还剩3页未读，
继续阅读
天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷
展开
这是一份天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷，共6页。试卷主要包含了69
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.
答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上、答卷时，考生务必将Ⅰ答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（45分）
注意事项：
1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,5}，集合B={2,3,5}，则(∁UB)∩A=（ ）
A．{2}B．{2,3}C．{1}D．{1,4}
2．若x,y∈R，则“2x-2y>0”是“ln(x-y)>0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若a=(12)13，b=lg132，c=lg123，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．b4．经过A(-1,5),B(5,5),C(7,-1)三点的圆的标准方程为（ ）
A．(x-2)2+(y-23)2=25081B．(x-2)2+(y-23)2=2509
C．(x-23)2+(y-2)2=25081D．(x-23)2+(y-2)2=2509
5．已知α为第一象限角，β为第四象限角，tanα-tanβ=3,tanαtanβ=-2，则sin(α-β)=（ ）
A．1010B．-1010C．31010D．-31010
6．函数f(x)=x3+sinxex+e-x的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．函数f(x)=23sin2(ωx)+sin(2ωx+2π3)，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法中错误的个数是（ ）
①ω=1；
②函数f(x)图象关于点(π3,3)对称；
③函数f(x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为5π12；
④若x∈[0,π2]，则函数f(x)的最大值为3+1.
A．1B．2C．3D．4
8．已知数列{an}满足an+1A．48B．50C．52D．54
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=1，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（ ）
A．116B．113C．136D．133
第Ⅱ卷 非选择题（105分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
10．若复数a+3i1+2i是纯虚数，则实数a的值是________.
11．在(2x-1x)5的展开式中，x项的系数为________.（用数字作答）
12．某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题. 第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得-20分. 规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功，若某位选手回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响，则该选手仅回答正确两个问题的概率是________；该选手闯关成功的概率是________.
13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆. 若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为3的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为________.
【参考公式】V台体=13(S'+S'S+S)h，S'，S分别为上、下底面面积，h为台体高.
14．如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，且AP=25AC，则DP⋅BP=____________，若点M为线段BD（含端点）上的动点，则MP⋅MB的最小值为________.
15．设a∈R，函数f(x)=cs(2πx-2πa),x三、解答题：本题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题14分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知bsinA=acs(B+π6).
（1）求角B的大小；
（2）设a=2,c=33,
（ⅰ）求b的值；
（ⅱ）求sin(2C-B)的值.
17．（本小题15分）
如图，三棱台ABC-A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AB=2A1B1=4；AA1平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，A1B⊥AC1.
（1）证明：CC1//平面A1MN；
（2）求直线A1D与平面A1MN所成角的正弦值；
（3）求点D到平面A1MN的距离.
18．（本小题15分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*). 数列{bn}为等比数列，且b2-a2=1，a5-b3=1.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式：
（2）求∑nk=1akbk；
（3）求证：∑nk=1k2ak⋅ak+1=n(n+1)2an+1.
19．（本小题15分）
已知数列{an}的前n项和公式为Sn=3n2-2n，数列{bn}满足b1=a1.
（1）求数列{an}的通项公式和i=2n-12n-1ai；
（2）若an=2n(bn+1-bn)，求数列{bn}的通项公式；
（3）若数列{cn}满足cn=n,n≠2knlg2n+1,n=2k(k∈N*)，求i=12nci.
20．（本小题16分）
设函数f(x)=x+kln(x+1)(k≠0)，直线l是曲线y=f(x)在点(t,f(t))(t>0)处的切线.
（1）求f(x)的单调区间；
（2）求证：l不经过点(0,0)；
（3）当k=1时，设点A(t,f(t))(t>0),C(0,f(t)),O(0,0)，B为l与y轴的交点，S△ACO与S△ABO分别表示△ACO与△ABO面积. 是否存在点A使得S△ACO=6S△ABO成立？若存在，这样的点A有几个？
（参考数据：0.69【参考答案】
天津市第一中学滨海学校2024-2025-1学期
第Ⅰ卷 选择题（45分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．D 9．B
第Ⅱ卷 非选择题（105分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
10．-6
11．-80
12．49； 12
13．17
14．-1225； -18
15．(2,94]∪(52,114]
三、解答题：本题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（1） 解：因为侧棱AA1⊥底面ABC,△ABC为等边三角形，
所以过点A作AH⊥AC，则以A为坐标原点，AC,AH,AA1的正方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，…………1分
设AA1长为m(m>0)，则A(0,0,0),A1(0,0,m),B(2,23,0),C1(2,0,m)
A1B=(2,23,-m),AC1=(2,0,m),
因为A1B⊥AC1，所以A1B⋅AC1=0，则有4-m2=0,m=2.…………3分
所以A(0,0,0),B(2,23,0),C(4,0,0),C1(2,0,2),A1(0,0,2),M(1,3,0),N(2,0,0).
