浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
3．一个不透明的布袋里装有4个黑球、1个白球、3个红球，它们除颜色外其余都相同．从布袋里任意摸出1个球，是黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连接交于点E，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，1）
6．如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆与、分别交于点E与点D，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，点P在边上，若是的三等分线，则的长度为（ ）

A．或5B．或C．或2D．或2
8．如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，正方形的边长为4，点是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为（ ）
A．B．5C．D．以上都不对
10．如图，在等腰中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．二次函数的顶点坐标是 ．
12．从，，，四个实数，任取一个数是有理数的概率为 ．
13．如图，在中，点E在边上，交对角线于F，若，的面积等于8，那么的面积等于 ．
14．如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，∠ADO＝30°，OA＝2，反比例函数y＝经过CD的中点M，那么k＝ ．
15．若实数满足，则的最小值为 ．
16．综合实践课上，小聪把一张长方形纸片沿着虚线剪开，如图①所示，把得到的两张纸片如图②摆放，纸片较小锐角的顶点在上，较长直角边与斜边分别交边于点G，H．以点G与A重合，且为初始位置，把沿着方向平移，当点到达点E后立刻绕点E逆时针旋转，如图③，直到点H与点B重合停止．为了探求与之间的变化关系，设，请用含m的代数式表示．
（1）在平移过程中， ，
（2）在旋转过程中， ．
三、解答题
17．计算：．
18．一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球（只有颜色不同），从中随机摸出1个球后放回搅匀，再次随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法求先后摸出的两球颜色不同的概率．
19．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
(1)直接写出的值，并求该二次函数的解析式；
(2)当时，求函数值的取值范围．
20．如图，在中，，点是上一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，的面积为1，求的面积．
21．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．
(1)写出月销售量（单位：千克）与售价（单位：元/千克）之间的函数关系式．
(2)在月销售成本不超过10000元的情况下，当售价定为多少元时可获得最大利润？并求出最大利润．
22．图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点可以上下调整高度，离地面的距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴．

(1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．（结果保留一位小数）
(2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，只要把活动调节点向下移动即可，移动的距离与小华的身高有什么数量关系？直接写出你的结论．
②活动调节点不动，只要调整的大小，如图3，试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
23．定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为 ；
（2）若抛物线y＝x2﹣bx（b＞0）是“美丽抛物线”，求b的值；
（3）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B（1，2），与轴交与A，C，AB与y轴交于点D，连接OB，在抛物线找一点Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q点的横坐标．
24．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点、、、．
(1)与相似吗？为什么？
(2)如图2，弦交轴于点，且，求；
(3)如图3，过点作的切线，交轴于点．点是上的动点，问比值是否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．
…
0
3
4
…
…
0
4
0
…
参考答案：
1．B
【分析】根据题意可得，进一步即可求出.
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选：B.
【点睛】本题考查了分式的求值，属于基本题目，掌握求解的方法是关键.
2．B
【详解】∵y=（x﹣5）2+7，
∴当x=5时，y有最小值7．
故选B．
3．A
【分析】本题考查了简单的概率计算，根据概率的计算公式，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，从布袋里任意摸出1个球，是黑球的概率为，
故选：A．
4．C
【分析】连接AD，根据点B是中点求出，根据三角形内角和可求解．
【详解】解：连接，
∵B是的中点，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质，掌握圆内弧和圆周角的关系以及三角形内角和是解题的关键．
5．A
【分析】根据二次函数的性质，求得对称轴，再根据二次函数的对称性即可求解．
【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，
∴若图象经过点，则该图象必经过点．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求得对称轴．
6．D
【分析】在中，由勾股定理可直接求得；过C作，交于点M，由垂径定理可得M为的中点，在中，根据勾股定理得的长，从而得到的长．
【详解】解：在中，，，；
根据勾股定理，得．
过C作，交于点M，如图所示，
由垂径定理可得M为的中点，
∵，且，，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．B
【分析】当是靠近的的三等分线，先根据等边对等角和三角形内角和定理证明，，则，，设，则，证明，利用相似三角形的性质得到，解方程即可求出；同理可得，当是靠近的的三等分线时，．
【详解】解：∵，
∴，
当是靠近的的三等分线时，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
∴；
同理可得，当是靠近的的三等分线时，；
综上所述，或，
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，利用分类讨论的思想是解题的关键．
8．D
【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③正确；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D
【点睛】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键．
9．C
【分析】连接，由为正方形的中心，得到，根据切线长定理得到平分，可得出，由折叠可得，再由正方形的内角为直角，可得出为，根据余弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：连接，

