山西省运城市临猗县多校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份山西省运城市临猗县多校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共35页。试卷主要包含了下表是二次函数的，的部分对应值，如图，在菱形中，按如下步骤作图等内容，欢迎下载使用。

九年级数学（北师大版）
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上.
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．
1．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象分布在第一、三象限B．点在该函数图象上
C．当时，D．当时，y随x的增大而增大
2．如图，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
4．大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
5．九（3）班的萌萌是一个书法爱好者，她对楷书四大家的书法都情有独钟，如图，若萌萌从这四本楷书名家的字帖中随机取两本（先随机抽取1本，不放回，再随机抽取1本），则抽取的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，四边形ABCD内接于，AD是的直径，已知，，则弦AC的长是（ ）．
A．B．C．D．4
7．如图，的顶点在第一象限，顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，若，的面积为16，则的值为（ ）
A．8B．16C．D．32
8．下表是二次函数的，的部分对应值：
则对于该函数的性质的判断：
①该二次函数有最大值；
②不等式的解集是或；
③方程的两个实数根分别位于和之间；
④当时，函数值随的增大而增大．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为图心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，正方形内接于，的两条直径且与正方形的对边分别垂直，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了10米，此时滑块上升的高度是 米．
12．若，都在函数的图像上，且，则 （选填“＞”，“＜”，“＝”）．
13．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的赵爽弦图纸板，将一个飞镖随机投掷到纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
14．在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（单位：米）与飞行的水平距离（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 米．
15．如图，在中，，，，点为的中点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接并延长交于点，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）．
16．（1）计算：
（2）解方程：
17．如图，在中，以为直径的与相切于点，与相交于点，是上一点，且，连接，若，，求的长．
18．冰天雪地也是金山银山，北京张家口即将联合举办2022年北京冬季奥运会（简称“冬奥会”），在我国刮起了冰雪运动的旋风．某校为了了解七年级学生最喜爱的冬奥会项目，校团委宣传部李老师通过学校公众号向七年级学生发放如下的调查问卷，要求如实填写并提交．
收集数据：
李老师从中随机抽查了40份问卷，得到如下数据：
整理分析：
李老师整理了这组数据并将结果绘制成如下两幅均不完整的统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，________，“项目”所对应扇形圆心角的度数为________．
（3）最喜爱“．滑冰”项目的有1名女生和3名男生，从中任选2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
19．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标．
20．山西的饮食文化以面食文化为主，常见的面食品种有刀削面、刀拨面、剔尖等等，同时山西人也会自制一些其他面食，比如利用“杠杆原理”压制出来的饸饹面本是西北常见的一种面食，山西人也会经常吃．如图①，是一个手动饸饹机的实物图，图②是其示意图，已知手柄的长度，，支架的高度，抬至最高时与水平方向的夹角约为，此时点，，，四点共线．
（结果精确到，参考数据：，，）
(1)求饸饹机手柄上的点到水平面的距离；
(2)李师傅压制饸饹时，某一时刻与水平方向的夹角为，则手柄上点的高度降低了多少？
21．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？
②若要使用甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？
22．综合与实践
问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．
阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点与点重合，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与．
观察发现：
(1)如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是________；位置关系是________．
探索猜想：
(2)如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由．
拓展延伸：
(3)在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长．
23．综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左则），与y轴交于点，点是抛物线的顾点．抛物线的对称轴交轴于点，点是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为，点的坐标为，连接分别与轴，对称轴交于点．
(1)求三点的坐标并直按写出顶点的坐标；
(2)当时．求点的坐标；
(3)试探究：在点运动过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，，双曲线在二，四象限，选项错误，不符合题意；
