备战2025年高考数学模拟卷四

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．复数，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题p：∀x∈R，x2＜x3，命题q：∃x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p，qB．¬p，qC．p，¬qD．¬p，¬q
3．如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（ ）
A．B．C．D．
4．某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续次的产如下：
则下列结论错误的是（ ）
A．甲种水稻产量的众数为
B．乙种水稻产的极差为
C．甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数
D．甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差
5．已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，的图象与直线有两个交点，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
7．在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上最大值为B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增D．函数的最小正周期为
10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．当时，
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．当最小时，切线与准线的交点坐标为
11．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．点是曲线的对称中心
C．有三个零点且三个零点的和为0
D．直线是曲线的切线
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知等差数列的前n项和为，若，，则 ．
13．已知，，则 .
14．某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序．则第一局比赛高一获胜的概率为 ，在一场比赛中高一获胜的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本小题满分13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)D是线段上的点，且，，求的面积.
16．（本小题满分15分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
17．（本小题满分15分）如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．

(1)当点为线段的中点时，求证：；
(2)当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围．
18．（本小题满分17分）某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.
(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率；
(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望；
(3)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出.
19．（本小题满分17分）如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.
（1）证明：的左焦点是“型点”；
（2）设直线与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；
（3）求证：内的点都不是“型点”.
甲
乙