备战 2025 浙江高考数学模拟卷一

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 【答案】100 13. 【答案】3e．14. 【答案】105．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【解】：（1）由题意得ξ＝2，3，4，5，6，······1分
P（ξ＝2）=3×36×6=14；P（ξ＝3）=2×3×26×6=13；P（ξ＝4）=2×3×1+2×26×6=518；
P（ξ＝5）=2×2×16×6=19；P（ξ＝6）=1×16×6=136．······5分
故所求ξ的分布列为
（2）由题意知η的分布列为
Eη=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53 ······2分
Dη＝（1-53）2aa+b+c+（2-53）2 ba+b+c+（3-53）2 ca+b+c=59．······3分
得2a-b-4c=0a+4b-11c=0，解得a＝3c，b＝2c，故a：b：c＝3：2：1．······2分
16．（15分）【答案】（1）证明详情见解答．（2）1717．
【解】：（1）证明：取CE的中点M，连接DM，
因为四边形BCEF是矩形，
所以O是CF的中点，·····1分
所以OM∥EF，OM=12EF，·····1分
因为AD∥EF，AD=12EF，
所以OM∥AD，OM＝AD，
所以四边形ADMO是平行四边形，·····2分
所以AO∥DM，
又AO⊄面CDE，DM⊂面CDE，
所以AO∥面CDE．·····1分
（2）因为四边形ADEF是直角梯形，AD∥EF，AD⊥AF，
所以EF⊥AF，·····1分
因为四边形BCEF是矩形，
所以EF⊥BF，
又AF∩BF＝F，·····2分
所以EF⊥面ABF，
又AB⊂面ABF，
所以EF⊥AB，·····1分
过点F，作FN⊥AB，连接BE，
又EF∩FN＝F，EF⊂面NEF，FN⊂面NEF，
所以AB⊥面NEF，
又NE⊂面NEF，
所以AB⊥NE，
平面ABF与平面OAB的夹角为平面ABF与平面EAB的夹角，平面角为∠ENF，·····2分
在Rt△ENF中，cs∠ENF=NFNE，
因为AF＝BF＝AD=12EF＝2，
所以EF＝4，N为AB的中点，·····2分
因为AB＝23，
所以NF=AF2-(AB2)2=22-(232)2=1，NE=16+1=17，
所以cs∠ENF=NFNE=1717，·····2分
所以平面ABF与平面OAB的夹角的余弦值为1717．
17．（15分）
【答案】（1）椭圆E的离心率：e=12；短轴长：23；（2）k1k2=1（过程见解析）．
【解答】：（1）由题意得：a=2b=3c2=a2-b2⇒a=2b=3c=1，所以离心率e=ca=12，短轴长2b=23．·····2分
（2）如图：
由y=kx+mx24+y23=1消去y并整理得：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，……①
由Δ＝0⇒（8km）2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝0⇒m2＝4k2+3．·····2分
此时方程①可化为：m2x2+8kmx+16k2＝0，解得：x=-4km（由条件可知：k、m异号）·····2分
设P（x0，y0），则x0=-4km，y0=kx0+m=k⋅(-4km)+m=m2-4k2m=3m．
即P(-4km，3m)，所以k1=3m-4km=-34k．·····2分
因为l1∥l2，所以可设直线l2：y＝kx+n（n≠0，n≠m）．
由y=kx+nx24+y23=1消去y并整理得：（4k2+3）x2+8knx+4n2﹣12＝0，
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实根．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-8kn4k2+3，x1x2=4n2-124k2+3．·····2分
因为A，C两点关于原点对称，所以C（﹣x1，﹣y1），·····2分
所以：k2=y2+y1x2+x1=kx2+n+kx1+nx2+x1=k+2nx2+x1=k+2n-8kn4k2+3=k-4k2+34k=-34k．·····2分
