专题05 概率初步（5大基础题+3大提升题）2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编

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随机事件
1．（2024春•金沙县校级期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．守株待兔B．竹篮打水C．日出东方D．水涨船高
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故符合题意；
B、竹篮打水是不可能事件，故不符合题意；
C、日出东方是必然事件，故不符合题意；
D、水涨船高是必然事件，故不符合题意；
故选：A．
2．（2024春•织金县期末）“北师大版七年级下册数学课本共170页，某同学随手翻开，恰好翻到第66页”，这个事件是（ ）
A．随机事件B．不可能事件
C．必然事件D．以上都不正确
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：“北师大版七年级下册数学课本共170页，某同学随手翻开，恰好翻到第66页”，这个事件是随机事件．
故选：A．
3．（2024春•金沙县期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻是随机事件，不符合题意；
B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，符合题意；
C、小明在内江平台能抢到龙舟节开幕式门票是随机事件，不符合题意；
D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》是随机事件，不符合题意；
故选：B．
4．（2024春•贵州期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．打开电视机正在播放广告
C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球
D．抛一枚硬币正面向上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，符合题意；
B、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件，不符合题意；
D、抛一枚硬币正面向上，是随机事件，不符合题意；
故选：A．
5．（2023秋•绥阳县期末）下列事件为随机事件的是（ ）
A．太阳从西方升起
B．你将长到5m高
C．图形经过旋转所得的图形和原图形全等
D．抛掷一个均匀的硬币，正面朝上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
B、你将长到5m高，是不可能事件，不符合题意；
C、图形经过旋转所得的图形和原图形全等，是必然事件，不符合题意；
D、抛掷一个均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意；
故选：D．
6．（2024春•贵阳期末）下列4个袋子中，装有除颜色外都相同的10个小球，分别从每个袋子中任意摸出一个球，摸到的球是红球这一事件属于必然事件，则应选择的袋子是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、里面知有10个白球，从里面摸出红球是不可能事件，不符合题意；
B、里面只有10个红球，从里面摸出红球是必然事件，符合题意；
C、里面有2个红球，8个白球，从里面摸出红球是随机事件，不符合题意；
D、里面有9个红球，1个白球，从里面摸出红球是随机事件，不符合题意；
故选：B．
概率的意义
1．（2023秋•六盘水期中）如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A．仙游明天将有85%的时间下雨
B．仙游明天将有85%的地区下雨
C．仙游明天下雨的可能性较大
D．仙游明天下雨的可能性较小
【分析】根据概率的意义，即可解答．
【解答】解：如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”，对这条信息的上列说法中，正确的是仙游明天下雨的可能性较大，
故选：C．
2．（2023秋•黔东南州期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放动画片
B．太阳每天从东方升起
C．某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖
D．某运动员跳高的最好成绩是10米
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、打开电视机，正在播放动画片，是随机事件，故此选项不符合题意；
B、太阳每天从东方升起，是必然事件，故此选项符合题意；
C、某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、某运动员跳高的最好成绩是10米，是随机事件，故此选项不符合题意．
故选：B．
求概率的公式
1．（2023秋•花溪区期中）从“数学”的英文单词“mathematics”中随机抽取一个字母，抽中字母m的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】“mathematics”中共11个字母，字母m有2个，根据概率公式可得答案．
【解答】解：∵单词“mathematics”，共11个字母，字母m有2个，
∴抽中字母m的概率为．
故选：D．
2．（2023秋•南明区期中）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别标有数字﹣2，0，，3，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上的数字是负数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】一共有4种等可能性，负数有1种等可能性，根据概率公式计算即可
【解答】解：一共有4种等可能性，负数有1种等可能性，根据概率公式计算可得：抽取的卡片上的数字是负数的概率为．
故选：B．
3．（2023秋•关岭县期末）小明有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有5根木棒供他选择，其长度分别为3cm、5cm、10cm、13cm、14cm．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据构成三角形的条件，确定出第三边长，再由概率求解．
【解答】解：小明随手拿了一根，有五种情况，由于三角形中任意两边之和要大于第三边，任意两边之差小于第三边，故只有这根是5cm或10cm，
∴小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率＝．
故选：A．
4．（2023秋•钟山区期末）有6张完全相同的卡片，每张卡片的正面都写有一种常见的生活现象，将所有卡片背面朝上，从中任意抽出一张，抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵共6张卡片，属于物理变化的有水结成冰、灯泡发光两种，