则A1M=(1,3,-2),A1N=(2,0,-2)，设平面A1MN的法向量为n1=(x,y,z),
则{n1⋅A1M=x+3y-2z=0,n1⋅A1N=2x-2z=0.，令x=1，则n1=(1,33,1).…………5分
又因为CC1=(-2,0,2).
所以CC1⋅n1=-2+0+2=0，所以CG1⊥n1，…………6分
又因为CC1∉平面A1MN，所以CC1//平面A1MN.…………7分
（2） 因为D为BC的中点，所以CD=2，则D(3,3,0)，
有A1D=(3,3,-2)，设直线A1D与平面A1MN所成角为θ，…………8分
又平面A1MN的法向量n1=(1,33,1)，
所以sinθ=|cs⟨A1D,n1⟩|=|A1D⋅n1||A1D||n1|=24×73=2114，…………11分
则直线A1D与平面A1MN所成角的正弦值为2114.…………12分
（3） 易知DN=(-1,-3,0)，平面A1MN的法向量为n1=(1,33,1)，…………13分
所以点D到平面A1MN的距离为|DN⋅n1||n1|=2217.…………15分
（2） 解：anbn=2n-12n ，…………6分
∑nk=1akbk=12+122+12312+322+523+⋯+2n-12n③，
12∑nk=1akbk=122+323+524+⋯+2n-32n+2n-12n+1④，…………7分
③-④得12∑nk=1akbk=12+12+122+123+⋯+12n-1-2n-12n+1…………8分
=12+12-12n1-12-2n-12n+1…………9分
=32-22n-2n-12n+1=32-2n+32n+1，
∴∑nk=1akbk=3-2n+32n.…………10分
（3） 证明：n2anan+1=n2(2n-1)(2n+1)…………11分
=n24n2-1=14(1+14n2-1)…………12分
而14n2-1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)…………13分
∴∑nk=114k2-1=12(1-13+13-15+⋯+12n-1-12n+1)
=12(1-12n+1)=n2n+1，…………14分
∴∑nk=1k2akak+1=n4+14×n2n+1=(2n+2)n4(2n+1)=n(n+1)2an+1.…………15分
19．（1） 解：由Sn=3n2-2n，可得a1=S1=3-2=1，…………1分
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2+2(n-1)=6n-5，对n=1也成立，
所以an=6n-5；…………3分
因a2n-1=6⋅2n-1-5=3⋅2n-5，a2n-1=6⋅(2n-1)-5=6⋅2n-11，故
i=2n+12n-1ai=(3⋅2n-5+6⋅2n-11)×2n-12=9⋅22n-2-8⋅2n-1…………6分
（2） b1=a1=1，
an=2n(bn+1-bn)=6n-5,
即有bn+1-bn=(6n-5)⋅(12)n，…………7分
则bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=1+1×12+7×14+(6n-11)⋅(12)n-1，12bn=12+1×14+7×18+⋯+(6n-11)⋅(12)n,
上面两式相减可得12bn=1+6(14+18+…+12n-1)-(6n-11)⋅(12)n…………8分
=1+6×14(1-12n-2)1-12-(6n-11)⋅(12)n=4-6n+12n，…………9分
可得bn=8-6n+12n-1.…………10分
（3） 因为i=12nci=i=12ni-∑ni=12i+∑ni=1(i+1)⋅2i=2n-1+22n-1+2n+1-2+n⋅2n+1,
所以i=12nci=22n-1+(4n-3)⋅2n-1+2.…………15分
20．（1） 解：由题可得f'(x)=1+kx+1,x>-1,(k≠0)，…………1分
①当k>0时，有f'(x)>0，则f(x)在(-1,+∞)上单调递增；…………2分
②当k<0时，令f'(x)>0，得x>-k-1，即f(x)在(-k-1,+∞)上单调递增，
令f'(x)<0，得-1综上，当k>0时，f(x)在(-1,+∞)上单调递增；
当k<0时，f(x)在(-1,-k-1)上单调递减，在(-k-1,+∞)上单调递增.…………4分
（2） 由f'(x)=1+kx+1，切线l的斜率为1+k1+t，…………5分
则切线l方程为y-f(t)=(1+k1+t)(x-t)(t>0)，…………6分
假设直线l过点(0,0)，将(0,0)代入切线方程得-f(t)=-t(1+k1+t)，则f(t)=t(1+k1+t)，
即t+Kln(1+t)=t(1+k1+t)，整理得ln(1+t)=t1+t,ln(1+t)-t1+t=0，…………7分
令F(t)=ln(1+t)-t1+t，则F(t)在(0,+∞)上存在零点，
∴F'(t)=1t+1-1(1+t)2=t(1+t)2>0，…………8分
所以F(t)在(0,+∞)上单调递增，则F(t)>F(0)=0，
所以函数F(t)在(0,+∞)上无零点，这与假设矛盾，所以直线l不过点(0,0).…………9分
（3） 当k=1时，f(x)=x+ln(1+x)，
则f'(x)=1+11+x=x+21+x>0,x>-1，…………10分
S△ACO=12tf(t)，设l与y轴交点B为(0,q)，
当t>0时，若q<0，则此时l与f(x)必有交点，与切线定义矛盾. …………11分
由（2）知，q≠0，则q>0，
则切线的方程为y-t-ln(t+1)=(1+11+t)(x-t)，
