黑龙江省绥化市望奎县2023-2024学年九年级（五四制）上学期期末数学试题(含解析)

这是一份黑龙江省绥化市望奎县2023-2024学年九年级（五四制）上学期期末数学试题(含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初四数学试题
考试时间120分钟，总分120分
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列四个图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切D．与x轴相交，与y轴相交
3．下列事件属于随机事件的是（ ）
A．常压下，温度降到以下，自来水会结冰B．随意打开一本书，书的页码是奇数
C．任意一个五边形的外角和等于D．如果，那么
4．若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点O是内切圆的圆心，已知，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
6．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定
7．如图，函数和是常数，且在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（ ）
A．B．C．D．
9．某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，AB是的直径，弦CD交AB于点P，，，，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．8
11．如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．如图；二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴正半轴交于点C，下列判断：；；；；若，是拋物线上的两个点，则，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
13．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ．
14．将二次函数转化为的形式为 ．
15．把标号为的三个小球放入一个不透明的袋子中，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和大于的概率是 ．
16．若关于的二次函数的图象与轴有2个公共点，则的取值范围是 ．
17．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*b＝a（a﹣b），根据这个规则，方程（x+2）*5＝0 的解为 ．
18．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为 ．
19．圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角为 ．
20．如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是 ．
21．如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，则的度数为 ．
22．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是___________．

三、解答题（共54分）
23．解方程：
(1)（用配方法）；
(2)．
24．已知关于的一元二次方程有实数根.
（1）求的取值范围.
（2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值.
25．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2），B（5，5），C（1，1）均在格点上．
(1)将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1；
(3)在（2）的条件下，求△A1B1C1扫过的面积．
26．为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有________名；
（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为________，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
27．如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
28．如图，直线AB与抛物线交于、两点，与y轴交于点C，点D为线段AB上一点，连接OD、OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将分成面积相等的两部分，求点D的坐标；
（3）在平面坐标内是否存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义：一个图形绕着某个点旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可作出判断，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：、不是中心对称图形，不合题意；
、不是中心对称图形，不合题意；
、不是中心对称图形，不合题意；
、是中心对称图形，符合题意；
故选：．
2．B
【分析】由已知点（-2，3）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系，设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若dr，则直线与圆相离．
【详解】解：∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，到y轴的距离是2，小于半径，
∴圆与y轴相交，与x轴相切．
故选：B．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
3．D
【分析】本题考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可，正确把握相关定义是解题的关键．
【详解】解：、通常温度降到以下，自来水会结冰，是必然事件，故不符合题意；
、随意翻到一本书，书的页码是奇数，是随机事件，故符合题意；
、任意一个五边形的外角和等于，是必然事件，故不符合题意；
、如果，那么，是必然事件，故不符合题意；
故选：．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程先求出的值，从而确定出方程，再解方程即可求出，理解方程的解并准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴,
∴，
∴方程为，
解得，，
∴另一个根为，的值为，
故选：．
5．B
【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，根据三角形的内心的概念得到，，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵点O是内切圆的圆心，
∴，，
∴，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先把方程整理成一般式，求出的值，即可判断一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根情况是解题的关键．
【详解】解：方程整理得，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
7．B
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟记一次函数和二次函数图像与系数的关系．可先根据一次函数的图象判断m的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断各选项即可．
【详解】解：A、由一次函数的图像可得 ，图像开口向上，对称轴在y轴左侧，不符合题意；
B、由一次函数的图像可得，图像开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意；
C、由一次函数的图像可得，由二次函数的图像可得，无解，不符合题意；
D、由一次函数的图像可得，∴，对称轴在y轴右侧，不符合题意；
故选∶B．
8．B
【分析】连接OA，在上取点E，连接AE，BE，先证明，可得∠AOB=112°，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】解：连接OA，在上取点E，连接AE，BE，
∵点C为弦中点，
∴OC ⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°，
又∵AC=BC，OC=OC，
∴，
∴∠AOC=，即：∠AOB=112°，
∴∠E=∠AOB=56°，
∵四边形ADBE是的内接四边形，
∴=180°-56°=124°，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质，添加辅助线，构造圆的内接四边形，是解题的关键．
9．C
【分析】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，设房价定为x元，根据利润=房价的净利润入住的房间数可得．
【详解】解：设房价定为x元，
根据题意，得，
故选：C．
10．A
【分析】过点作于点，连接，根据已知条件即可求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可求得的长．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
AB是的直径，，，
，
在中，
故选A
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．
11．A
【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，解直角三角形，过点作轴于，轴于，解直角三角形求得，，根据旋转的性质得出, ，解直角三角形求得，，即可求得的坐标，作出辅助线，构造直角三角形，并解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于，轴于，则，
在等腰中，∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵将绕原点逆时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：．
