的直径为0.000000000148m，用科学记数法表示为 m．
12．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
13．分解因式3x2﹣27y2＝ ．
14．将一副三角尺按如图的方式拼摆，则的度数为 ．
15．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为 ．
16．若关于x的分式方程，有负数解，则实数a的取值范围是 ．
17．如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依此作法，则∠AAnAn+1等于 度．（用含n的代数式表示，n为正整数）
三、解答题（共49分）
18．计算：
(1)
(2)
19．（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）解方程：
20．如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；
（2）画出两条线段，将△ABC分成面积相等的三部分，要求所画线段的端点在格点上．
21．如图，在中，平分交于点D，，分别交于点E、F．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌△CEB．②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
23．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．
（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元；
（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯．
24．如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，一个动点停止后，另一个动点随之停止运动，设运动时间为，解答下列问题：
（1）求为何值时，是等边三角形；
（2），在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？并说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】分别根据同底数幂的乘法、合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方的运算法则逐项计算即可求解．
【详解】解：A、，计算正确，符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．
2．A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：第一个图不是轴对称图形，不符合题意；
第二个图是轴对称图形，符合题意；
第三个图不是轴对称图形，不符合题意；
第四个图不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点，解题的关键是确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．C
【详解】①3cm是腰长时，底边=13﹣3×3=7cm，此时，三角形的三边分别为3cm、3cm、7cm，∵3+3=6＜7，∴不能组成三角形；②3cm是底边时，腰长=（13﹣3）=5cm，此时，三角形的三边分别为5cm、5cm、3cm，能够组成三角形，所以等腰三角形的底长为3cm，故选C．
4．C
【分析】x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x和3y，用3x和3y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系.
【详解】用3x和3y代替中的x和y得：
，
则分式的值不变，
故选C.
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质.
5．D
【分析】根据完全平方式的概念进行判断即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴m= 2×2×3=，
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方式，掌握完全平方式为或是解题关键．
6．B
【分析】由三角形的内角和定理可求∠ABC，由折叠的性质可得∠A＝∠DBA＝36°，即可求解．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝54°，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
∴∠A＝∠DBA＝36°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠DBA＝54°﹣36°＝18°，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
7．B
【分析】设这个正多边的外角为x°，则内角为5x°，根据内角和外角互补可得x+5x=180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数．
【详解】解：设这个正多边的外角为x°，由题意得：
x+5x=180，
解得：x=30，
．
故选B．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
8．C
【分析】直接利用施工时间提前40天完成任务得出等式即可得出答案．
【详解】解：设实际每天净化的水域面积为x平方公里，根据题意可得方程：
故选：C
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
9．B
【分析】连接，先根据两点之间线段最短，，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】解：连接，,

由作图得：是的垂直平分线，
，
，
，为的中点，
，
的面积为，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
10．C
【分析】①由∠AFD＝60°可证明△CAE≌△BCD，从而可判断①正确；②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，可证明△ECM≌△GCN（AAS）得CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，即可证明△AMC≌△HNC（SAS），有∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，从而得△ACH是等边三角形，故②正确；③由∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，可得∠FCG＝60°，即可判定③不正确；④根据△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，△CAE≌△BCD，可判定④正确．
【详解】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
，
∴△BCD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，故①正确；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：

∵∠EFC＝∠AFD＝60°
∴∠AFC＝120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH＝∠AFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFE＝60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM＝CN，
∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE，
∴∠CEM＝∠CGN，
在△ECM和△GCN中
，
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，
∴∠MCN＝∠ECG＝60°，
由①知△CAE≌△BCD，
∴AE＝CD，
∵HG＝CD，
∴AE＝HG，
∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN，
在△AMC和△HNC中，
，
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，
∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC＝60°，故②正确；
③由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不正确；
④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
∴S△AMC﹣S△ECM＝S△HNC﹣S△GCN，即S△ACE＝S△CGH，
∵△CAE≌△BCD，
∴S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，故④正确，
∴正确的有：①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
11．1.48×10﹣10．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于0.000000000148有10个0，所以可以确定n=﹣10．
【详解】解：0.000 000 000 148=1.48×10﹣10．
故答案为1.48×10﹣10．
【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定n值是关键．
12．
【分析】根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，则，
故答案为：
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟知分式的分母不能为零是解答的关键．
13．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．
【分析】根据三角形外角的性质可得，进而得出答案．
【详解】解：∵一副三角尺按如图的方式拼摆，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算以及三角形外角的性质，熟记三角板的角度以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
15．130°或90°．
【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，
当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，
故答案为130°或90°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
16．a>-2且a≠1
【分析】先把a看成常数，解出x，根据分式方程有负数解，得到一个关于a的不等式，即可求出a的取值范围.
【详解】去分母得：1-(x+3)=a
解得：x=-a-2
∵分式方程有负数解
∴-a-2<0且-a-2≠-3
解得：a>-2且a≠1
∴实数a的取值范围是a>-2且a≠1.