∴从中任意抽出一张，抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是＝，
故选：B．
5．（2023秋•红花岗区校级期中）现有5张卡，正面图案标有“神舟十四”，“5G基站建设”，“工业互联网”，“大数据”，“人工智能”，它们除此之外完全相同，把这5张卡，背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则刚好抽到卡片正面图案恰好是“人工智能”的概率是 ．
【分析】利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵共5张卡片，其中一张标有“人工智能”，
∴从中随机抽取一张，则刚好抽到卡片正面图案恰好是“人工智能”的概率是，
故答案为：．
6．（2024春•金沙县校级期末）在一个不透明的袋子中装有5个红球、18个黄球和12个黑球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
（1）求摸出的球是红球的概率；
（2）为了使摸出黄球和黑球的概率相等，再往袋中放入共10个同样的黄球或黑球，则这10个球中黄球的个数是多少？
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）设这10个球中黄球的个数是x个，则黑球的个数是（10﹣x）个，由题意：摸出两种球的概率相同，列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）摸出的球是红球的概率＝．
（2）设这10个球中黄球的个数是x个，则黑球的个数是（10﹣x）个．
根据题意得，，
解得x＝2．
答：这10个球中黄球的个数是2个．
列表法与树状图求概率
1．（2023秋•贵阳期中）“十一”期间，小胡和小刘两家准备从黄果树大瀑布、织金洞、龙宫中选择一景点游玩，他们通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出两家抽到同一景点的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示黄果树大瀑布、织金洞、龙宫）
共有9种等可能的结果，其中两家抽到同一景点的结果数为3种，
所以两家抽到同一景点的概率＝＝．
故选：A．
2．（2023秋•水城区期中）经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：列表得：
∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是，故选A．
3．（2023秋•六盘水期中）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故选：A．
4．（2023秋•贵阳期中）合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，则学生B坐在2号座位的概率是 ．
【分析】根据题意画出树状图，找出所有可能的情况数，找出学生B坐在2号座位的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：根据题意得：
所有可能的结果有6种，其中学生B坐在2号座位的情况有2种，
则P＝＝．
故答案为：
5．（2023秋•钟山区期中）为落实教育部办公厅和中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神．我市某校八、九年级分别从《我和我的父辈》《童年周恩来》《我心飞扬》《向着明亮那方》四部影片中，随机选取一部影片组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及这两个年级选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：分别将《我和我的父辈》《童年周恩来》《我心飞扬》《向着明亮那方》记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中这两个年级选择的影片相同的结果有4种，
∴这两个年级选择的影片相同的概率为＝．
故答案为：．
6．（2023秋•贵阳期中）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，小红和小星随机从“微信”“支付宝”“现金”三种支付方式中选一种方式进行支付（假设每种支付方式等可能且无关联）．
（1）小红随机选择一种支付方式，选到“支付宝”支付的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图法，求小红和小星恰好都选择“微信”支付的概率（依次记“微信”“支付宝”“现金”为A、B、C）．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小红和小星恰好都选择“微信”支付的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，小红随机选择一种支付方式，选到“支付宝”支付的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小红和小星恰好都选择“微信”支付的结果有：（A，A），共1种，
∴小红和小星恰好都选择“微信”支付的概率为．
7．（2023秋•红花岗区校级期中）有四张正面分别标有数字﹣2，0，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
（1）随机抽出一张卡片，则抽到数字绝对值为2的卡片概率为 ；
（2）随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次数字和为0的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）随机抽出一张卡片，则抽到数字绝对值为2的卡片概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次抽出的卡片上的数字之和是0的结果有3个，
∴两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率为．
8．（2023秋•水城区期中）在“阳光体育”活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率．
【分析】（1）由题意可得共有小丽、小敏、小洁三位同学，恰好选中小英同学的只有一种情况，则可利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中小敏、小洁两位同学的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有3种情况，
而选中小丽的情况只有一种，所以P（恰好选中小丽）＝；
（2）列表如下：
所有可能出现的情况有12种，其中恰好选中小敏、小洁两位同学组合的情况有两种，所以P（小敏，小洁）＝＝．
游戏公平性
1．（2023春•南明区校级期中）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
