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专题03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用）
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这是一份专题03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用），文件包含专题03圆锥曲线中的三角形四边形面积问题典型题型归类训练原卷版docx、专题03圆锥曲线中的三角形四边形面积问题典型题型归类训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题
（含定值、最值、范围问题）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc7472" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc7472 \h 1
\l "_Tc17708" 二、典型题型 PAGEREF _Tc17708 \h 3
\l "_Tc757" 题型一：三角形面积（定值问题） PAGEREF _Tc757 \h 3
\l "_Tc27666" 题型二：四边形面积（定值问题） PAGEREF _Tc27666 \h 6
\l "_Tc15936" 题型三：三角形面积（最值，范围问题） PAGEREF _Tc15936 \h 8
\l "_Tc84" 题型四：四边形面积（最值，范围问题） PAGEREF _Tc84 \h 11
\l "_Tc11442" 三、专项训练 PAGEREF _Tc11442 \h 13
一、必备秘籍
1、弦长公式
（最常用公式，使用频率最高）
2、三角形面积问题
直线方程：
3、焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为
注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
4、平行四边形的面积
直线为，直线为
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
5、范围问题
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）（注意分三种情况讨论）
（2）
当且仅当时，等号成立
（3）
当且仅当时等号成立.
（4）
当且仅当时，等号成立
(5)
当且仅当时等号成立.
二、典型题型
题型一：三角形面积（定值问题）
1．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积．
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，．求的面积.
3．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
4．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：的上、下焦点分别为、，P为双曲线C上一点，且满足，求的面积．
5．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
6．（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）.
题型二：四边形面积（定值问题）
1．（2024·天津武清·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（ ）
A．6B．C．D．4
2．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）、是双曲线上关于原点对称的两点，、是左、右焦点．若，则四边形的面积是（ ）
A．B．3C．4D．6
3．（2024·湖北武汉·二模）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为（ ）
A．32B．16C．D．8
4．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知抛物线：，：的焦点分别为，，一条平行于x轴的直线与，分别交于点A，B，若，则四边形的面积为 .
5．（2024·河北·模拟预测）已知，平面内动点满足直线的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的直线交的轨迹于两点，以为邻边作平行四边形（为坐标原点），若恰为轨迹上一点，求四边形的面积.
6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知为椭圆上三个点，为坐标原点，若四边形为矩形，求四边形的面积.
7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知离心率为的双曲线经过点.
(1)求的方程；
(2)如图，点为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值.
题型三：三角形面积（最值，范围问题）
1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B是椭圆C：的左、右顶点，直线l交椭圆C于M，N两点，记AM的斜率为，BN的斜率为，且．
(1)求证：直线l过定点；
(2)记的面积为，的面积为，求的最大值．
2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
(3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值.
3．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）双曲线：，已知为坐标原点，为双曲线上一动点，过作、分别垂直于两条渐近线，垂足为、，设，，
(1)求证：
(2)若双曲线实轴长为4，虚轴长为2，过分别作、平行于渐近线且与渐近线交于、两点，设的面积为，的面积为，求的范围．
4．（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点.
(1)若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围；
(2)当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围.
5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知抛物线经过点，直线与的交点为，且直线与倾斜角互补．
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值．
6．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过F与垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点.
(1)若，求点M的横坐标；
(2)证明：直线过定点；
(3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值.
题型四：四边形面积（最值，范围问题）
1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且，
(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线过定点.
(3)当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围．
2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值．
3．（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.
(1)求双曲线的方程及点的坐标；
(2)过且斜率非负的直线与的左､右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.
4．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．
5．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA，PB与抛物线E分别交于C，D两点，C，D恰好为PA，PB的中点．设AB，CD的中点分别为点M，N．
(1)证明：轴；
(2)若点P为半椭圆上的动点，求四边形ABDC面积的最大值．
三、专项训练
1．（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，直线与双曲线相交且只有一个交点，与椭圆交于M，N两点，则面积的最大值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知是左、右焦点分别为的椭圆上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，是坐标原点，过作的平行线交直线于点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
3．（23-24高二下·安徽滁州·期末）双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．10D．
4．（2024·江西宜春·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则△PAB的面积为（ ）
A．75B．C．D．
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知拋物线，过动点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，则面积的最小值是（ ）
A．6B．9C．12D．18
7．（23-24高三下·山西大同·阶段练习）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，以为直径的圆分别与轴相切于点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于、、、四个点，若该两条直线的斜率分别为、，且，则的面积为 ．
9．（2024·湖南·模拟预测）过椭圆C：（）上的动点P向圆O：引两条切线．设切点分别是A，B，若直线与x轴、y轴分别交于M，N两点，则面积的最小值是 .
10．（2024高三·全国·专题练习）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，若，则的面积为 ．
11．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，且，过双曲线C上一点Q作两渐近线的平行线分别交渐近线于M，N两点，则四边形OMQN的面积为 .
12．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，求与的面积之比的取值范围．
13．（23-24高二下·湖南永州·阶段练习）已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)求面积的最大值.
