福建省福州市部分学校教学联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

这是一份福建省福州市部分学校教学联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题，文件包含高二数学评分细则docx、高二数学评分细则pdf、高二数学docx、高二数学pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。

考试时间：2024年11月13日 完卷时间：120分钟 满 分：150分
第I卷（选择题）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(2,5,7)关于xOy平面的对称点B的坐标为
A．(2,5,−7)B．(2,−5,7)C．(−2,5,7)D．(−2,−5,7)
2．已知x,y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=2,−2,2，且a⊥c，b→// c，则x+y的值为
A．−1B．1C．2D．3
3．已知向量a,b,c是空间的一个基底，向量a−b,a+b,c是空间的另一个基底，向量p在基底a,b,c下的坐标为(4,2,−1)，则向量p在基底a−b,a+b,c下的坐标为
A．(1,3,−1)B．(3,1,−1)C．(1,3,1)D．(−1,−3,−1)
4．“a=2”是“直线l1:2ax+4y+3=0与直线l2:(a−1)2x+y−5=0平行”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知点M(3，0)关于直线x−y−1=0的对称点为P，经过点P作直线l，若直线l与连接A(9，1)，B(5，8)两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为
A．[18，32] B．(−∞，−18) C．[−18，32] D．(−∞，−18]∪[32，+∞)
6．已知圆C1：(x−1)2+y2=1，圆C2：(x−a)2+(y−b)2=4，其中a,b∈R，若两圆外切，则b−3a−5的取值范围为
A．−247,0 B．−125,0 C．0,247 D．0,125
7．将边长为22的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，则下列结论不正确的是
A．AC⊥BDB．△ACD是等边三角形
C．点B与平面ACD的距离为23D．AB与CD所成的角为60°
8．已知点A−2,0，B2,0，点P为直线l:2x+y−6=0上动点，当∠APB最大值，点P的横坐标为
A．5B．4C．3D．2
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。
9．已知圆M：x2+y+12=4和圆N：x2+y2−4x+3=0相交于A，B两点，下列结论正确的是
A．直线AB的方程为y=−2x+2
B．若点P为圆N上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为55+1
C．线段AB的长为455
D．直线4x−3y−13=0是圆M与圆N的一条公切线
10．已知椭圆C:x24+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，则
A．△F1PF2的周长为4+22
B．存在点P，使得∠F1PF2=90∘
C．若∠F1PF2=60∘，则△F1PF2的面积为23
D．使得△F1PF2为等腰三角形的点P共有4个
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、M、N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为
A．P在BC中点时，平面PEF⊥平面GMN
B．异面直线EF、GN所成角的余弦值为14
C．E、F、G、M、N在同一个球面上
D．A1P=tA1A+A1M−2tA1B1，则P点轨迹长度为52
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知△ABC的三个顶点A0,0，B0,5，C2,0那么三角形外接圆的方程是 .
13．椭圆C:x22+y2b2=1的左､右焦点分别为F1､F2，点P1,22在C上，直线l过左焦点F1，且与椭圆C相交于A,B两点，若直线l的倾斜角为60∘，则△ABF2的面积等于 .
14．已知椭圆的标准方程为x2a2+y2=1a>1，上顶点为A，左顶点为B，设点P为椭圆上一点，△PAB的面积的最大值为2+1，若已知点M、N为椭圆的左、右焦点，点Q为椭圆上任意一点，则1QN+4QM的最小值为 .（答案用分数形式表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知△ABC的顶点A(1,1)，边AC上的高BH所在直线的方程为x−y+8=0，边AB上的中线CM所在直线的方程为5x−3y−10=0.
(1)求直线AC的方程及点C的坐标；
(2)求△ABC的面积.
16．（15分）
如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，设AB=a，AD=b，AA1=c
(1)试用a，b，c表示向量AC、BD1；
(2)若∠A1AD=∠A1AB=120°，求向量AC与BD1所成的角的余弦值.
17．（15分）
如图，已知某市穿城公路MON自西向东到达市中心O后转向正北方向，∠MON=π2，在公路MO段上距离市中心O点53km处有一古建筑C（视为点），现设立一个以C为圆心，Rkm为半径的圆形保护区E，并准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设出入口A，在ON上设出入口B，满足∠BAO=π3且直线AB与圆E相切.
(1)若将出入口A设计在距离中心O点103处，求R；
(2)若点B到该圆上任意一点的距离均不少于20km，
则如何设置出入口B，才能使该圆形保护区的半径R最小.
18．（17分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC，AB=12CD=AD=1,M为棱PC的中点．
(1)证明：BM//平面PAD；
(2)若PC=5,PD=1，
（i）求平面PDM与平面BDM的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是269？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
19．（17分）
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为12．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且DE=3．
(1)求C的方程；
(2)若M，N是C上任意两点
①若点M1,32，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设△MA1G和△NA2G的面积分别为S1，S2，若2S1−2S2=3，求线段MN的长度；
②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆， 求证：线段MN的长度不大于14．