内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．
1. 在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，轴对称图形指的是延某条直线折叠，两边的图形能够完全重合；将图形旋转，能够与原图形重合的图形叫做中心对称图形，掌握定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. x2+3x+y＝0B. x+y+1＝0C. x2+x﹣1＝0D. x2++5＝0
【答案】C
【解析】
【分析】由题意直接根据一元二次方程的定义依次对各个选项进行分析判断即可．
【详解】解：A．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意；
B．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意；
C．此方程符合一元二次方程，符合题意；
D．此方程不是整式方程，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程定义，解题关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3. 若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设方程的另一个根为，
则，
∴．
故选：A．
4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选：．
5. 点是二次函数的图象上两点，则与的大小系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先得到该抛物线开口向上，且对称轴为直线，再由开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，
∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线．
∵点是二次函数的图象上两点，且，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大是解题的关键．
6. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A. 图象与y轴的交点坐标为B. 图象的对称轴在y轴的右侧
C. 当时，y的值随x的增大而减小D. y的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与坐标轴的交点坐标，增减性，对称轴，顶点坐标，是解题的关键．令，求解函数的值可判断A，再由对称轴，可判断B，利用函数的开口方向与函数的增减性判断C，把顶点的横坐标代入解析式求解纵坐标，可判断D，从而可得答案．
【详解】解：由，
令 则，
所以图象与y轴的交点坐标为，故A正确；
函数的对称轴为：，
所以函数的对称轴在轴的右侧，故B正确；
由， 函数图像的开口向上，
所以当x<1时，y的值随x值的增大而减小，故C正确；
当x=1时，函数的最小值为：， 故D错误；
故选：D．
7. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A. k>－B. k>－且C. k<－D. k－且
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根必须满足（1）二次项系数不为零；（2）根的判别式，由此即可求解．
【详解】解：由题意知，k≠0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即．
解得：k＞，
∴k＞且k≠0．
故选B．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键．
8. 某超市一月份营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x，则由题意列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题，根据一月份的营业额得到二月及三月的营业额，根据第一季度的营业额共1000万元列方程即可
【详解】解：一月份的营业额为200万元，
二月份的营业额为万元，
三月份的营业额为万元，
∴
故选：D
9. 二次函数 的图象如图，则一次函数的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与一次函数图象综合判断，根据二次函数的顶点坐标在第四象限得到，再根据一次项系数为正，且常数项为正的一次函数经过第一、二、三象限即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，二次函数的顶点在第四象限，且二次函数的顶点坐标为
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故选：A
10. 如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①，②，③，④，⑤．
其中正确的结论个数为（ ）个．
A 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，根据开口方向，与y轴交点的位置以及对称轴的位置得到，，即可判定①②；根据抛物线与x轴有两个不相等的交点即可判断③；根据当时，，即可判断④；根据函数图象经过点得到，再由，即可判定⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向上，于y轴交于负半轴，
∴，
∵抛物线对称轴在y轴和直线之间，
∴，
∴，即，故②错误；
∴，故①错误；
由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不相等的交点，
∴，
∴，故③正确；
∵当时，，
∴，故④正确；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，故⑤正确；
故选B．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．
11. 二次函数的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标为．
根据二次函数顶点式的性质即可进行解答．
【详解】解：二次函数，
该函数的顶点坐标是，
故答案为：．
12. 如图，在正方形中，为边上的点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则__________度.
【答案】45
【解析】
【分析】由旋转的性质可得CF＝CE，∠ECF＝90°，然后可得∠EFC的度数．
【详解】解：∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形，
∴CF＝CE，∠ECF＝∠BCE＝90°，
∴∠EFC＝∠CEF＝45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了图形的旋转变化，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
13. 开始有2人患了流感，经过两轮传染后，共有72人患了流感，每轮传染中平均每人传染了________个人．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，以及利用开平方法解一元二次方程，设平均每人传染了x个人，第一轮有人被传染，第二轮有人被传染，然后根据已知条件列出关于x的一元二次方程，解方程，把不合适的解舍去即可．
【详解】解：设平均每人传染了x个人，第一轮有人被传染，总共有人患了流感，
第二轮有人被传染，总共有人患了流感，
根据题意有：，
整理得：，
即，
则，
则或，
∴，（舍去），
∴平均每人传染了5个人，
故答案为：5．
14. 如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次函数的简单应用.建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.