所以k1＝k2⇒k1k2=1．········1分
18．（17分）
【答案】（1）0；（2）e；（3）证明见解析．
【解答】解：（1）f′（x）＝lnx，x＞0，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）min＝f（1）＝0．········3分
（2）令g（x）＝y＝f′（x）+ex＝lnx+ex，则g'(x)=1x+e，x＞0，
设切点为（t，g（t）），则g（t）＝lnt+et，g'(t)=1t+e，······1分
则切线方程为y-(lnt+et)=(1t+e)(x-t)，即y=(1t+e)x+lnt-1，······2分
又y＝ax+b是曲线得切线方程，则a=1t+eb=lnt-1，······1分
则a+b=1t+e+lnt-1，令h(t)=1t+e+lnt-1，t＞0，······1分
则h'(t)=1t-1t2=t-1t2，t＞0，令h′（t）＝0⇒t＝1，······1分
所以t＞1时，h′（t）＞0，h（t）为单调递增函数；
0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）为单调递减函数；
所以h（t）min＝h（1）＝e，即a+b的最小值为e．······1分
（3）证明：由（1）可知，xlnx＞x﹣1，即lnx≥x-1x，当n＝1时取等号，······1分
令x＝n，（n∈N*，n≥2），则lnn＞n-1n，所以lnnn2-1＞n-1n(n2-1)，······1分
又n-1n(n2-1)=1n(n+1)=1n-1n+1，所以lnnn2-1＞1n-1n+1，······1分
所以ln23＞12-13，ln38＞13-14，⋯，lnnn2-1＞1n-1n+1，······1分
累加后可得ln23+ln38+⋯+lnnn2-1＞12-13+13-14+⋯+1n-1n+1=12-1n+1，······2分
即ln32+ln83+⋯+lnn2-1n＞12-1n+1．······1分
19．（17分）
【答案】（1）自然数集N不是数环；整数集Z是数环，不是数域；有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域．（2）证明过程见解答．（3）证明过程见解答．
【解答】：（1）有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域；整数集Z是数环，不是数域；自然数集N不是数环；······3分
（2）证明：当x∈M，那么（x﹣x）∈M，所以0∈M；
当y∈S，y≠0，所以（y÷y）∈S，所以1∈S．······2分
（3）证明：设∀x1，x2∈A，
所以x2=a2+2b2，x1=a1+2b1，（a1，a2，b1，b2∈Q），······1分
所以x1+x2=a1+a2+2b1+2b2=(a1+a2)+2(b1+b2)，······1分
又因为b1，b2，a1，a2，∈Q，因此（b1+b2）∈Q，（a1+a2）∈Q，因此x1+x2∈A，所以满足条件①；
x1-x2=a1-a2+2b1-2b2=(a1-a2)+2(b1-b2)，······1分
又因为b1，b2，a1，a2，∈Q，
因此（b1﹣b2）∈Q，（a1﹣a2）∈Q，······1分
因此x1﹣x2∈A，所以满足条件②；······1分
x1x2=a1a2+2b1b2+2(a1b2+a2b1)，······1分
又因为b1，b2，a1，a2，∈Q，
因此（a1a2+2b1b2）∈Q，（a1b2+a2b1）∈Q，······1分
因此x1x2∈A，所以满足条件③；······1分
x1÷x2=a1a2-2b1b2+2(a2b1-a1b2)a22-2b22=a1a2-2b1b2a22-2b22+2a2b1-a1b2a22-2b22，······22分
又因为b1，b2，a1，a2，∈Q，a2，b2≠0，
因此a1a2-2b1b2a22-2b22∈Q，a2b1-a1b2a22-2b22∈Q，······2分
因此x1÷x2∈A，所以满足条件④，
综上所述，A是数域．
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
B
C
D
B
B
D
9
10
11
ABC
ABC
ABD
ξ
2
3
4
5
6
P
14
13
518
19
136
η
1
2
3
P
aa+b+c
ba+b+c
ca+b+c