B、，点不在该函数图象上，选项错误，不符合题意；
C、，，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
当时，，选项错误，不符合题意；
D、当时，y随x的增大而增大，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
2．C
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看是一个正方形被水平的分成3部分，中间的两条分线是虚线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线．
3．A
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为，
再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的函数表达式为，
故选A．
4．A
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
，解得：x=6，
即蜡烛火焰的高度为6cm，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
5．C
【分析】本题考查了不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可．
【详解】根据题意，画树状图如下：
一共有12种等可能性，其中，两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的等可能性有2．
故两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概率是，
故选：C．
6．A
【分析】直接利用圆内接四边形的性质得出∠D的度数，再利用圆周角定理得出∠ACD=90°，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=120°，
∴∠D=60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∵CD=3，
∴，
∴AC=3，
∴弦AC的长是：3．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、锐角三角函数关系等知识，正确得出∠D的度数是解题关键．
7．B
【分析】过点M作，设点M的坐标为，根据等腰三角形的性质得，再根据面积相等得，进而求出k值．
【详解】过点M作，交于点A，
∵，
∴．
设点M的坐标为，则，．
∵，
∴，
即．
∵点M在反比例函数上，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，等腰三角形的性质，求反比例函数关系式，三角形的面积，会用点的坐标表示线段的长度是解题的关键．
8．B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，由图表可得二次函数的对称轴为直线，，即可判断①④不正确，由图表可直接判断②③正确．
【详解】当时，；当时，；
当，；当，；
二次函数的对称轴为直线，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小．
即二次函数有最小值
则①④错误
由图表可得：不等式的解集是或；
由图表可得：方程的两个实数根分别位于和之间；则②③正确．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查线段垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理，根据作图得出是线段的垂直平分线，根据菱形的性质得出，再用勾股定理解求出，解求出．
【详解】解：四边形是菱形，，
，
由作图过程可知是线段的垂直平分线，
，，
，
，菱形中，
，
，
故选D．
10．C
【分析】本题考查了圆的对称性，正方形的性质和对称性，割补法求面积，结合题意，圆的半径为，阴影部分的面积等于圆的面积与正方形面积差的一半计算即可．
【详解】根据题意，得正方形的边长为2，其面积为4，圆的半径为，根据圆的对称性和正方形的对称性，得阴影部分的面积等于圆的面积与正方形面积差的一半，
故，
故选C．
11．
【分析】本题考查了坡比的计算，根据，得到，利用勾股定理计算即可．
【详解】．∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
解得（负值舍去），
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据，在每一象限内，y随x的增大而减小，计算判断即可．
【详解】∵中，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了简单概率计算，根据题意，概率等于阴影部分的面积与图形的总面积的商，计算即可．
【详解】设四个全等直角三角形的面积和为4m，小正方形的面积为4n，则整个图形的面积为，
根据割补法，得到直角三角形中的面积是一个直角三角形的面积即为m，小正方形中阴影部分面积正方形的面积的即为n，故阴影部分的面积和为，
故飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
14．12
【分析】本题主要考查了二次函数图象与轴的交点，令，求出x的值，再判断答案．
【详解】解：当时，，
整理，得，
解得，（舍），
所以小康这次实心球训练的成绩是12米．
故答案为：12．
15．
【分析】过点F作于点M，设，根据旋转性质，得到，继而得到，，根据正切函数，求得x，再利用勾股定理计算即可．
【详解】过点F作于点M，则∥,设，
∵，，，点为的中点，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正切函数的应用，线段的中点，熟练掌握旋转性质，勾股定理，正切函数是解题的关键．
16．（1）；（2），
【分析】（1）代入特殊角三角函数值进行计算即可；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原方程变形为，
配方得：，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，解一元二次方程，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．
17．
【分析】先根据切线的性质得为直角三角形，再根据勾股定理求出，进而求出，然后连接，结合“直径所对的圆周角是直角”证明，可得，即可求出，最后根据得出答案．
【详解】解：∵为的直径，与相切于点，
∴．
∴为直角三角形．
设，则，
∵，
∴在中，由勾股定理，得，
解得．
∴，．
如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
18．（1）作图见解析；（2）30,45；（3）
