备战 2025 江苏高考数学模拟卷三

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.513. 2014.105
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【详解】（1）,，
,所以切点为，由点斜式可得，，
所以切线方程为：.（5分）
（2）由题可得，
设，
，
所以当时，，
当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.（13分）
16．（15分）
【详解】（1）由，得(*).
因为，所以，
由正弦定理，得，
代入（*）得，.
由正弦定理，得，
由余弦定理的推论，得.（7分）
（2）由余弦定理，得，即，
所以，当且仅当时等号成立，
故得.又，
两边平方可得，
，
所以，即线段长度的最大值为.（15分）
17．（15分）
【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因为，，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，即两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则

，，，，，，，，设，
所以，，
因为，
所以，即.（8分）
（2）设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，则，
平面的一个法向量为，
设平面与平面DEF所成的二面角为，
则，
当时，取最小值为，此时取得最大值，
所以，
所以平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，
此时点为靠近的的四等分点. （15分）
18．（17分）
【详解】（1）由已知，解得，
所以平均数为.（4分）
（2）这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，所以，，
则分布列为
期望；（10分）
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，若为最大值，则，
即，即，解得，
又，且，则.（17分）
19．（17分）
【详解】（1）因为当l垂直于x轴时，|AB|=26，而直线l:x=±a与Γ相切，则23a2-a2=26，解得a=3，
又椭圆Γ的离心率为63，则椭圆Γ的半焦距c=2，b=a2-c2=1，
所以Γ的方程为x23+y2=1. （5分）
（2）（i）当l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，
由y=kx+mx2+3y2=3消去y得：(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，
由直线l与椭圆Γ相切，得Δ=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-3)=0，整理得m2=3k2+1，
于是圆心O到直线l的距离d=|m|k2+1=3k2+1k2+1=3-2k2+1∈[1,3)，
则△PAB的面积为S△PAB≤12(d+3)⋅|AB|=12(d+3)⋅29-d2=(3-d)(d+3)3，
设f(d)=(3-d)(d+3)3,1≤d<3，求导得f'(d)=2(d+3)2(3-2d)，
当1≤d<32时，f'(d)>0，函数f(d)单调递增，当32因此当d=32时，f(d)取得最大值，此时(S△PAB)max=2734，
当l的斜率不存在时，由（1）知，S≤12×(3+3)×26=32+36，
由(934)2-(2+6)2=11516-43>7-43>0，得2734>32+36，则d=32.
对于线段AB上任意点E，连接OE并延长与圆O交于点F，则F是圆上与E最近的点，
当E为线段AB的中点时，EF取得最大值32，所以d(M,N)=32. （10分）
（ii）因为H(X,Y),H(Y,Z),H(X,Z)均存在，
设点X1,X2∈X,Y1,Y2∈Y,Z1,Z2∈Z，且H(X,Z)=X1Z1,H(Y,Z)=Y1Z2,H(X,Y)=X2Y2，
设Y2是集合Y中到X2的最近点，根据对称性，不妨设H(X,Y)=d(X,Y)=X2Y2，
令点X2到集合Z的最近点为Z3，点Z3到集合Y的最近点为Y3，
因为X1Z1是集合X中所有点到集合Z最近点距离的最大值，则X1Z1≥X2Z3，
因为Y1Z2是集合Y中所有点到集合Z最近点距离的最大值，则Y1Z2≥Y3Z3，
因此H(X,Z)+H(Y,Z)=X1Z1+Y1Z2≥X2Z3+Y3Z3，
而在坐标平面中，X2Z3+Y3Z3≥X2Y3，又点Y2是集合Y中到点X2的最近点，则X2Y3≥X2Y2，
所以H(X,Z)+H(Y,Z)≥H(X,Y). （17分）
【点睛】关键点睛：本题第（2）问涉及新定义问题，反复认真读题，理解最小距离的最大值的含义是解题的关键.
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
D
A
D
A
D
B
9
10
11
AB
BCD
BCD