广东省惠州市大亚湾2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份广东省惠州市大亚湾2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共27页。试卷主要包含了01，0等内容，欢迎下载使用。

说明：
1.全卷共6页，满分150分，考试用时为120分钟．
2.答卷前，用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写相应的信息，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
5.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．无理数的大小在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
6．下列说法正确的是（ ）
A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式
B．一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和平均数都是3
C．若甲、乙两组数的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定
D．抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”
7．如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，点E在上，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．准备在一块长为30m，宽为24m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80m2，则小路的宽度为（ ）
A．1mB．mC．2mD．m
9．如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则面积为（ ）
A．B．C．D．
10．小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
11．计算： ．
12．不等式组：的解集是 ．
13．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为 元．
14．如图，在平面直角坐标系中，P是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点Q，则线段的最小值为 ．
15．如图，点A在双曲线（，）上，点B在直线l：上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，则k的值为 ．

16．如图，直线与轴、轴分别交于两点，绕点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
17．已知关于x的一元二次方程：有二个不相等实数根，．
(1)若，求此时方程的解；
(2)当时，求m的取值范围．
18．如图1是某厂房遮雨棚示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面示意图，所在圆的圆心为O．求覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要多少平方米帆布（不考虑接缝等因素，计算结果保留）．
19．一张方桌设有四个座位，丙先坐了如图所示的座位上，甲、乙、丁3人等可能坐到①、②、③中的3个座位上．
(1)甲坐①号座位的概率是______；
(2)用画树状图或列表的方法，求甲、乙坐同侧共排的概率．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题10分，共30分）
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、坐标分别是、、，顶点在函数（）的图像上．

(1)求的值；
(2)将沿y轴向上平移，当顶点落在（）的图像上时，边与该函数图象相交于点，连接，求此时的面积．
21．某水果超市销售某种水果，其成本是每千克12元，售价为每千克27元时，每天可销售120kg．超市在销售过程中发现售价每降低2元时，每天销量可增加80kg，于是决定调整销售策略，降价销售这种水果．
(1)若超市每天要获销售利润3080元，又要尽可能让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元；
(2)当销售单价定为多少时，超市所获利润最大，最大利润是多少？
22．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，过点作交直线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，在绕点旋转过程中是否存在某个时刻，使得，如果存在，请直接写出此时的度数；如果不存在，说明理由．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题13分，共26分．
23．如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若时，，求的直径的长．
24．【知识与方法】
如图1，，，轴，轴，则C（_____，_____），______，_______．
【知识应用】
如图2，勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标数据（单位：），笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为______m；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______．
【知识拓展】
如图3，点B是抛物线与x轴的一个交点，点D在抛物线对称轴上且位于x轴的上方，，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离最大值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记定义是解题关键．根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”和轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查无理数的估算；利用算术平方根进行估算求解．
【详解】解：∵，
∴，则
∴
∴的大小在2和3之间．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂相除和二次根式的运算，根据积的乘方、同底数幂相除的运算法则及二次根式的性质进行计算即可判断求解，掌握整式的运算法则及二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
4．A
【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
5．D
【分析】根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；
B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；
C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；
D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键．
6．C
【分析】可根据调查的选择、平均数和众数的求法、方差及随机事件的意义，逐个判断得结论．
【详解】解：因为我国中小学生人数众多，其睡眠情况也不需要特别精确，
所以对我国中小学生的睡眠情况的调查，宜采用抽样调查，故选项A不正确；
因为B中数据据1，2，5，5，5，3，3，重复出现次数最多的是5，平均数为，故该组数据的众数与平均数都不是3，，
所以选项B说法不正确；
因为0.01＜0.1，方差越小，波动越小，数据越稳定，
所以甲组数据比乙组数据稳定，故选项C说法正确；
因为抛掷硬币属于随机事件，抛掷一枚硬币200次，不一定有100次“正面朝上”
故选项D说法不正确．
故选：C．
【点睛】本题的关键在于掌握调查的选择、平均数和众数的求法、方差及随机事件的意义．
7．C
【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．根据切线的性质得出，进而得出的度数，再利用等腰三角形的性质得出的度数，再根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：与相切于点，，
，
，
，
，
∵四边形是内接四边形，
，
，
故选：C．
8．B
【分析】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，根据小路的横向总长度（30＋4x）米和纵向总长度（24＋4x）米，结合矩形的面积公式得到：（30＋4x＋24＋4x）x＝80．通过解方程求得x的值即可．
【详解】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，
依题意得：（30＋4x＋24＋4x）x＝80
整理得：4x2＋27x−40＝0
解得x1＝−8（舍去），x2＝．
故选B.
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到该小路的总的长度，利用矩形的面积公式列出方程并解答．
9．C
【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，过作于，作于，证明，则，即，由，可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作于，作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
故选：C．
10．D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
11．1
【分析】本题考查了负整数指数幂，算术平方根，绝对值．熟练掌握负整数指数幂，算术平方根，绝对是解题的关键．
先计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，然后进行乘法、加减运算即可．
【详解】解：
．
12．##
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
13．300
【分析】七五折售价+亏损25元=九折售价-盈利的20元，根据此成本不变等量关系列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设该商品的原售价为x元，
根据题意得：75%x+25=90%x-20，
解得：x=300，
则该商品的原售价为300元．
故答案为300．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
14．
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【详解】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ==，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y=2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为==．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
15．
【分析】设交x轴于点D，在一次函数中，时，，得到，，根据菱形性质得到，根据轴对称性质，得到，，根据勾股定理得到，得到，推出．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，菱形的性质，轴对称性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．
【详解】设交x轴于点D，如图，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵A与B关于x轴对称，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