【解答】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，
故选：D．
2．（2023秋•六盘水期中）为决定谁获得仅有的一张电影票，甲和乙设计了如下的游戏：在三张完全相同的卡片上分别写上字母A，B，B，背面朝上，每次抽取之前先洗匀，甲说：“我随机抽取一张，抽到字母B，电影票归我．”乙说：“我随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，若两次抽取的字母相同，电影票归我．”试问：此游戏对谁更有利？并说明理由．
【分析】分别利用概率公式和画树状图计算各自的概率，然后比较即可．
【解答】解：此游戏对乙更有利，理由如下：
甲获得电影票的概率＝；
画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的字母相同的结果数为5，
所以乙获得电影票的概率＝．
∵＞，
∴此游戏对甲更有利．
3．（2023秋•花溪区期中）在一个不透明的盒子中装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外，其余都相同．小明和小英做摸球游戏，约定游戏规则是：小英先从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，小明再从中随机摸出一个球．如果两人摸到球的颜色相同，小英赢，否则小明赢．
（1）请用树状图或列表格法表示一次游戏中所有可能出现的结果；
（2）这个游戏规则公平吗？请说明理由．
【分析】（1）利用树状图展示所有9种等可能的结果；
（2）先找出两球的颜色相同的结果数和两球的颜色不相同的结果数，再计算出小英赢的概率和小明赢的概率，然后比较两概率大小可判断该游戏规则是否公平．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有9种等可能的结果；
（2）这个游戏规则不公平．
理由如下：
两球的颜色相同的结果数为5，两球的颜色不相同的结果数为4，
所以小英赢的概率＝，小明赢的概率＝，
因为＞，
所以这个游戏规则不公平．
求几何概率
1．（2024春•金沙县期末）如图，飞镖游戏板由含大小相等的等腰直角三角形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵假设每个正方形的面积都为1，总面积为4，其中阴影部分面积为×4＝2，
∴击中黑色区域的概率是＝．
故答案为：．
2．（2023春•贵州期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，（每次飞镖均落在纸板上），则击中阴影区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】设图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，根据题意图中阴影部分的面积为3，应用几何概率的计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：设图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，
根据题意图中阴影部分的面积为3，
则P（击中阴影区域）＝＝．
故选：B．
3．（2023秋•威宁县期末）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵共4个数，数字为偶数的有2个，
∴指针指向的数字为偶数的概率为＝．
故选：D．
统计与概率的应用
1．（2023秋•贵阳期中）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 100 名学生，统计表中a＝ 30 ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【分析】（1）将40＜x≤60组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以20＜x≤40组的百分比即可求出a的值；
（2）将60＜x≤80组的人数除以抽取的人数，再乘以360°即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数；
（3）将x＞80组的人数除以抽取的人数，再乘以1400即可估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数；
（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝100，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，
∴a＝30，
故答案为：100，30；
（2）∵样本中平均每天阅读时长为“60＜x≤80”有15名，
且15÷100×360°＝54°，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数为54°；
（3）∵样本中平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为10人，
且10÷100×1400＝140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为140名；
（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）＝．
2．（2023秋•南明区期中）中秋节期间，某商场销售四种不同口味的月饼，分别是火腿、蛋黄、豆沙、五仁四种口味（分别记作A、B、C、D），商场为了了解顾客对这几种月饼的喜爱情况，随机调查了部分顾客，要求顾客从这四种不同的月饼中选出一种自己喜欢的月饼．现将调查结果绘制成如下统计表和统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ 0.2 ，参与本次调查的顾客共有 200 人；
（2）补全条形统计图；
（3）小明的妈妈买了3个月饼装在了一个不透明的袋中，3个月饼包含1个火腿月饼、1个蛋黄月饼、1个豆沙月饼，若小明从袋中随机摸出两个月饼，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个月饼是火腿月饼和蛋黄月饼的概率．
【分析】（1）用统计表中B的频数除以频率可得参与本次调查的顾客人数，再用统计表中C的频数除以参与本次调查的顾客人数可求得a的值．
（2）求出b的值，再补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的这两个月饼是火腿月饼和蛋黄月饼的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）参与本次调查的顾客共有80÷0.4＝200（人），
∴a＝40÷200＝0.2．
故答案为：0.2；200．
（2）b＝200×0.3＝60，
补全条形统计图如下．
（3）列表如下：
由表可知，共有6种等可能的结果，其中摸出的这两个月饼是火腿月饼和蛋黄月饼的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴摸出的这两个月饼是火腿月饼和蛋黄月饼的概率为＝．