【点睛】本题考查的是分式方程的解.
17．.
【详解】∵点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，
∴OA=OA1，
∴∠AA1O=，
∵点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，
∴A1A=A1A2，
∴∠AA2A1=∠AA1O=，
∵点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，
∴A2A=A2A3，
∴∠AA3A2=∠AA2A1=，
∴∠AAnAn﹣1=，
∴∠AAnAn+1=180°﹣．
故答案是：180﹣．
【点睛】旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先计算有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂，再计算加减；
（2）根据整式的混合运算法则解答即可.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
.
【点睛】本题考查了0指数幂、负整数指数幂和整式的混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
19．（1），；（2）
【分析】（1）先因式分解，分式除法变成分式乘法，再约分，再把x的值代入即可求解；
（2）先去分母，再解整式方程，最后进行检验即可．
【详解】解：（1）
，
当时，原式；
（2）解：方程两边乘，得
，
解得：．
检验：当时，．
所以原分式方程的解为．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算及分式方程的解法，解题关键是熟练掌握因式分解及分式方程的检验．
20．（1）画图见解析，A1（1，5）、B1（1，0）、C1（4，3）；（2）见解析
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数得到A、B、C对应点A1、B1、C1的坐标，然后描出A1、B1、C1，最后顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）如图所示，由图形可得，即可推出．
【详解】解：（1）∵△A1B1C1是△ABC关于y轴的对称图形，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
∴点A1（1，5）、B1（1，0）、C1（4，3），
如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，由图形得：，
∴EF是BC的两个三等分点，
∴，
∴线段AE，AF即为所求．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，三角形面积问题，解题的关键在于能够熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平分，，得到，又由，即可证明，进而问题可求证；
（2）由（1）可得，然后根据三角形外角的性质可求解．
本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．(1)①见解析；②见解析
(2)（1）中的结论①成立，结论②不成立，理由见解析
【分析】（1）①根据AD⊥MN， BE⊥MN．可得∠ADC＝∠CEB＝90°，再由∠ACB＝90°，可得∠ACD+∠BCE＝90°，从而得到∠BCE＝∠CAD，即可求证；②根据△ADC≌△CEB，可得AD=CE，DC=EB，即可求证；
（2）证明方法同（1）可得△ADC≌△CEB，即可求解．
【详解】（1）证明：①∵AD⊥MN， BE⊥MN．（已知）
∴∠ADC＝∠CEB＝90°（垂直的定义）．
∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠ACD+∠BCE＝90°
又∵∠ACD+∠CAD =90° ( 直角三角形的两个锐角互余 )
∴∠BCE＝∠CAD (同角的余角相等)
在ADC和△CEB中
∵∠ADC＝∠CEB，∠BCE＝∠CAD，AC=CB
∴△ADC≌△CEB(AAS)
②∵△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=EB(全等三角形，对应边相等)
∴DE=DC+CE=AD+BE(等量代换)
（2）解：（1）中的结论①成立，结论②不成立．
∵AD⊥MN， BE⊥MN．（已知）
∴∠ADC＝∠CEB＝90°（垂直的定义）．
∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠ACD+∠BCE＝90°
又∵∠ACD+∠CAD =90° ( 直角三角形的两个锐角互余 )
∴∠BCE＝∠CAD (同角的余角相等)
在ADC和△CEB中
∵∠ADC＝∠CEB，∠BCE＝∠CAD，AC=CB
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE，DC=EB(全等三角形，对应边相等)
∴DE=CE-DC=AD-BE(等量代换)
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（1）购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；（2）18个．
【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+20）元．则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程求解即可；
（2）设公司购买台灯的个数为a个，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8）个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式求解即可．
【详解】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+20）元．
根据题意 得
解得 x=5
经检验，x=5是原方程的解．
所以 x+20=25．
答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8）
由题意得 25a+5（2a+8）≤670
解得 a≤18
所以 荣庆公司最多可购买18个该品牌的台灯．
【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用，弄清题意，找准各量间的关键是解题的关键．
24．（1）t=12；（2）当为9或时，是直角三角形，理由见解析．
【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质可求出，根据题意可用t表示出和的长，再根据等边三角形的各边相等可列出关于t的等式，解出t即可．
（2）由于，所以可分两种情况讨论①当时；②当时．利用含角的直角三角形的边长的关系列出关于t的等式，再解出t即可．
【详解】（1）在中，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴要使是等边三角形，只需，即，
解得：．
故时，是等边三角形．
（2）∵是直角三角形，且，
∴分类讨论①当时，，
∴，
即．
解得：．
②当时，，
∴，
即．
解得：．
综上，当为9或时，是直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形和含角的直角三角形的性质．根据等边三角形和含角的直角三角形的边长关系列出关于t的等式是解答本题的关键．