为正方形的中心，
，
与都为的切线，
平分，即，
，即，
沿着折叠至，
，
，
在中，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质、正方形的性质、勾股定理、切线长定理以及折叠的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
10．C
【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．
【详解】解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，
圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
11．
【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数，
二次函数的顶点为．
故答案为．
12．
【分析】本题主要考查了概率的计算，掌握无理数的概念是解题的关键，先判断有理数有2个，无理数有2个，再根据概率的公式计算即可得出答案．
【详解】在，，，四个实数中，有理数是和，共2个，无理数是和，
任取一个数是有理数的概率为，
故答案为：．
13．
【分析】先利用，求得，再利用是平行四边形证得，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
14．+6
【分析】先根据△CDE≌△DAO，得到DE=AO=2，DO=2=CE，再根据F是CE的中点，即可得到F（，2+2），最后根据反比例函数y=的图象过CE的中点F，即可得到k的值．
【详解】解：如图，作CE⊥y轴于点E．
∵正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，
∴∠CED＝∠DOA＝90°，∠DCE＝∠ADO，CD＝DA，
∴△CDE≌△DAO（AAS），
∴DE＝AO＝2，
又∵∠ODA＝30°，
∴Rt△AOD中，AD＝2AO＝4，DO＝2＝CE，
∴EO＝2+2，
∴C（2，2+2），D（0，2），
∵M是CD的中点，
∴M（，1+2），
∵反比例函y＝经过CD的中点M，
∴k＝（1+2）＝+6，
故答案为+6．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质.
15．9
【分析】把，化成，代入，得出，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】解：∵实数满足，
∴，则
∴，
当时，有最小值为9，
故答案为9．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，由，代替代数式中的，得到关于a的二次函数是解题的关键．
16．
【分析】（1）推出，由相似三角形的性质即可求解；
（2）证明，推出，作交于点I，在中，由勾股定理求得，据此即可求解．
【详解】解：（1）根据题意知，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）根据题意知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
作交于点I，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，即，
∴；
故答案为：；．
【点睛】本题考查了考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．
【分析】先进行幂的运算、去绝对值、及零次幂的运算，同时将特殊角的三角函数值代入，然后化简求值即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】题目主要考查计算能力，主要有幂的运算、去绝对值、及零次幂和特殊三角函数值，解题关键是对这些运算的熟练及对特殊三角函数值的记忆．
18．
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出先后摸出的两球颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，先后摸出的两球颜色不同的情况有4种情况，
∴先后摸出的两球颜色不同的概率为：
【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）根据二次函数的对称性即可得出m的值，根据表格的数据利用待定系数法即可求解；
（2）将二次函数化为顶点式为：，判断出函数的增减性，即可作答．
【详解】（1）当时，，
当时，，
可知：抛物线的对称轴为：，
即有：，
∴根据表格可知：当时与时，y值相等，均为：，
∴，
根据表格可知：抛物线经过点，，，
则有：
，解得：，
即二次函数的解析式为：；
（2）将二次函数化为顶点式为：，
即：时，函数值随x的增大而增大；
时，函数值随x的增大而减小；
当时，函数值最大，为：
当时，函数值：
当时，函数值：
∴当时，函数值的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了使用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的性质等知识，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据可得，即可求证；
（2）先求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，
∴，解得：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
21．(1)
(2)当售价定为75元时可获得最大利润，最大利润为元
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用．
（1）根据销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，列出函数关系式即可
（2）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，根据二次函数的性质，求最值即可．
读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，得：
．
答：y与x之间的函数关系式为：；
（2）由题意，得：
，
∴，
设总利润为， 则：，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为元；
答：当售价定为75元时可获得最大利润，最大利润为元．
22．(1)125.4cm
(2)①；②61.7°
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义．
（1）过点作的延长线于点，交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
（2）①由平行四边形的判定与性质即可知道；
②由勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的度数，从而可求出的度数．
【详解】（1）过点作的延长线于点，交的延长线于点，

，
四边形为矩形，
，，，
在中，，，
，，
，
，
，
又，
，
cm；
（2）①，
如图，由平移可知：
，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理可得：四边形为平行四边形，
∴，
∴；

②如图，连接，在中，
，
，
，
在中，．
，
，
，
．

23．（1）（3，2）或（3，-2）（2）；（3）或
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为，然后根据“美丽抛物线的”定义求出顶点坐标，然后求解即可；
（2）先求出抛物线与x轴的两个交点，顶点坐标，然后根据“美丽抛物线的”定义求解即可.
（3）过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，先求出A（-1，0），C（3，0），然后求出抛物线解析式，然后求出，即可得到，即，
设Q（m，），则，然后解方程求解即可得到答案.
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），
∴抛物线的对称轴为，
∴由“美丽抛物线的”定义可知，抛物的顶点到x轴的距离
∴抛物线顶点的坐标为（3，2）或（3，-2），
（2）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（b，0），抛物线的顶点坐标为（，）
∴由“美丽抛物线的”定义可知
∴解得；
∵，
∴；
（3）如图，过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，
由题意得△ABC为等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，
∴AE=CE=BE，
∵B（1，2），
∴AE=CE=BE=2，OE=1，
∴AO=1，OC=3，
∴A（-1，0），C（3，0）
∴抛物线解析式为，
把B（1，2）代入抛物线解析式得，
解得,
∴抛物线解析式为
∵，，
，
∴，
∴
∴，
∴，
设Q（m，），
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q点的横坐标为或.
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的解析式，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
24．(1)相似，理由见解析
(2)
(3)不变，
【分析】（1）根据圆周角定理，结合对顶角相等，即可得出结论；
（2）连接，勾股定理求出，证明，求出的长，勾股定理求出的长，利用锐角三角函数的定义，求解即可；
（3）连接，证明，求出的长，分点与重合，与重合，不与重合，三种情况，进行讨论求解，即可．
【详解】（1）解：相似，理由如下：
∵以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点、、、，
∴，
∵，
∴；
（2）连接，如图2，
∵点M的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴；
（3）不变；
如图3，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
当G点与A点重合时，；
当G点与B点重合时，；
当G点，不与重合时：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上：的值不变，为．
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和切线的性质；灵活应用相似三角形的判定与性质，会利用相似比和勾股定理计算线段的长．