3．（2023秋•观山湖区校级期中）为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展2023年“5•19中国旅游日”活动．青海省某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，对“五一”假期期间的游客去向进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查的样本容量是 200 ；
（2）将图1中的条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查结果，“五一”假期期间这四个景区共接待游客约19万人，请估计前往青海湖景区的游客约有多少万人；
（4）若甲、乙两名游客从四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率．
【分析】（1）用C组的频数除以它所占的百分比得到样本容量；
（2）先计算出B组的人数，然后补全条形统计图；
（3）用19万乘以样本中A组人数所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两人选择同一景区的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解；（1）此次抽样调查的样本容量为50÷25%＝200；
故答案为：200；
（2）B组的人数为200﹣70﹣20﹣50＝60（人），
条形统计图补充为：
（3）19×＝6.65（万），
所以估计前往青海湖景区的游客约有6.65万人；
（4）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景区的结果数为4，
所以他们选择同一景区的概率＝＝．
4．（2023秋•钟山区期中）随着中国第一部反电信诈骗电影《孤注一掷》的热播，电信诈骗的常见陷阱和欺骗案例着实令人唏嘘，“校园防电信诈骗安全”也受到全社会的广泛关注．某中学对九年级学生就防电信诈骗安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行了调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示的两幅不完整统计图．
请你根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若从对校园防电信诈骗安全知识达到“了解”程度的2名男生和3名女生中随机抽取2人参加“校园防电信诈骗安全”知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率；
（3）请帮助该校写一句防电信诈骗的宣传标语．
【分析】（1）用了解程度为C的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，再分别减去B，C，D的人数，可得了解程度为A的人数，补全条形统计图即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（3）写一句防电信诈骗的宣传标语即可．
【解答】解：（1）调查的人数为30÷50%＝60（人），
∴了解程度为A的人数为60﹣5﹣30﹣10＝15（人）．
补全条形统计图如下．
（2）记2名男生分别为A，B，3名女生为C，D，E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有：AC，AD，AE，BC，BD，BE，CA，CB，DA，DB，EA，EB，共12种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
（3）答案不唯一，如：时刻绷紧防范之弦，严防电信网络诈骗．
5．（2023秋•水城区期中）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 81° ；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“ 微信 ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，
故答案为：200、81°；
（2）微信人数为200×30%＝60人，银行卡人数为200×15%＝30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
利用频率估算概率
1．（2023秋•贵阳期中）在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余均相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中的总球数大约是（ ）
A．15B．20C．25D．30
【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【解答】解：设总球数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴＝0.2，
解得：x＝25，
即所有球的个数为25个，
故选：C．
2．（2023秋•钟山区期中）一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右，由此可知盒子中黄色小球的个数可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有黄色小球x个，列出方程求解即可．
【解答】解：设袋中有黄色小球x个，由题意得，
解得：x＝6．
故选：D．
3．（2023秋•贵阳期中）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是偶数的概率
B．抛一枚硬币，正面朝下的概率
C．从装有2个红球和1个蓝球（3个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率
D．用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏，随机抽取一张牌，花色为“红桃”的概率
【分析】由折线统计图可知，试验结果在0.3附近波动，最后稳定在0.33附近，再分别计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现点数是偶数的概率是，故此选项不符合题意；
B、抛一枚硬币，出现正面朝下的概率为，故此选项不符合题意；
C、从装有2个红球和1个蓝球（3个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率是，故此选项符合题意．
D、用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏，随机抽取一张牌，花色为“红桃”的概率＝，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（2023秋•水城区期中）在一个不透明的袋子中有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有20个红球，且摸出红球的概率是，则估计袋子中大概有球的个数是（ ）个．
