备战2025年高考数学模拟卷三

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（ ）
A．B．2C．D．
4．已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．设函数，若存在使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
7．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．圆和圆关于直线对称
B．圆和圆的公共弦长为
C．的取值范围为
D．若为直线上的动点，则的最小值为
8．已知点为扇形的弧上任意一点，且，若 （），则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．
B．
C．在上为增函数
D．函数在上有且只有2个零点
10．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（ ）
A．该内切球的球面面积为
B．存在点，使得平面
C．平面被球截得的截面圆的面积为
D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为
11．已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，它们的离心率分别为，，P是它们在第一象限的交点，的内切圆圆心为Q，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．过作直线的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线
D．两个曲线在P点处的切线互相垂直
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若的展开式中的常数项为24，则实数a的值为 ．
13．如图，已知过抛物线（）的焦点的直线与抛物线交于两点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，抛物线的准线与轴交于点，为坐标原点，记，，分别为，，的面积.若，则直线的斜率为 ．
14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．
(1)若Q为的中点，证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角正弦值为，求．
16．（15分）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表：
(1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？
(2)为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择：
方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；
方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级.
已知振华同学答对这4个问题的概率分别为，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？
附：
17．（15分）在中，为的中点，，记，.
(1)证明：或；
(2)若，且，求的最大值.
18．（17分）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)记数列的前n项和为．
（i）若，证明：．
（ii）已知函数，若，证明：．
19．（17分）给出如下的定义和定理：
定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点．
定理：过抛物线上一点处的切线方程为．
完成下述问题：
已知抛物线，焦点为，过外一点（不在轴上），作的两条切线，切点分别为，（在轴两侧）直线分别交轴于两点，
(1)若，求线段的长度；
(2)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
(3)若点在曲线上，求四边形的面积的范围．
关注
不关注
合计
男生
55
60
女生
合计
75
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828