陕西省汉中市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份陕西省汉中市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学试题（卷）
试题总分:120分 考试时间:120分
一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意）
1．若是方程的一个根，则此方程的另一个根是( )
A．-1B．0C．1D．2
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．从2，3,4，5中任意选两个数，记作和，那么点（，）在函数图象上的概率是( )
A．B．C．D．
4．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．如图，点是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点．已知，，则的长为（ ）
A．6B．12C．9D．4.5
6．如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（ ）．
A．B．C．D．
7．如图，正方形和矩形的面积相等，且四边形也为正方形，点在上，与交于点．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，．若，则图中阴影部分的周长为（ ）

A．25B．26C．28D．30
8．如图，矩形的对角线交于点，，，为等边三角形，点是直线上一点，连接，则线段的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
9．已知线段，，则a，b的比例中项线段长是 .
10．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则口袋中白球可能有 个．
11．我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．”意思是一块田是矩形，矩形面积为，长比宽多，如果设宽为，则列出的方程为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点D，且，反比例函数的图象经过点A，若，则反比例函数表达式为 ．
13．如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．解方程：
15．关于的一元二次方程的两实数根分别为、，且，求的值．
16．如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

17．如图，在菱形中，点E，F分别在边，上，，连接，．
求证：．

18．已知关x的一元二次方程有实数根．求实数a的取值范围．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：

(1)画出关于轴成轴对称的，并直接写出点的坐标；
(2)以原点为位似中心，在原点的另一侧画出的位似三角形，使它与的相似比为，并写出点的坐标．
20．如图，在和中，，．若，，的周长为9，求的周长．

21．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点，
(1)求这两个函数的关系式；
(2)观察图象，写出使得成立的自变量x的取值范围．
22．从2021年起，江苏省高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是________；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2中选化学、生物的概率．
23．在“乡村振兴”工作中，某养殖场加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，2021年10月份和12月份的产蛋量分别是4万千克与4.84万千克，求养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率．
24．如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下；先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．
(1)根据题意画图，找出路灯的位置．
(2)求路灯的高和影长．
25．某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双250元，如果一次购买超过8双，那么每多买一双，所购运动鞋的单价降低10元，但单价不能低于160元．
（1）当小明买这种运动鞋10双时，运动鞋的单价为 元：
（2）如果一位顾客购买这种运动鞋支付了2700元，这名顾客买了多少双鞋？
26．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
(1)【观察与猜想】如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为________；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，．求的值：
(3)【拓展延伸】如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，，求的长；
参考答案与解析
1．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，根据，即可求解．
【详解】解：设另一个根为，依题意，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
2．B
【分析】根据比例的性质及分式的性质化简可得结果.
【详解】解：
故选B
【点睛】本题考查了比例的性质及分式的化简求值，把转化为再整体代入是解题关键.
3．D
【详解】试题分析：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数图象上的有（3，4），（4，3）；
∴点（a，b）在函数图象上的概率是：=．
故选D．
考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．
4．B
【分析】根据俯视图可知这个几何体，底面有5个正方体，根据主视图及左视图，可知上面有1个正方体，即可得出答案．
【详解】解：根据俯视图可知这个几何体，底面有5个正方体，根据主视图及左视图，可知上面有1个正方体，
搭成这个几何体的小正方体的个数是6，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图还原几何体，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
5．C
【分析】由，，可得，，根据菱形的性质，可得，，列出比例关系，可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出，从而得出．又因为，故，，易得解．
【详解】解：根据菱形的对角相等得．
，
．
根据折叠得．
，
，
．
．
故选：A．
【点睛】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系．在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质．注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等．
7．D
【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
根据题意得，，故可得，经过变形得，从而求得，进一步可求得阴影部分的周长．
【详解】解：∵四边形是正方形，
；
，
，
即，
，
或（舍去）
∵四边形是正方形，
，
∴阴影部分的周长是，
故选：D．
8．D
【分析】连接交于，当时，线段的值最小，根据矩形的性质得，，，，进而可得，再根据等边三角形的性质得，，再根据垂直平分线的判定及性质得，，在中利用勾股定理得，进而可得，再根据含角的直角三角形的特征即可求解．
【详解】解：连接交于，如图所示：
当时，线段的值最小，
四边形是矩形，且，
，，，，
，
是等边三角形，，
，，
是的垂直平分线，
，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的特征、勾股定理、等边三角形的性质、垂直平分线的判定及性质、矩形的性质，熟练掌握相关判定及性质，找准的最小值时的位置是解题的关键．
9．4
【分析】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，，求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴，
即，
∴（负数舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么b叫做a与c的比例中项．
10．16
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近，估计摸到红球的概率为，设袋中白球的个数为x，通过列方程进而求出白球个数即可．
【详解】解：设袋中白球的个数为x，根据题意，得：
，
解得，
经检验是分式方程的解，
所以口袋中白球可能有16个，
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．
11．
【分析】如果设矩形田地的宽为x m,那么长就应该是（x+12）m,根据面积为864，即可得出方程．
【详解】解：长比宽多，宽为，
长为．
又矩形田的面积为，
根据题意可列出的方程为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程和数学常识，掌握好面积公式（矩形面积=矩形的长×矩形的宽）即可进行正确解答．
12．
【分析】过点A作x轴的垂线与x轴交于点C，证明，推出，由此即可求得答案．
【详解】解：设 ，如图，过点A作x轴的垂线与x轴交于点C，
则：，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在的图象上，
∴，
∴反比例函数表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线构造．
13．
【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接、、，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
当时，最小，
∴的最小值为，
故答案为：．
14．
【分析】先去掉括号整理成一般式，再分解因式即可求解.
【详解】，
，
，
x+1=0或x-5=0，
解得
【点睛】此题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的各种方法是解答此题的关键.
15．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的两实数根分别为、，
，
，
，
，
把代入得：，
解得：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．
16．见解析
【分析】作的平分线交于点，点即为所求，
【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为所求，