【分析】（1）结合题意，数出选和的人数，结合条形统计图性质，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，结合扇形统计图的性质，分别计算即可得到答案；
（3）根据题意列出表格或画出树状图，然后根据概率的定义计算即可．
【详解】（1）根据题意，选的人数为：12人
选的人数为：5人
补全统计图如下：
；
（2）根据（1）的结论，得；
项目”所对应扇形圆心角的度数为：；
故答案为：30,45；
（3）根据题意，列表如下：
由表格知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果有6种，
∴恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【点睛】本题考查了统计调查和概率的知识；解题的关键是熟练掌握条形统计图、扇形统计图、列表求概率的性质，从而完成求解．
19．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积．
（1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．
（2）当时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为．
（3）先求出的面积为1，从而确定的面积为，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2；
∴A，B；
把A、B的坐标代入得；
解得；
∴一次函数的解析式为．
（2）∵；
由图象可知，当时，．
（3）∵一次函数为；
∴D；
∵A，
∴；
∴，
设点P的坐标为： ，；
∴，；
当P在直线下方时，如图1，则；
；
解得；
∴点P．
当P在直线AB的上方时，如图2，则；
；
解得；
∴点P；
综上可得：点P的坐标为： 或 ．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，选择适当的三角函数是解题的关键．
(1)先证明四边形是矩形，再根据，计算即可．
(2)根据，计算新高度，前后的高度差就是降低的高度，计算即可．
【详解】（1）在中，
∵，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
答：饸饹机手柄上的点到水平面的距离约为．
（2）由（1）知，，
当时，，
∴，
答：手柄上点的高度降低了．
21．(1)每次降价的百分率是
(2)①每个应降价3元；②每个应降价2元，利润有最大值，最大利润为360元
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）①设下调 元，则售价为元，销售量为个，利用销售总额=销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，再根据售价不低于进价进行选择即可求出结论；
②设下调 元后，利润为W元，列出二者之间的函数关系式，再根据求出二次函数的最值即可．
【详解】（1）设每次降价的百分率为，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是；
（2）①假设下调元，依题意得：
．
整理得：
解得或．
∵，故舍去，
答：每个应降价3元．
②设下调元后，利润为W元，则：
W=
，
∵，
∴当时，利润有最大值，最大利润为360元
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．
22．(1)；垂直
(2)仍然成立，理由见详解
(3)或
【分析】（1）延长，交于点I，根据题意，证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答．
（2）设与的交点为I，与的交点为M,根据（1）中的思路，同理证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答．
（3）考虑两种情况，即：点F在的延长线上或点F在线段的延长线上，作对应的辅助线，通过相似三角形的性质，即可解答．
【详解】（1）解：如图，延长，交于点I，
四边形是矩形，
，
根据图1中，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点，
，，
,
，
，即，
，
,
，
，即．
故答案为：，
（2）解：如图，设与的交点为I,与的交点为M,
四边形和四边形是矩形，
,
,
即，
根据图1中，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点，
，，
,
，
，即，
，
，
,
，
．
（3）解：①当点F在的延长线上时，如图所示，
作交的延长线于点K，
求得，
，，三点共线，
，
,
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
①当点F在线段上时，如图所示，
过点H作的垂线，交于点N，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
综上所述，当，，三点共线时，线段的长为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，计算较复杂，做出正确的辅助线是解题的关键．
23．(1)，，，
(2)
(3)存在，的值为：
【分析】（1）利用函数解析式求出当时，；当时，；以及顶点坐标公式，即可得出答案；
（2）作轴于点，通过证明可得出：．即可得出．当时，求出（舍去），，即可得出点的坐标．
（3）由，可得，故，，可得，即可得出设直线的解析式为：，结合，即可得出的值．
【详解】（1）解：由得，
当时，，
∴点的坐标为；
当时，，解得：．
∵点在点的左侧，
∴点的坐标为，点的坐标为．
∴点的坐标为．
（2）作轴于点，则，
∴．
又∵．
∴
∴．
∴
∴．
当时，，
∴（舍去），
∴
∴点的坐标为．
（3）解：存在点，使得，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，点的横坐标为，
∴．
故存在点，使得，的值为：．
故答案为：存在，的值为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形、特殊角的存在性问题，掌握二次函数的性质，灵活构造图形是解题的关键．
颜体
（多宝塔碑）
欧体
（皇甫碑）
柳体
（玄秘塔碑）
赵体
（胆巴碑）
调查问卷
你最喜爱的冬奥会项目是________．（只选一项）
A.滑雪 B.滑冰 C.雪车和雪橇
D.冰球和冰壶 E．冬季两项
A D A B D C A D E B
E B C E D A C A D C
C A D D C D B D A E
C C C D C A D C D E
女
男1
男2
男3
女
（女，男1）
（女，男2）
（女，男3）
男1
（男1，女）
（男1，男2）
（男1，男3）
男2
（男2，女）
（男2，男1）
（男2，男3）
男3
（男3，女）
（男3，男1）
（男3，男2）