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备战 2025 上海高考数学模拟卷四
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。
1、 2、 15/0.23、
4、 5、 6、
7、/8、9、15/0.2
10、 11、 12、
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）运用等差数列的求和公式和性质求解即可；
（2）求出，用二次函数知识来解题即可．
【详解】（1），则，，
故的值为.
（2）由（1）知道，，，
，
由于开口向下，且对称轴为.
而，则或者时，最大.
．
18、【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②；
(2)当时，最大
【分析】（1）①求出果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比，从而求出一级果，二级果，三级果的数量；
②求出的可能取值和对应的概率，得到数学期望；
（2）得到，从而得到不等式组，求出当时，最大.
【详解】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为，
故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个；
②的可能取值为，
故，，，
，
故
（2）一级果的频率为，
用频率代替概率，故，
故，
令，
故，
解得，
又，故，
故当时，最大.
19、【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据法向量与向量垂直，即可判断线面平行；
（2）首先求平面的法向量，再代入线面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1）证明：直三棱柱中，，
以为顶点建立空间坐标系如图，
，，
点，分别为与的中点，
取中点，
，，，
在△中，，
平面，且，平面，
平面，，且，平面，
平面，
为平面的一个法向量，
而，，
，
，
又平面，
平面；
（2）易知，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，
，
取，则，，
即，
设与平面所成角为，
则
故与平面所成角的正弦值为．
20、【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算；
（2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可；
（3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值.
【详解】（1）由椭圆方程为，
则离心率，
又
所以；
（2）由已知得
又点是椭圆上任意一点，
则，化简可得
（3）法一：由已知可得，即，
平方可得，
又在椭圆上，
所以，
所以，
化简可得
设与的夹角为，
则，则，
所以的面积
，
故的面积为定值；
方法二：由已知，即，
①当直线斜率不存在时，，则，
又在椭圆上，
则，所以，
此时；
②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，
得，
则，
，
则，即，
所以
，
点到直线的距离d=t1+k2，
所以，
所以的面积为定值．
【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可.
21、【答案】(1)证明过程见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论；
（2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案；
（3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，构造，，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围.
【详解】（1），故，
其中，则，
其中定义域为R，故为奇函数，
（2）由得，令，则
令，解得，令h'x<0，解得，
所以在单调递减，在上单调递增，
其中，
故当时，无解，当时，有1个解，
当时，有2个解；
综上，当时，函数没有不动点；
当时，函数有1个不动点；
当时，函数有2个不动点.
（3）当时，，故，
所以在上单调递减，
根据奇函数的对称性，可得在R上单调递减，
因为存在，即，
则，
故，则，即，
因为为函数一个不动点，
所以在时有解，
令，，
因为当时，，
所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于，
所以只需，即，
解得，
故a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
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16
B
C
B
C
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。
1、 2、 15/0.23、
4、 5、 6、
7、/8、9、15/0.2
10、 11、 12、
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）运用等差数列的求和公式和性质求解即可；
（2）求出，用二次函数知识来解题即可．
【详解】（1），则，，
故的值为.
（2）由（1）知道，，，
，
由于开口向下，且对称轴为.
而，则或者时，最大.
．
18、【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②；
(2)当时，最大
【分析】（1）①求出果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比，从而求出一级果，二级果，三级果的数量；
②求出的可能取值和对应的概率，得到数学期望；
（2）得到，从而得到不等式组，求出当时，最大.
【详解】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为，
故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个；
②的可能取值为，
故，，，
，
故
（2）一级果的频率为，
用频率代替概率，故，
故，
令，
故，
解得，
又，故，
故当时，最大.
19、【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据法向量与向量垂直，即可判断线面平行；
（2）首先求平面的法向量，再代入线面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1）证明：直三棱柱中，，
以为顶点建立空间坐标系如图，
，，
点，分别为与的中点，
取中点，
，，，
在△中，，
平面，且，平面，
平面，，且，平面，
平面，
为平面的一个法向量，
而，，
，
，
又平面，
平面；
（2）易知，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，
，
取，则，，
即，
设与平面所成角为，
则
故与平面所成角的正弦值为．
20、【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算；
（2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可；
（3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值.
【详解】（1）由椭圆方程为，
则离心率，
又
所以；
（2）由已知得
又点是椭圆上任意一点，
则，化简可得
（3）法一：由已知可得，即，
平方可得，
又在椭圆上，
所以，
所以，
化简可得
设与的夹角为，
则，则，
所以的面积
，
故的面积为定值；
方法二：由已知，即，
①当直线斜率不存在时，，则，
又在椭圆上，
则，所以，
此时；
②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，
得，
则，
，
则，即，
所以
，
点到直线的距离d=t1+k2，
所以，
所以的面积为定值．
【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可.
21、【答案】(1)证明过程见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论；
（2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案；
（3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，构造，，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围.
【详解】（1），故，
其中，则，
其中定义域为R，故为奇函数，
（2）由得，令，则
令，解得，令h'x<0，解得，
所以在单调递减，在上单调递增，
其中，
故当时，无解，当时，有1个解，
当时，有2个解；
综上，当时，函数没有不动点；
当时，函数有1个不动点；
当时，函数有2个不动点.
（3）当时，，故，
所以在上单调递减，
根据奇函数的对称性，可得在R上单调递减，
因为存在，即，
则，
故，则，即，
因为为函数一个不动点，
所以在时有解，
令，，
因为当时，，
所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于，
所以只需，即，
解得，
故a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
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