A．25B．50C．75D．100
【分析】根据题意可知有20个红球，且摸出红球的概率是，从而可以求得袋子中的球的个数．
【解答】解：由题意可得，
袋子中大概有球的个数是：20÷＝20×5＝100，
故选：D．
5．（2023秋•贵阳期中）下列叙述不正确的是（ ）
A．掷一枚骰子，向上的一面出现的点数为4是随机事件
B．某种彩票中奖的概率为1%，那么买100张这种彩票一定会中奖
C．某兴趣小组14位同学中至少两人的生日在同一月份是必然事件
D．在相同条件下，试验的次数足够大时，某一随机事件发生的频率会稳定于某一数值
【分析】分别利用随机事件的定义以及利用频率估计概率的方法分析求出即可．
【解答】解：A．掷一枚骰子，向上的一面出现的点数为4是随机事件，此选项表述正确；
B．某种彩票中奖的概率为1%，那么买100张这种彩票不一定会中奖，此选项表述错误；
C．某兴趣小组14位同学中至少两人的生日在同一月份是必然事件，此选项表述正确；
D．在相同条件下，试验的次数足够大时，某一随机事件发生的频率会稳定于某一数值，此选项表述正确；
故选：B．
6．（2023秋•水城区期中）在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程．小明共摸100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（ ）
A．10个B．12 个C．15 个D．18个
【分析】小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．
【解答】解：∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，
∴有80次摸到白球，
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，
∴口袋中黑球和白球个数之比为1：4，
3÷＝12（个）．
故选：B．
7．（2023秋•南明区期中）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的大约有 8 个．
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【解答】解：由题意可得，20×0.4＝8（个），
即袋子中红球的个数大约有8个，
故答案为：8．
8．（2023秋•水城区期中）为了知道一块不规则的封闭图形的面积，小聪在封闭的图形内画了一个边长为1m的正方形，在不远处向封闭图形内任意投掷石子，且记录如下，则封闭图形的面积约为 1.7 m2（精确到0.1m2）．
【分析】根据统计表，计算出石子落在正方形内的概率，即正方形面积与总面积的比值，从而可计算出封闭图形的面积
【解答】解：根据统计表，可得石子落在正方形内的概率约为0.593，
设封闭图形的面积为x，
则有＝0.593，
解得x≈1.7．
∴封闭图形的面积约为1.7，
故答案为：1.7．
9．（2023秋•六盘水期中）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．
（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是 0.75 ，其中红球的个数是 3 ；
（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．
【分析】（1）通过图中的数据，随着次数的增多，摸到红球的频率越稳定在0.75左右，得出红球的概率，再用红球的概率乘以总球数，即可得出红球的个数；
（2）画树状图，得出所有等可能的情况是，找出符合条件的情况是，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是0.75，
4×0.75＝3（个），
答：红球的个数是3个．
故答案为：0.75，3；
（2）由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球．
列表如下：
可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6种，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有3种结果，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），
所以摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率是＝．
10．（2023秋•贵阳期中）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 0.6 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 30 个；
（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 10 个或减少黑球 10 个．
【分析】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到；
（2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数；
（3）使得黑球和白球的数量相等即可．
【解答】解：（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球的个数为50×0.6＝30个，
故答案为：30；
（3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，
即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个，
故答案为：10，10．
右
（直，右）
（左，右）
（右，右）
左
（直，左）
（左，左）
（右，左）
直
（直，直）
（左，直）
（右，直）

直
左
右
小英
小丽
小敏
小洁
小英
（小英，小丽）
（小英，小敏）
（小英，小洁）
小丽
（小丽，小英）
（小丽，小敏）
（小丽，小洁）
小敏
（小敏，小英）
（小敏，小丽）
（小敏，小洁）
小洁
（小洁，小英）
（小洁，小丽）
（小洁，小敏）
平均每天阅读时长x/min
人数
0＜x≤20
20
20＜x≤40
a
40＜x≤60
25
60＜x≤80
15
x＞80
10
月饼种类
频数（人）
频率
A
b
0.3
B
80
0.4
C
40
a
D
20
0.1
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
掷石子次数
50
100
150
200
300
石子落在正方形内（含边上）
29
61
91
118
178
落在正方形内（含边上）的频率
0.580
0.610
0.607
0.590
0.593
白
红1
红2
红3
白
白，红1
白，红2
白，红3
红1
红1，红2
红1，红3
红2
红2，红3
红3
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
65
118
189
310
482
602
摸到黑球的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602