令x=0，则y=q=ln(1+t)-tt+1，…………12分
∵S△ACO=6S△ABO，则tf(t)=6t[ln(1+t)-t1+t]，
∴5ln(1+t)-t2+7t1+t=0，设h(t)=5ln(1+t)-t2+7t1+t,(t>0)，
所以满足条件的A有几个即h(t)有几个零点.…………13分
由h'(t)=t2+3t-2(1+t)2=(t-1)(t-2)(1+t)2,t>0，
令h'(t)>0，得1令h'(t)<0，得02，即h(t)在(0,1)和(2,+∞)上单调递减，…………15分
又h(0)=0,h(1)=5ln2-4<5×0.7-4=-0.5<0,h(2)=5ln3-6<5×1.1-6<0.
所以函数h(t)在(0,+∞)上没有零点，即不存在点A使得S△ACO=6S△ABO成立.…………16分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.
答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上、答卷时，考生务必将Ⅰ答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（45分）
注意事项：
1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,5}，集合B={2,3,5}，则(∁UB)∩A=（ ）
A．{2}B．{2,3}C．{1}D．{1,4}
2．若x,y∈R，则“2x-2y>0”是“ln(x-y)>0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若a=(12)13，b=lg132，c=lg123，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．b
A．(x-2)2+(y-23)2=25081B．(x-2)2+(y-23)2=2509
C．(x-23)2+(y-2)2=25081D．(x-23)2+(y-2)2=2509
5．已知α为第一象限角，β为第四象限角，tanα-tanβ=3,tanαtanβ=-2，则sin(α-β)=（ ）
A．1010B．-1010C．31010D．-31010
6．函数f(x)=x3+sinxex+e-x的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．函数f(x)=23sin2(ωx)+sin(2ωx+2π3)，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法中错误的个数是（ ）
①ω=1；
②函数f(x)图象关于点(π3,3)对称；
③函数f(x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为5π12；
④若x∈[0,π2]，则函数f(x)的最大值为3+1.
A．1B．2C．3D．4
8．已知数列{an}满足an+1
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=1，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（ ）
A．116B．113C．136D．133
第Ⅱ卷 非选择题（105分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
10．若复数a+3i1+2i是纯虚数，则实数a的值是________.
11．在(2x-1x)5的展开式中，x项的系数为________.（用数字作答）
12．某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题. 第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得-20分. 规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功，若某位选手回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响，则该选手仅回答正确两个问题的概率是________；该选手闯关成功的概率是________.
13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆. 若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为3的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为________.
【参考公式】V台体=13(S'+S'S+S)h，S'，S分别为上、下底面面积，h为台体高.
14．如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，且AP=25AC，则DP⋅BP=____________，若点M为线段BD（含端点）上的动点，则MP⋅MB的最小值为________.
15．设a∈R，函数f(x)=cs(2πx-2πa),x
16．（本小题14分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知bsinA=acs(B+π6).
（1）求角B的大小；
（2）设a=2,c=33,
（ⅰ）求b的值；
（ⅱ）求sin(2C-B)的值.
