备战 2025 高考数学模拟卷二

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，---------1
即，---------2
由余弦定理，---------4
，.--------5
（2）因为，---------6
即，---------7
，当且仅当时取等号， ---------8
，--------9
即，---------10
又，所以，当且仅当时取等号，---------11
周长，---------12
即周长的最大值为---------13
16．（15分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量、锥体体积的有关计算
【分析】（1）先取的中点，连接，再由平行四边形即可证明线线平行，进而证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量由二面角的平面角的余弦值求出的位置，即可由体积公式求解．
【详解】（1）证明：取的中点，连，，
为的中点，且，---------1
又，且，---------2
，，---------3
所以四边形为平行四边形，
，---------4
又平面，平面，---------5
故直线平面．---------6
（2）以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，---------7
设，则，，--------8
在棱上，可设，
故，解得，即，
易知平面的法向量为，---------10
设平面的法向量，，，
，即，
即，
取，则，，
故，---------12
因为二面角的平面角的余弦值为，
所以，即，
即，
，解得，---------14
故是的中点，
因此---------15
17．（15分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题
【分析】（1）由题意可得的关系，求解即可.
（2）设，求得弦长与原点到直线的距离，由面积可求直线的方程.
【详解】（1）由已知可得，解得，--------2
所以双曲线方程为，---------3
设，
所以，两式相减，可得，---------5
又线段的中点为，所以，，---------6
所以，解得
所以直线的斜率为定值；---------7
（2）由（1）设直线的方程为，---------8
由，所以，整理可得，---------9
所以，解得或，---------10
所以，，---------11

所以，---------12
又原点到直线的距离为,---------13
所以的面积为，---------13
化简可得，解得，---------14
所以直线的方程．---------15
18．（17分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）求导，即可求解，
（2）求导，对进行讨论，即可根据导数的正负确定函数的单调性，
（3）将问题转化为，构造，即可利用导数确定函数的单调性求解.
【详解】（1）当时，，则，---------1
故，--------3
故y=fx在处的切线方程为--------4
（2），---------5
当时，令f'x>0，解得或，令f'x<0，解得，
故此时在单调递增，在的单调递减，---------6
当时，f'x≥0在0,+∞上恒成立，故此时在0,+∞单调递增，---------7
当时，令f'x>0，解得或，令f'x<0，解得，
故此时在单调递增，在的单调递减，---------8
当时，，故在的单调递减，在单调递增，---------9
当时，令f'x>0，解得，令f'x<0，解得，
故此时在的单调递减，在单调递增，---------10
（3），---------11
令，则，---------12
记，则，
当时，，当时，，
故hx在单调递增，在单调递减，
且，当时hx>0恒成立，---------15
要使有两个零点，则由两个交点，
故，解得---------17
19．（17分）
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【知识点】计算古典概型问题的概率、数列新定义
【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义即可证明最小的“漂亮数”为；
（2）反复利用“漂亮数”定义中的恒等式，并通过该恒等式得到新的恒等式，即可证明结论；
（3）先确定的全部可能值，然后计算使得是质数的情况数和总的情况数之比即可.
【详解】（1）若是“漂亮数”，设满足.---------1
则，所以，即.---------2
故，得，从而，所以.---------3
此时，假设，则.
但由于，故的全部可能取值就是，，，，，验证即知它们都不等于，矛盾；
所以.---------4
由即知是“漂亮数”.
所以最小的“漂亮数”是.---------5
（2）若是“漂亮数”，设满足.
则，所以，即.
此时有
.
再由，即知.
而，由“漂亮数”的定义即知是“漂亮数”.---------10
（3）若，设满足
则，所以，即.---------11
而，故，即.
所以，得，即.---------12
由于，故.
而，故，即.---------13
若，则，所以.
假设，则，矛盾.
所以，故，得.
故只可能，从而，得，而，故.
但，矛盾.
所以只可能或.---------14
当时，有，所以.
从而，，得，即.
再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.---------15
当时，有，所以.
从而，，得，即.
再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.---------16
综上，全体满足条件的有，，，，，.
这表明满足条件的全部为.
所以的全部可能值为，其中是质数的有.
从而是质数的概率为.---------17
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应的问题.1
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C
C
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