【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，

由题意可知各点坐标为A-4,0，B4,0，，
设抛物线解析式为把B、D两点代入解析式，
∴，
解得：，
∴解析式为，
则顶点，
所以这个门洞内部顶端离地面的距离为，
故答案为：.
15. 等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为__________
【答案】10
【解析】
【详解】试题解析：当a=2或b=2时，把x=2代入x2-6x+n-1=0得4-12+n-1=0，解得n=9，此时方程的根为2和4，而2+2=4，故舍去；
当a=b时，△=（-6）2-4×（n-1）=0，解得n=10，
所以n为10．
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
16. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，函数图像上点的坐标特征，熟练掌握函数图形是解题的关键．点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，设的函数表达式为：，求出的函数表达式，即可求出答案．
【详解】解：令，即，
解得，
令，，
故A、B、C的坐标为：，
函数对称轴，
点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，即为所求，
设的函数表达式为：，
将代入，
得，
解得，
的函数表达式为：，
将代入，，
故点P坐标是．
故答案为：．
三、解答题：共52分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：整理得，
，，，，
∴，
解得：，．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）
（1）△与△ABC于原点O中心对称，画出△
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△，画出
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质作图，可得点A1的坐标．
（2）根据旋转的性质作图即可．
【小问1详解】
解：如图，△A1B1C1即为所求．
【小问2详解】
解：如图，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程的两个根为和，且满足，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，掌握根的判别式的含义是解本题的关键；
（1）先计算，从而可得结论；
（2）由根与系数的关系可得，再代入，建立方程求解即可．
【小问1详解】
证明：，
无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
由根与系数的关系，得．
，
，
即，
解得．
20. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．
（1）请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）怎样围才能使矩形场地的面积为？
（3）当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？
【答案】（1）；
（2）当为，为时，矩形场地的面积为
（3）当时，矩形场地的面积最大为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题中各量间的数量关系是解答本题的关键．
（1）由，可求得矩形场地的宽，根据矩形的面积公式即可求得答案；
（2）令，得到一元二次方程，求解可得答案；
（3）根据二次函数的性质，即可求得答案．
【小问1详解】
由可知边所用篱笆为，
∴，
∴，
墙的长度不超过，
，
；
【小问2详解】
在中，
令，则，
解得，（不合题意，舍去），
，
当为，为时，矩形场地的面积为；
小问3详解】
，且，
当时，y取最大值，即矩形场地的面积最大为．
21. 成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售
（1）商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？
（2）商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？
【答案】（1）销售单价应定为40元
（2）当销售单价应定为元，销售总利润最大
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）设每个“蓉宝”降价x元，根据利润（实际售价进价）销售量列出方程求解即可；
（2）设每个“蓉宝”降价x元，根据利润（实际售价进价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设每个“蓉宝”降价x元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵商场决定尽快减少库存，
∴，
∴，
答：销售单价应定为40元；
【小问2详解】
解：设每个“蓉宝”降价x元，
由题意得
，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为2450，
∴，
∴当销售单价应定为元，销售总利润最大．
22. 如图，抛物线的对称轴为x=-1，该抛物线与轴交于、两点，且点坐标为1,0，交轴于，设抛物线的顶点为．
（1）求该抛物线的解析式与顶点的坐标；
（2）在对称轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），顶点为；
（2）存在满足条件的点，其坐标为或)或)或．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理；
（1）根据抛物线的对称性得到点的坐标为，故设抛物线为两点式方程，把点的坐标代入即可求得的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点的坐标；
（2）可设出，则可分别表示出、、的长度，分、和三种情况分别可得到关于的方程，可求得点坐标．
【小问1详解】
解：点关于x=-1的对称点，，
设过、的抛物线为，
该抛物线又过，则有：，解得a=-1，
即，顶点为
【小问2详解】
解：设，
，，
，，，
为等腰三角形，
有、和三种情况，
①当时，则有，即，解得，此时
②当时，则有，即，解得，此时)或)
③当时，则有，即，解得或，此时或
设直线解析式为，代入、，
∴
∴
∴直线解析式为，
当时，则在直线上，
综上可知存在满足条件点，其坐标为-1,1或)或)或．