14．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
15．（2024·陕西西安·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且虚轴长为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
16．（23-24高二下·甘肃天水·开学考试）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线交双曲线同一支于两点，设中点为，求面积的取值范围．
17．（23-24高二下·广东·期末）已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)求面积的取值范围．
18．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形．
(1)求拋物线的标准方程；
(2)若点坐标为，证明：直线过定点；
(3)若，求面积的最小值．
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题
（含定值、最值、范围问题）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc7472" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc7472 \h 1
\l "_Tc17708" 二、典型题型 PAGEREF _Tc17708 \h 3
\l "_Tc757" 题型一：三角形面积（定值问题） PAGEREF _Tc757 \h 3
\l "_Tc27666" 题型二：四边形面积（定值问题） PAGEREF _Tc27666 \h 6
\l "_Tc15936" 题型三：三角形面积（最值，范围问题） PAGEREF _Tc15936 \h 8
\l "_Tc84" 题型四：四边形面积（最值，范围问题） PAGEREF _Tc84 \h 11
\l "_Tc11442" 三、专项训练 PAGEREF _Tc11442 \h 13
一、必备秘籍
1、弦长公式
（最常用公式，使用频率最高）
2、三角形面积问题
直线方程：
3、焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为
注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
4、平行四边形的面积
直线为，直线为
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
5、范围问题
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）（注意分三种情况讨论）
（2）
当且仅当时，等号成立
（3）
当且仅当时等号成立.
（4）
当且仅当时，等号成立
(5)
当且仅当时等号成立.
二、典型题型
题型一：三角形面积（定值问题）
1．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积．
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，．求的面积.
3．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
4．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：的上、下焦点分别为、，P为双曲线C上一点，且满足，求的面积．
5．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
6．（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）.
题型二：四边形面积（定值问题）
1．（2024·天津武清·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（ ）
A．6B．C．D．4
2．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）、是双曲线上关于原点对称的两点，、是左、右焦点．若，则四边形的面积是（ ）
A．B．3C．4D．6
3．（2024·湖北武汉·二模）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为（ ）
A．32B．16C．D．8
4．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知抛物线：，：的焦点分别为，，一条平行于x轴的直线与，分别交于点A，B，若，则四边形的面积为 .
5．（2024·河北·模拟预测）已知，平面内动点满足直线的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的直线交的轨迹于两点，以为邻边作平行四边形（为坐标原点），若恰为轨迹上一点，求四边形的面积.
6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知为椭圆上三个点，为坐标原点，若四边形为矩形，求四边形的面积.
7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知离心率为的双曲线经过点.
(1)求的方程；
(2)如图，点为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值.
题型三：三角形面积（最值，范围问题）
1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B是椭圆C：的左、右顶点，直线l交椭圆C于M，N两点，记AM的斜率为，BN的斜率为，且．
(1)求证：直线l过定点；
(2)记的面积为，的面积为，求的最大值．
2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
(3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值.
3．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）双曲线：，已知为坐标原点，为双曲线上一动点，过作、分别垂直于两条渐近线，垂足为、，设，，
(1)求证：
(2)若双曲线实轴长为4，虚轴长为2，过分别作、平行于渐近线且与渐近线交于、两点，设的面积为，的面积为，求的范围．
4．（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点.
(1)若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围；
(2)当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围.
5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知抛物线经过点，直线与的交点为，且直线与倾斜角互补．
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值．
6．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过F与垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点.
(1)若，求点M的横坐标；
(2)证明：直线过定点；
(3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值.
题型四：四边形面积（最值，范围问题）
1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且，
(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线过定点.
(3)当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围．
2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值．
3．（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.
(1)求双曲线的方程及点的坐标；
(2)过且斜率非负的直线与的左､右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.
4．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．
5．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA，PB与抛物线E分别交于C，D两点，C，D恰好为PA，PB的中点．设AB，CD的中点分别为点M，N．
(1)证明：轴；
(2)若点P为半椭圆上的动点，求四边形ABDC面积的最大值．
三、专项训练
1．（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，直线与双曲线相交且只有一个交点，与椭圆交于M，N两点，则面积的最大值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知是左、右焦点分别为的椭圆上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，是坐标原点，过作的平行线交直线于点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
3．（23-24高二下·安徽滁州·期末）双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．10D．
4．（2024·江西宜春·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则△PAB的面积为（ ）
A．75B．C．D．
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知拋物线，过动点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，则面积的最小值是（ ）
A．6B．9C．12D．18
7．（23-24高三下·山西大同·阶段练习）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，以为直径的圆分别与轴相切于点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于、、、四个点，若该两条直线的斜率分别为、，且，则的面积为 ．
9．（2024·湖南·模拟预测）过椭圆C：（）上的动点P向圆O：引两条切线．设切点分别是A，B，若直线与x轴、y轴分别交于M，N两点，则面积的最小值是 .
10．（2024高三·全国·专题练习）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，若，则的面积为 ．
11．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，且，过双曲线C上一点Q作两渐近线的平行线分别交渐近线于M，N两点，则四边形OMQN的面积为 .
12．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，求与的面积之比的取值范围．
13．（23-24高二下·湖南永州·阶段练习）已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)求面积的最大值.
14．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
15．（2024·陕西西安·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且虚轴长为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
16．（23-24高二下·甘肃天水·开学考试）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线交双曲线同一支于两点，设中点为，求面积的取值范围．
17．（23-24高二下·广东·期末）已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)求面积的取值范围．
18．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形．
(1)求拋物线的标准方程；
(2)若点坐标为，证明：直线过定点；
(3)若，求面积的最小值．
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