2023-2024学年广东省阳江市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省阳江市九年级（上）期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，若两个相似三角形的面积之比是1等内容，欢迎下载使用。

九年级数学
本试卷共6页，25小题，满分120分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和班级填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后人选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
2.下列各组线段中成比例的是（ ）
A.，，，B.，，，
C.，，，D.，，，
3.下列事件中属于随机事件的是（ ）
A.若今天是星期一，则明天是星期二B.掷一枚质地均匀的硬币正面朝上
C.抛出的篮球会下落D.从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球
4.已知点在反比例函数的图象上，则下列各点一定在该反比例函数的图象上的是（ ）
A.B.C.D.
5.用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ）
A.B.C.D.
6.如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为（ ）
A.B.C.D.
7.已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A.该函数图象的开口向上B.该函数图象与轴的交点坐标为
C.当时，有最大值，最大值为5D.当时，随的增大而增大
8.若两个相似三角形的面积之比是1:9，则它们对应边的中线长度之比为（ ）
A.1:9B.3:1C.1:3D.1:81
9.如图，已知，，，是圆上的点，，，交于点，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在边上，且，若，则的长为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______.
12.若是关于的一元二次方程的一个根，则______.
13.若一元二次方程的两个根分别为，，则______.
14.将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是______.
15.从一个不透明的口袋中随机摸出一个球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球.已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有______个白球.
16.如图，正方形的中心在原点上，且正方形的四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则______.
三、解答题：本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（4分）解方程：.
18.（4分）如图是反比例函数（为常数，且）图象的一支.
（1）判断该反比例函数图象的另一支位于哪个象限，并求出的取值范围.
（2）在该反比例函数图象的某一支上任取和两点，如果，那么和有怎样的大小关系？
19.（6分）如图，一块直角三角板的直角顶点放在正方形的边上，并且使一条直角边经过点，另一条直角边与交于点.求证：.
20.（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，.将绕点逆时针旋转90°后得到.
（1）画出旋转后得到的；
（2）求线段在旋转过程中所扫过的图形面积.
21.（8分）某校开展“科技知识竞赛”，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成以下两幅不完整的统计图表.
竞赛成绩统计表（成绩满分100分）
（1）本次共调查了_____名学生，C组所在扇形的圆心角为_____度.
（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生的人数为多少？
（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为甲、乙、丙、丁，从其中抽取2名学生代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两位学生的概率.
22.（10分）百香果，又名“鸡蛋果”，属西番莲科.因其果汁营养丰富，气味芳香，故有“果汁之王”等美称.“黄金”百香果是优质新品种，在某市被广泛种植.某百香果种植基地到2021年年底已经种植“黄金”百香果100亩，到2023年年底“黄金”百香果的种植面积达到196亩.
（1）求该基地这两年“黄金”百香果种植面积的年平均增长率.
（2）已知该基地“黄金”百香果的平均成本为12元/千克，市场调查发现，当“黄金”百香果的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定降价促销，但要求销售单价不得低于成本，且不高于20元.要使销售“黄金”百香果每天获得的利润最大，则销售单价应降低多少元?最大利润为多少元？
23.（10分）如图，在中，，为斜边中线，以为直径作交于点，过点作，垂足为点.
（1）求证：为的切线.
（2）若，，求的长.
24.（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，点为抛物线与轴的另一交点.
图1 图2
（1）求该抛物线的解析式.
（2）如图1，点在线段上（点与点，不重合），过点作，交直线于点，设的长为，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围.
（3）如图2，在（2）的条件下，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交直线于点，是否存在点使得四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点的坐标.
25.（12分）（1）问题发现：如图1，是等腰直角三角形，，，四边形是正方形，点，分别在，上，此时与的数量关系是______，位置关系是______.
（2）拓展探究：如图2，当绕点逆时针旋转（）时，成立吗？请说明理由.
（3）解决问题：如图3，当绕点逆时针旋转45°时，延长交于点，交于点.已知，，求线段的长.
图1 图2 图3
2023—2024学年度第一学期期末质量监测试卷
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1. D 2. D 3. B 4. A 5. A 6. D 7. C 8. C 9. C 10. B
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 12.5 13.2 14. 15.20 16.
三、解答题：本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：原方程可化为.
移项，得.
合并同类项，得.
∴，.（其他方法正确解出均可）
18.解：（1）该反比例函数图象的一支在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限.
∵该反比例函数图象在第一、三象限，
∴，解得.
（2）∵该反比例函数图象在第一、三象限，
∴在每一个象限内，随的增大而减小.
∵，∴.
19.证明：∵四边形是正方形，∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
20.解：（1）如图，即为所求.
（2）如图，在中，，，
由勾股定理得.
由旋转的性质可得，
∴线段在旋转过程中所扫过的图形面积为.
21.解：（1）50
（2）∵B组的人数为（人），
D组的人数为（人），
∴抽查部分学生竞赛成绩为优秀（90分以上）的人数为（人）.
∴估计该校优秀学生的人数为（人）.4分
（3）从甲、乙、丙、丁这四名学生中抽取2名，所有可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中抽到甲、乙两位学生的结果有2种，
∴（恰好抽到甲、乙两位学生）.
（用列表法正确解出也可）
22.解：（1）设该基地这两年“黄金”百香果种植面积的年平均增长率为.
根据题意得，
解得，（不符合题意，舍去）.
∴该基地这两年“黄金”百香果种植面积的年平均增长率为40%.
（2）设销售单价应降低元，每天获得的利润为元，
则每天可售出千克.
根据题意得，
整理得（）.
∵，∴当时，有最大值，最大值为1800.
∴要使销售“黄金”百香果每天获得的利润最大，则销售单价应降低2元，最大利润为1800元.
23.（1）证明：如图，连接.
∵在中，为斜边中线，
∴.
∴.
∵，∴，∴.
∴.
∵，∴.
∵为的半径，∴为的切线.
（2）解：如图，连接.
∵在中，为斜边中线，
∴，.
在中，由勾股定理得.
∵为的直径，∴.
∴.
在中，由勾股定理得.
∵，
∴.
（其他方法正确解出均可）
24.解：（1）∵点，在抛物线的图象上，
∴解得
∴抛物线的解析式为.
（2）在抛物线中，令，
则，解得，.
∴点的坐标为.
∵，，，的长为，
∴，，.
∴.
∵，∴.
∴，即.
∴，其中.
（3）设直线的解析式为，
∵点，在直线的图象上，
∴解得
∴直线的解析式为.
∵的长为，其中，∴.
∵轴，交抛物线于点，∴点的坐标为.
∵轴，交直线于点，
∴点的坐标为，.
∴.
要使四边形为平行四边形，只需，
即，解得（舍去），.
∴当点的坐标为时，四边形为平行四边形.
（其他方法正确解出均可）
25.解：（1），
（2）成立.理由如下：
由旋转的性质可得，，.
∴.
∴.
（3）如图，连接，延长交于点.
∵四边形是正方形，∴.
∵，∴，.
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
∴.
在中，由勾股定理得.
在中，，∴.
由（2）得，∴.
∵，，
∴.
∴.∴
∴.
∵，∴.
∴.
∴.
（其他方法正确解出均可）组别
分数
人数
A组
4
B组
C组
10
D组
E组
14
合计