16．
【分析】首先根据直线求出点的坐标，结合旋转的性质可知点的横坐标等于与的长度之和，而纵坐标等于的长，进而得出 的坐标．
【详解】解：对于直线，
令，得，令，得 ，
∴，
∴，
由旋转可知，，，
∴点的纵坐标为长，即为2，
横坐标为，
故点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点、坐标与图形变—旋转等知识，解题的关键是求出直线与坐标轴的交点坐标．
17．(1)，
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，一元二次方程根于系数的关系，根的判别式．
（1）将代入方程，利用因式分解法进行求解即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根，和分别求出m的取值范围，即可得到最后结果．
【详解】（1）解：当，
方程为，
，
解得：，；
（2）有二个不相等实数根，，
，
解得：，
，
，
解得：，
．
18．覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要160平方米帆布
【分析】本题主要考查圆的垂径定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定及性质，弧长公式．
由题意可得：于点E，米，米，由垂径定理可得米，设的半径为r，即米，（米），在中，根据勾股定理有，代入即可求得r的值．取的中点C，连接，得，即是等边三角形，因此，从而，根据弧长公式求得的长，从而可求得帆布的面积．
【详解】由题意可得：于点E，米，米，
∵过圆心O，且，
∴（米），
设的半径为r，即米，（米）
∵在中，，
即，
解得．
∴米，米，
取的中点C，连接，
∴，
，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴（米），
∴帆布的面积为（平方米）．
19．(1)
(2)甲、乙坐同侧共排的概率为
【分析】（1）直接利用概率的计算公式进行计算即可；
（2）先根据题意用表格列出所有可能出现的结果，找出甲、乙坐同侧共排的情况，再根据概率的计算公式进行计算即可．
概率=所求情况数总情况数，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
【详解】（1）共有①、②、③三个座位，甲坐①号座位的概率是，
故答案为：．
（2）列表格如下：
共有6种结果，其中甲、乙坐同侧共排的有②③、③②两种，
．
20．(1)的值为
(2)的面积为
【分析】本题考查的是反比例函数综合题；
（1）根据平行四边形的性质得出的坐标，进而即可求得的值；
（2）由平移得，平移后的点的横坐标为，代入反比例函数解析式求得纵坐标，从而求得平移后的的纵坐标，代入解析式即可求得与该函数图象的交点坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）在中，、、，
，．
．
点的坐标为．
∵函数的图象经过点，
∴；
（2）由平移得，平移后的点B的横坐标为．
当时，

∴平移后点B的坐标为．
∴向上平移个单位．
∴平移后点的坐标为．
当时，
∴与该函数图象的交点坐标为，
∴的面积．
21．(1)销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元；
(2)当销售单价定为21元时，超市所获利润最大，最大利润是3240元
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，利用二次函数性质是解题的关键．
（1）设降低元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案；
（2）设降低元，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：设降低元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意得，
，
整理得，
或．
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为（元，
答：水果的销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元；
（2）解：设降低元，由题得，
∴，
∵，
∴有最大值，
当时，最大．
售价为（元，
答：水果的销售价为每千克21元时，超市每天一天获利最大为3240元．
22．(1)证明见解析．
(2)存在，此时旋转角的度数为或，理由见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，以及旋转的性质．解题的关键是：
（1）将所求的中点（）与已知的平行（）相结合，把所求结论转化为：证明四边形是平行四边形．通过旋转的性质和两个角导出角度（）之间的关系，再由等角对等边导出线段相等（），经由等量代换即可得出结论．
（2）由（1）问可知，四边形为平行四边形，当其为矩形时，可使对角线．在的旋转过程中，当点在直线上时，可使为直角，此时平行四边形为矩形，求出此时对应的旋转角即可．
【详解】（1）如图，连接，
，
，
又，，
，
，
，
又，
，
，
由旋转的性质可得，，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
（2）情况1：如图，当点在线段上时，
，点在线段上，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
此时旋转角的度数为．
情况2：如图，当点在线段的延长线上时，
，点在线段的延长线上，
，
又是平行四边形，
是矩形，
，
又，
，
此时旋转角的度数为，
故存在，此时旋转角的度数为或．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)的直径的长为
【分析】（1）作于点H，连接，根据等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质（三线合一），可以证明结平分，再根据角平分线的性质和同角的余角相等可证出，进而可证出，进而即可证；
（2）根据（1）中的结论和，可以证明结论成立；
（3）由和锐角三角函数可以求得的值，然后利用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）如图，作于点H，连接，
∴，
∵点C为劣弧中点，
∴，
∴，
∵
∴
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（2）由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴是的切线；
（3）∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴
【点睛】本题是一道圆的综合题目，考查圆周角定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质和锐角三角函数，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．【知识与方法】，；；；【知识应用】（1）20；（2）13；【知识拓展】点P到直线的距离最大值
【分析】知识与方法：根据坐标与图形的性质解答即可；
知识应用：（1）建立平面直角坐标系，可求出的值；
（2）设，D到A，C的距离相等，根据勾股定理列方程求出，进而可求出C，D间的距离；
知识拓展：作交于点F，作于点G，求出，由锐角三角函数的知识得，从而取得最大值时，取得最大值．求出直线的解析式，设，，列出关于n的二次函数解析式，然后利用二次函数性质即可求解．
【详解】解：知识与方法：∵，，轴，轴，
∴，，
故答案为：，；；；
知识应用：如图，
（1）．
故答案为：20；
（2）设，
∵D到A，C的距离相等，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：13；
知识拓展：作交于点F，作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴取得最大值时，取得最大值．
∵，
∴，
∴可设．
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴．
设，，
∴，
∴当时，取得最大值，
点P到直线OD的距离最大值为．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
甲
乙
①
②
③
①
①②
①③
②
②①
②③
③
③①
③②