云南省大理州大理市大理白族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份云南省大理州大理市大理白族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为
A.6B.12C.8D.16
2.若直线经过点，，则的倾斜角为
A.B.C.D.
3.在三棱柱中，是四边形的中心，且，，，则
A.B.
C.D.
4.已知直线与直线互相垂直，则实数
A.B.2C.或2D.或-2
5.已知圆和，则两圆的公切线的条数是
A.2B.3C.4D.5
6.在正四棱锥中，，为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为
A.B.C.D.
7.在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则其中面积最大的圆的标准方程为
A.B.
C.D.
8.如图所示，椭圆中心在原点，是左焦点，直线与交于点，且，则椭圆的离心率为
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知平面过点，其法向量，则下列点在平面内的是
A.（2，3，3）B.（3，-3，4）C.（-1，2，0）D.（2，-1，1）
10.已知圆，则下列说法正确的有
A.直线与圆的相交所得的弦长为
B.圆关于直线对称的圆的方程为
C.若点是圆上的动点，则的最大值为
D.若圆上有且仅有三个点到直线的距离等于，则或-3
11.已知椭圆的左、右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有
A.的周长为6B.存在点使得
C.的最大面积为D.的最大值为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.两直线和平行，则它们之间的距离为________.
13.在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________.
14.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的左，右焦点分别是，，是上一点，，，的面积为，则的标准方程为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点分别是，，并且椭圆经过点；
（2）经过两点、.
16.（本题满分15分）
（1）直线经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
（2）已知直线经过点，且与圆相切，求直线的方程.
17.（本题满分15分）
已知圆的圆心在轴上，且经过点，.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.
18.（本题满分17分）
在四棱锥中，底面是正方形，若，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值.
19.（本题满分17分）
如图，已知圆，圆心是点，点是圆上的动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作一条直线与曲线相交于两点，与轴相交于点，若，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
高二数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.A 8.B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AD 10.ABD 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13.1 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【详解】（1）依题知椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为.……1分
由已知得，……2分
又因为，所以.……3分
因为点在椭圆上，所以，即.……4分
从而有，
解得或（舍去）.
因此，
从而所求椭圆的标准方程为.……7分
【另解】依题知椭圆的焦点在轴上，且.……2分
所以
故，
从而所求椭圆的标准方程为.……7分
（2）设椭圆的方程为：
经过两点、故，解得，
即
故椭圆的标准方程为：.……13分
（答案写成不扣分）
16.【详解】（1）由题意可知，，解得，
所以直线与的交点坐标为（3，2）.……2分
当直线经过坐标原点时，直线的方程为，即.……4分
当直线不经过原点时，设直线的方程为，则
因为直线经过点（3，2），所以，解得，
所以直线的方程为，即.……7分
综上，所求直线的方程为或.……8分
（2）依题知，圆心到直线的距离为3，
当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为，满足题意；……10分
当直线的斜率不时，设直线的方程为，即，
因为原点到直线的距离等于3，所以，解得，
所以直线的方程为，即.……14分
综上，所求直线的方程为或.……15分
17.【详解】（1）设的中点为，则，
由圆的性质得，
所以，得，
所以线段的垂直平分线方程是，
设圆的标准方程为，其中，半径为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆的标准方程为；……7分
（2）由（1）设为中点，则，得，
圆心到直线的距离，……9分
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；……11分
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意得，解得；
故直线的方程为，
即；……14分
综上直线的方程为或.……15分
18.【详解】（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，因为平面，故平面平面.……8分
（2）在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，，，故，.
设平面的法向量，
则即，取，则，，
故.
而平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，则
.
故平面和平面的夹角的余弦值为.……17分
19.【详解】（1）因为，所以，
所以，半径，……2分
因为线段的中垂线交线段于点，所以，
所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，……6分
所以，，，
故曲线的方程为.……8分
（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，与轴不相交，不合题意，舍去，
当直线的斜率存在时，设所在直线方程为，
设，，
由
消去整理得，恒成立，
所以，
又因为直线与轴的交点为，所以，
所以，，
，，
又因为，所以，同理，
所以，且，
所以，
整理后得，
所以为定值-4，原题得证.……17分