17．（本小题15分）
如图，三棱台ABC-A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AB=2A1B1=4；AA1平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，A1B⊥AC1.
（1）证明：CC1//平面A1MN；
（2）求直线A1D与平面A1MN所成角的正弦值；
（3）求点D到平面A1MN的距离.
18．（本小题15分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*). 数列{bn}为等比数列，且b2-a2=1，a5-b3=1.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式：
（2）求∑nk=1akbk；
（3）求证：∑nk=1k2ak⋅ak+1=n(n+1)2an+1.
19．（本小题15分）
已知数列{an}的前n项和公式为Sn=3n2-2n，数列{bn}满足b1=a1.
（1）求数列{an}的通项公式和i=2n-12n-1ai；
（2）若an=2n(bn+1-bn)，求数列{bn}的通项公式；
（3）若数列{cn}满足cn=n,n≠2knlg2n+1,n=2k(k∈N*)，求i=12nci.
20．（本小题16分）
设函数f(x)=x+kln(x+1)(k≠0)，直线l是曲线y=f(x)在点(t,f(t))(t>0)处的切线.
（1）求f(x)的单调区间；
（2）求证：l不经过点(0,0)；
（3）当k=1时，设点A(t,f(t))(t>0),C(0,f(t)),O(0,0)，B为l与y轴的交点，S△ACO与S△ABO分别表示△ACO与△ABO面积. 是否存在点A使得S△ACO=6S△ABO成立？若存在，这样的点A有几个？
（参考数据：0.69
天津市第一中学滨海学校2024-2025-1学期
第Ⅰ卷 选择题（45分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．D 9．B
第Ⅱ卷 非选择题（105分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
10．-6
11．-80
12．49； 12
13．17
14．-1225； -18
15．(2,94]∪(52,114]
三、解答题：本题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（1） 解：因为侧棱AA1⊥底面ABC,△ABC为等边三角形，
所以过点A作AH⊥AC，则以A为坐标原点，AC,AH,AA1的正方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，…………1分
设AA1长为m(m>0)，则A(0,0,0),A1(0,0,m),B(2,23,0),C1(2,0,m)
A1B=(2,23,-m),AC1=(2,0,m),
因为A1B⊥AC1，所以A1B⋅AC1=0，则有4-m2=0,m=2.…………3分
所以A(0,0,0),B(2,23,0),C(4,0,0),C1(2,0,2),A1(0,0,2),M(1,3,0),N(2,0,0).
则A1M=(1,3,-2),A1N=(2,0,-2)，设平面A1MN的法向量为n1=(x,y,z),
则{n1⋅A1M=x+3y-2z=0,n1⋅A1N=2x-2z=0.，令x=1，则n1=(1,33,1).…………5分
又因为CC1=(-2,0,2).
所以CC1⋅n1=-2+0+2=0，所以CG1⊥n1，…………6分
又因为CC1∉平面A1MN，所以CC1//平面A1MN.…………7分
（2） 因为D为BC的中点，所以CD=2，则D(3,3,0)，
有A1D=(3,3,-2)，设直线A1D与平面A1MN所成角为θ，…………8分
又平面A1MN的法向量n1=(1,33,1)，
所以sinθ=|cs⟨A1D,n1⟩|=|A1D⋅n1||A1D||n1|=24×73=2114，…………11分
则直线A1D与平面A1MN所成角的正弦值为2114.…………12分
（3） 易知DN=(-1,-3,0)，平面A1MN的法向量为n1=(1,33,1)，…………13分
所以点D到平面A1MN的距离为|DN⋅n1||n1|=2217.…………15分
（2） 解：anbn=2n-12n ，…………6分
∑nk=1akbk=12+122+12312+322+523+⋯+2n-12n③，
12∑nk=1akbk=122+323+524+⋯+2n-32n+2n-12n+1④，…………7分
③-④得12∑nk=1akbk=12+12+122+123+⋯+12n-1-2n-12n+1…………8分
=12+12-12n1-12-2n-12n+1…………9分
=32-22n-2n-12n+1=32-2n+32n+1，
∴∑nk=1akbk=3-2n+32n.…………10分
（3） 证明：n2anan+1=n2(2n-1)(2n+1)…………11分
=n24n2-1=14(1+14n2-1)…………12分
而14n2-1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)…………13分
