云南省昭通市威信县第二中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题（解析版）

这是一份云南省昭通市威信县第二中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了 若，，则， 下列关于复数的说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示即可解得.
【详解】由可得，解得，
故选：C
2. 若复数满足（其中i是虚数单位），则复数的实部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算可得，进而可得实部.
【详解】因为，则，
所以复数的实部为.
故选：C.
3. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量夹角余弦的计算公式即可求得的值.
【详解】，
故选：A.
4. 在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知边角边，可由余弦定理求第三边即可.
【详解】由余弦定理可得，
，
故选:B.
5. 若平面平面，且直线，直线，则直线，关系为（ ）
A. B. C. 无公共点D. 即不平行也不相交
【答案】C
【解析】
【分析】根据面面平行可知直线，可能平行或异面，即可得结果.
【详解】因为平面平面，直线，直线，
可知直线，不可能相交，但可能平行或异面，即没有公共点.
故选：C.
6. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆锥的体积公式计算即可.
【详解】如图所示：由题意得，，
，

，
故选：D.
7. 复数满足，则复数在复平面所对应的点所在象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先化简题给分式得到复数对应点的坐标，进而得到该点所在象限.
【详解】，
则复数对应点的坐标为，位于第一象限.
故选：A.
8. 如图，在正方形中，为边中点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算可得，结合题意即可得.
【详解】由题可知，则，
可得，，所以.
故选：B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列关于复数的说法正确的是（ ）
A. 复数B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据复数的运算及性质逐一判断选项.
【详解】对于A：，，A正确；
对于B：，B正确；
对于C：，C错误；
对于D：，D错误.
故选：AB.
10. 已知，表示直线，表示平面，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则或与相交
C. 若，，则，无公共点
D. 直线平面，直线，则或和异面
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线和平面的位置关系，由线在面内、线面相交、线面平行等对选项逐一判断即可得出结论.
【详解】对于A：若说明直线a和面只有一个交点，A错误；
对于B：直线在面外，则直线和面相交或平行，B正确；
对于C：，则和可以相交，故和可以相交，C错误；
对于D：直线平面，直线，则或和异面，D正确，
故选：BD.
11. 如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ）
A. 与不平行
B. 的模恰为模的倍
C. 与的模相等的向量有9个（不含）
D. 与相等的向量只有一个（不含）
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误；
对于选项B：因为，则，
所以的模恰为模的倍，故B正确；
对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等，
故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确；
对于选项D：与相等向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确；
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知复数为实数，则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】整理可得，结合向量的概念列式求解即可.
【详解】因为为实数，
则，解得.
故答案为：.
13. 已知向量，的夹角为，且，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由向量的模长公式即可求得结果.
【详解】向量，的夹角为，，，
所以；
所以，所以.
故答案为：
14. 如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是______.

【答案】8
【解析】
【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可.
【详解】由题意，作出图象如图，可得，，且，
故.

故答案为：8
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知复数.
（1）求复数的模；
（2）若，求，的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）先利用复数除法化简题给复数，进而求得复数模；
（2）利用复数相对列出关于，的方程组，解之即可求得，的值.
【小问1详解】
，
.
【小问2详解】
，
又，
，解得，.
16. 在中，，，为边上一点，且.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中根据已知条件利用余弦定理计算可得；
（2）在中利用正弦定理计算可得结果.
【小问1详解】
在中，，，且.
由余弦定理得，
可得.
【小问2详解】
在中，，，，
由正弦定理得，
即，
可得.
17. 如图所示，在正方体中，.证明：

（1）；
（2）与是异面直线.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明
（2）根据异面直线的定义可得
【小问1详解】
如图所示，连接，

为正方体，
，
平面为平行四边形，
.
为正方形，
，
.
【小问2详解】
由面，面，且面面，
又与不平行，与是异面直线.
18. 已知，，.
（1）求的值；
（2）当为何值时，与垂直？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合条件，按照数量积的运算律计算可得结果；
（2）利用第（1）问的结论，根据向量垂直的数量积关系计算可求出的值.
【小问1详解】
因为，，，
所以，则.
【小问2详解】
若与垂直，则，
从而，解得：.
19. 如图，已知的棱长为2.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求直线和平面所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用锥体体积公式即可求得四棱锥的体积；
（2）先在正方体中找到直线和平面所成角，进而求得其余弦值.
【小问1详解】
正方体的棱长为2，
由正方体性质可得平面，则四棱锥的高为，
.
【小问2详解】
因为平面，
直线在平面上的射影为直线，
就是直线和平面所成的角.
在中，，，，
，
.