12．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质即可逐一判断求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，，，
∵二次函数的图象与轴分别交于，两点，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，，
∴，
∴故正确；
∴二次函数的图象与轴有两个不同的交点，
∴，
∴，
故错误；
∵，，
∴，
故错误；
由图象可得，，，
∴，
故正确；
∴正确，
故选：．
13．
【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查关于原点对称的点，解题的关键是记住关于原点对称横纵坐标都互为相反数．
14．
【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，解题的关键是掌握配方法．根据题意利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了概率，利用树状图或列表法，求出所有可能出现的结果数及两次摸出的小球标号的和大于的结果数，利用概率公式即可求解，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
【详解】解：树状图如下：
由树状图可得，共有种可能出现的结果，其中两次摸出的小球标号的和大于的有种，
∴，
故答案为：．
16．且
【分析】本题考查的是二次函数的定义，二次函数与x轴的交点问题，根据函数与轴有2个公共点可知，根据定义可得，计算可得到答案．
【详解】解： 关于的二次函数的图象与轴有2个公共点，
∴且，
且，
解得：且，
故答案为：且．
17．
【分析】根据新运算得出，根据因式分解法解一元二次方程方程即可．
【详解】 a*b＝a（a﹣b），
方程即为
解得．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意列方程．
18．或
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据题意画出图形，由于点的位置不能确定，故分两种情况进行讨论，结合图形利用垂径定理和勾股定理即可求解，根据题意画出图形是解题的关键．
【详解】解：连接，，
∵的直径，，，
∴，，
当点位置如图所示时，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
当点位置如图所示时，
同理可得，
∵，
∴，
在中，；
∴的长为或，
故答案为：或．
19．##288度
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图圆心角的计算，先根据题意求出圆锥底面圆的半径，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程即可求解，掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．
【详解】解：由题意得，圆锥底面圆的半径，
∴，
解得，
∴该圆锥侧面展开图的圆心角为，
故答案为：．
20．1：
【分析】根据题意画出图形，设圆的半径为R，分别用R表示出圆的内接正方形和外切正方形的边长，再求出其比值即可．
【详解】解：如图，
∵圆的半径为R，
∴CD＝ODR，
∴内接正方形的边长为R，
AB＝OB＝R，
∴外切正方形的边长为2R，
∴圆的内接正方形和外切正方形的边长比为：1：，
故答案为：1：．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆的关系，掌握正多边形的性质、正多边形的中心角的计算方法是解题的关键．
21．##18度
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，根据旋转的性质得，，，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，再由平行线的性质即可得到的大小，利用和差关系即可得结果．
【详解】解：∵绕点逆时针旋转，得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
22．
【分析】首先根据是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点，，的坐标各是多少，最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．
【详解】解：∵是边长为2的等边三角形，
∴的坐标为，的坐标为，
∵与关于点成中心对称，
∴点与点关于点成中心对称，
∵，，
∴点的坐标是：，
∵与关于点成中心对称，
∴点与点关于点成中心对称，
∵，，
∴点的坐标是：，
∵与关于点成中心对称，
∴点与点关于点成中心对称，
∵，，
∴点的坐标是：，…，
∵，，，，…，
∴的横坐标是：，
∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是，
∴的顶点的横坐标是：，纵坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了中心对称的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键．
23．(1)，
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
，，
解得：，；
（2）
解得：，．
24．（1）.（2）.
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，结合|x1-x2|=4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根，
∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，
解得：m≤2；
（2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16，
解得：m=1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1-x2|=4，找出关于m的一元一次方程．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)8π﹣6
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1；
（3）根据扇形面积公式即可求△A1B1C1扫过的面积．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图，△A2B2C1即为所求；
（3）解：∵B1C12＝42+42＝32，
∴△A1B1C1扫过的面积＝扇形B1C1B2的面积-△A1B1C1的面积3×4＝8π﹣6．
【点睛】本题主要考查了画平移图形，画旋转图形，求图形扫过的面积等等，熟知相关知识是解题的关键．
26．（1）60；（2）90°，补全条形统计图见解析；（3）
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知A项目的有9人，占15%，即可求出总人数；
（2）作差求出B项目的人数，按照比例求出其圆心角度数并补全条形统计图；
（3）列出表格，利用概率公式即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）B项目的总人数为人，
∴“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为，
补全条形统计图如下：
；
（3）列出表格如下：
共有12种情况，其中恰好小华和小艳的有2种，
∴P(恰好小华和小艳)．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键．
27．(1)证明见解析；(2) .
【分析】(1)连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到对应角相等，以及切线的性质定理得到∠PCO=90°，即可得证；
（2）先证三角形OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，根据（1）中∠OCF=90°，结合半径OC即可得到答案.
【详解】(1)连接，
∵，经过圆心，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴
∵是的切线，
∴．
∴，
即
∴是的切线．
(2)∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
由(1)知，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的综合应用.解决本题的关键是证切线转化成证垂直.
28．（1）；（2）点D的坐标为；（3）存在，点P的坐标为或或．
【分析】（1）根据待定系数法，将A(−4，0)、B(2，6)代入，计算即可；
（2）根据待定系数法先求出直线AB的解析式，设点D的坐标为（m，m+4），根据即，代入计算即可；
（3）设点P的坐标为（xp，yp），分3种情况分析解答即可．
【详解】解：（1）由题意可得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设直线AB的解析式为：，则
，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
设点D的坐标为（m，m+4），
∵OD将△分成面积相等的两部分，即，
∴，解得：，
∴点D的坐标为（-1，3）；
（3）存在；
设点P的坐标为（xp，yp），
①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，
轴，，
∵B（2，6），
∴点P的坐标为（-2，6）；
②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，
点P的横坐标为2+4=6，点P的,纵坐标坐标为6，
点P的坐标为（6，6）；
③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，
，，
∴，，
即，，
解得：，，
此时点P的坐标为（-6，-6）；
综上所述，存在满足条件的点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合知识，涉及解析式、顶点坐标、三角形面积、平行四边形等，解题的关键是会求二次函数、一次函数的解析式以及分情况解答．
小华
小光
小艳
小萍
小华
小华，小光
小华，小艳
小华，小萍
小光
小华，小光
小光，小艳
小光，小萍
小艳
小华，小艳
小光，小艳
小萍，小艳
小萍
小华，小萍
小光，小萍
小萍，小艳