备战 2025 高考数学模拟卷一

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知复数z满足2z-i=zi，则z=（ ）
A．5B．33C．55D．3
2．已知一组数据：2，5，7，x，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ）
A．7B．6.5C．6D．5.5
3．已知双曲线C:x2a2-y2=1a>1的焦距为4，则C的渐近线方程为（ ）
A．y=±3xB．y=±x
C．y=±2xD．y=±33x
4．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2=2，S7=3a4+4，则S10=（ ）
A．-5B．5C．-52D．52
5．在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32B．24C．18D．12
6．已知A,B是圆x2+y2=4上的两个动点，且AB=22，点Mx0,y0是线段AB的中点，则x0+y0-4的最大值为（ ）
A．12B．62C．6D．32
7．已知θ∈π2,3π4,tan2θ=-4tanθ+π4，则1-sin2θ2cs2θ-sin2θ=（ ）
A．14B．34C．1D．32
8．“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a（a>0），坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴上，若动点P满足PA×PB=a2，那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若a=1，点P在第一象限且cs∠POB=34，则PA=（ ）
A．2B．22C．12D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数fx=tanωx-π4ω>0的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（ ）
A．ω=4 B．fx的最小正周期为π2
C．fx的图象的一条渐近线为直线x=3π8 D．fx的增区间为-π16+kπ4,3π16+kπ4k∈Z
10．正八面体是一种正多面体，也是一种正轴体，由8个正三角形面组成，每个面均为正三角形.如图，正八面体EABCDF的棱长为10，M为棱FC上一点，且CM=2，则（ ）
A．平面EDC//平面FBA B．该正八面体外接球的表面积为100π
C．二面角E-AD-F的余弦值为-13 D．异面直线AE与BM所成角的余弦值为2114
11．定义域为R的连续函数fx，对任意x,y∈R,fx+y+fx-y=fxfy，且fx不恒为0，则下列说法正确的是（ ）
A．fx为偶函数 B．fx+f0≤0
C．若f1=0，则i=110f(i)=-2 D．若0为fx的极小值点，则fx的最小值为2
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设全集U=R，集合A=x|x>1,B=x|x<-a，且B⊊∁UA，则实数 a 的取值范围是 ．
13．已知x+14+2x5=a0+a1x-1+a2x-12+⋅⋅⋅+a5x-15，则a2= ．
14．已知3a=2+3b，则2a-b的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
已知fx=x+asinx，曲线y=fx在点Pπ,π处的切线斜率为2.
(1)求a的值；
(2)求不等式fx+1+f3-2x>0的解集.
16．（15分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BC=2，侧面BB1C1C是正方形，D为BC的中点，二面角A-BC-B1的大小是2π3．

(1)求证：平面AA1D⊥平面ABC；
(2)线段BC上是否存在一个点E，使直线C1E与平面ACC1A1所成角的正弦值为3310．若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由．
17．（15分）
甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为12,当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立．
(1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率
(2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5~25分之间选一个整数分数（含5分和25分），且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为n的概率为Pn.
（i）证明：Pn+1-Pn为等比数列．
（ⅱ）甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由
18．（17分）
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l,O为坐标原点，G是C上一点，且G到l的距离为4p,△OFG的面积为7．
(1)求C的方程；
(2)已知过点F且不与坐标轴垂直的直线与C交于A,B两点．
（ⅰ）设直线OA,OB分别与l交于点M,N，证明：AN∥BM；
（ⅱ）设l与x轴的交点为K，线段AB的垂直平分线与x轴交于Q点，则A,Q,B,K四点是否在同一个圆上？并说明理由．
19．（17分）
给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T=a-b∣a､b∈S,a≠b，如果minT=1，则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断A=-0.1,-1.1,2,2.5、B=-1.5,-0.5,0.5,1.5哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个n元规范数集S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：minS+maxS≥n-1；
(3)当S=a1,a2,⋯,a2023遍历所有2023元规范数集时，求范数f的最小值.
注：minX、maxX分别表示数集X中的最小数与最大数.