理由如下，
∵在中，，，
∴
∵是的平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
17．见解析
【分析】如图，连接，证明，即可得．
【详解】证明：如图，连接．

∵四边形是菱形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
18．
【分析】一元二次方程有实数根，则需要满足，计算求解即可．
【详解】解：有实数根，
根据题意得，
．
【点睛】本题主要考查判别式与根的数量的关系，能够熟练根据题意列不等式求解是解题关键．
19．(1)见解析，
(2)见解析，
【分析】本题考查了画轴对称图形，位似图形；
（1）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，得出，即为所求，根据坐标系写出点的坐标；；
（2）根据位似图形的性质，在原点的另一侧画出的位似三角形，且位似比为，根据坐标系写出点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，；

（2）解：如图所示，即为所求，．

20．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可．
【详解】解∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵的周长为9，
∴的周长为：．
21．(1)，；
(2)或．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点，待定系数法．
（1）根据待定系数法即可解决问题；
（2）根据时，反比例函数图象在一次函数图象上方，写出自变量取值范围即可．
【详解】（1）解：把点代入，得到，
∴，
把点代入得到，，
把和点代入得到
，解得，
∴；
（2）解：由图象可知得成立的自变量x的取值范围：或．
22．（1）；（2）图表见解析，
【分析】(1)小丽在“2”中已经选择了地理，还需要从剩下三科中进行选择一科生物，根据概率公式计算即可．
（2）小明在“1”中已经选择了物理，可直接根据画树状图判断在4科中选择化学，生物的可能情况有2种，再根据一共有12种情况，通过概率公式求出答案即可．
【详解】（1）；
（2）列出树状图如图所示：
由图可知，共有12种可能结果，其中选化学、生物的有2种，
所以，（选化学、生物）．
答：小明同学选化学、生物的概率是．
【点睛】本题考查了等可能概率事件，以及通过列表法或画树状图法判断可能情况概率，根据概率公式事件概率情况，解题关键在于要理解掌握等可能事件发生概率．
23．该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为10%．
【分析】设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，4（1+x）2=4.84，
解得：x1=0.1，x2=-2.1（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确的理解题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)路灯高8米，影长为步
【分析】（1）连接，并延长相交于点，即为路灯的位置；
（2）由，，可分别得，，根据三角形相似的性质，得到对应边成比例，列出比例式，代入数值计算即可．
【详解】（1）解：如图，点O为路灯的位置；
（2）解：作垂直地面，如图，步，步，，
，
∴，
∴，即，解得，
∵，
∴，
∴，即，解得
答：路灯高为8米，影长为步．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质应用，找到相似三角形列出比例式是解题的关键．
25．（1）230；（2）这名顾客买了15双鞋．
【分析】（1）根据每多买一双，所购运动鞋的单价降低10元求解即可；
（2）首先求出x超过了8双，进而表示出鞋的单价，即可得出关于x的方程求解即可．
【详解】解：（1）小明买这种运动鞋10双时，运动鞋的单价为：250-（10-8）×10=250-20=230（元），
故答案为：230；
（2）∵（元），
∴这名顾客买的鞋数超过8双，
设这名顾客买了x双鞋，根据题意得，

整理，得，
解得，，
当x=18时，，故不符合题意，舍去，
∴
答：这名顾客买了15双鞋．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键．
26．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，得到，即可得到；
（2）设与交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，然后证明出，即可得到；
（3）过点作交的延长线于点，证明出，得到，然后代数求解即可．
【详解】（1）∵在正方形中，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴；
（2）如图2，设与交于点，
图2
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图3，过点作交的延长线于点，
图3
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质等知识．采用类比的数学思想方法是解题的关键．