∴∑nk=114k2-1=12(1-13+13-15+⋯+12n-1-12n+1)
=12(1-12n+1)=n2n+1，…………14分
∴∑nk=1k2akak+1=n4+14×n2n+1=(2n+2)n4(2n+1)=n(n+1)2an+1.…………15分
19．（1） 解：由Sn=3n2-2n，可得a1=S1=3-2=1，…………1分
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2+2(n-1)=6n-5，对n=1也成立，
所以an=6n-5；…………3分
因a2n-1=6⋅2n-1-5=3⋅2n-5，a2n-1=6⋅(2n-1)-5=6⋅2n-11，故
i=2n+12n-1ai=(3⋅2n-5+6⋅2n-11)×2n-12=9⋅22n-2-8⋅2n-1…………6分
（2） b1=a1=1，
an=2n(bn+1-bn)=6n-5,
即有bn+1-bn=(6n-5)⋅(12)n，…………7分
则bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=1+1×12+7×14+(6n-11)⋅(12)n-1，12bn=12+1×14+7×18+⋯+(6n-11)⋅(12)n,
上面两式相减可得12bn=1+6(14+18+…+12n-1)-(6n-11)⋅(12)n…………8分
=1+6×14(1-12n-2)1-12-(6n-11)⋅(12)n=4-6n+12n，…………9分
可得bn=8-6n+12n-1.…………10分
（3） 因为i=12nci=i=12ni-∑ni=12i+∑ni=1(i+1)⋅2i=2n-1+22n-1+2n+1-2+n⋅2n+1,
所以i=12nci=22n-1+(4n-3)⋅2n-1+2.…………15分
20．（1） 解：由题可得f'(x)=1+kx+1,x>-1,(k≠0)，…………1分
①当k>0时，有f'(x)>0，则f(x)在(-1,+∞)上单调递增；…………2分
②当k<0时，令f'(x)>0，得x>-k-1，即f(x)在(-k-1,+∞)上单调递增，
令f'(x)<0，得-1
当k<0时，f(x)在(-1,-k-1)上单调递减，在(-k-1,+∞)上单调递增.…………4分
（2） 由f'(x)=1+kx+1，切线l的斜率为1+k1+t，…………5分
则切线l方程为y-f(t)=(1+k1+t)(x-t)(t>0)，…………6分
假设直线l过点(0,0)，将(0,0)代入切线方程得-f(t)=-t(1+k1+t)，则f(t)=t(1+k1+t)，
即t+Kln(1+t)=t(1+k1+t)，整理得ln(1+t)=t1+t,ln(1+t)-t1+t=0，…………7分
令F(t)=ln(1+t)-t1+t，则F(t)在(0,+∞)上存在零点，
∴F'(t)=1t+1-1(1+t)2=t(1+t)2>0，…………8分
所以F(t)在(0,+∞)上单调递增，则F(t)>F(0)=0，
所以函数F(t)在(0,+∞)上无零点，这与假设矛盾，所以直线l不过点(0,0).…………9分
（3） 当k=1时，f(x)=x+ln(1+x)，
则f'(x)=1+11+x=x+21+x>0,x>-1，…………10分
S△ACO=12tf(t)，设l与y轴交点B为(0,q)，
当t>0时，若q<0，则此时l与f(x)必有交点，与切线定义矛盾. …………11分
由（2）知，q≠0，则q>0，
则切线的方程为y-t-ln(t+1)=(1+11+t)(x-t)，
令x=0，则y=q=ln(1+t)-tt+1，…………12分
∵S△ACO=6S△ABO，则tf(t)=6t[ln(1+t)-t1+t]，
∴5ln(1+t)-t2+7t1+t=0，设h(t)=5ln(1+t)-t2+7t1+t,(t>0)，
所以满足条件的A有几个即h(t)有几个零点.…………13分
由h'(t)=t2+3t-2(1+t)2=(t-1)(t-2)(1+t)2,t>0，
令h'(t)>0，得1
又h(0)=0,h(1)=5ln2-4<5×0.7-4=-0.5<0,h(2)=5ln3-6<5×1.1-6<0.
所以函数h(t)在(0,+∞)上没有零点，即不存在点A使得S△ACO=6S△ABO成立.…………16分
相关试卷
天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷： 这是一份天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷，共8页。
天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(无答案)： 这是一份天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(无答案)，共4页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届天津市滨海新区实验中学滨海学校高三上学期期中质量调查数学试题含答案： 这是一份2024届天津市滨海新区实验中学滨海学校高三上学期期中质量调查数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
