上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“”是“”的条件.
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件
2.不等式，的解集不可能是( )
A. B. RC. D.
3.已知集合，，则满足的集合S共有个.
A. 3B. 4C. 7D. 8
4.设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是( )
A. 对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集
B. 对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集
C. 对任意a，使得不是的子集，对任意b，不是的子集
D. 对任意a，使得不是的子集，存在b，使得不是的子集
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知全集为R，集合，则______.
6.集合，则集合______.
7.若，则的最小值为______.
8.若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是______.
9.已知，，则的取值范围是______.
10.若集合有且仅有一个元素，则实数______.
11.用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设______.
12.一元二次不等式的解集是，则______.
13.关于x的不等式的解集M有下列结论，其中正确的是______.
①M可以是；②M可以是R；③M可以是；④M可以是
14.已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数______.
15.若不等式的解集为，则实数a的取值范围是______.
16.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设a，，，若对任意，都有，则的取值范围是______.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题14分
求下列不等式解集.
18.本小题14分
已知集合，，全集
当时，求，；
若，求实数a的取值范围．
19.本小题14分
一家新兴的医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划应用新技术生产一种新型的医疗器械；已知生产该产品的每年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台需另投入成本万元，且
由市场调研知，该产品每台的售价为200万元时，本年度内生产的该产品当年能全部销售完.
求年利润万元关于年产量x台的函数解析式利润=销售收入-成本；
当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
20.本小题18分
已知二次函数
若关于x的方程的两个实数根，满足，求实数t的值；
若对任意都有成立，求实数t的取值范围；
若关于x的方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围.
21.本小题18分
在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为
动点P在直线上，点，若，求点P的横坐标x的取值范围；
动点P在直线上，动点Q在函数图像上，求的最小值；
动点Q在函数的图像上，点，的最大值记为如，当点P的坐标为时，求的最小值，并求此时点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】本题考查必要条件，充分条件及充要条件的判定，属基础题.
结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
解：因为，
，
所以“”是“”的充分不必要条件.
2.【答案】D
【解析】解：当，时，不等式，的解集是；
当，时，不等式，的解集是R；
当时，不等式，的解集是；
当时，不等式，的解集是
不等式，的解集不可能是
故选
当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是
本题考查一元一次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3.【答案】D
【解析】解：因为集合，，
所以，
所以，，
因为，
所以S可以为，，，，，，，，共8个．
故选：
根据题意可得集合B，再结合子集的概念可列举出集合S的所有可能情况．
本题考查子集的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
4.【答案】B
【解析】解：对于集合，，
可得当，即，可得，
即有，可得对任意a，是的子集；
当时，，，
可得是的子集，故A错误，B正确；
当时，，且，
可得不是的子集．
综上可得，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，故C错误，D错误．
故选：
运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意a，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．
本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：全集为R，集合，
故答案为：
利用补集的定义直接求解．
本题考查集合的运算和补集的定义，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：集合，
又Z是整数集，
故答案为：
利用交集的概念计算即可．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
7.【答案】4
【解析】解：因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
故答案为：4
直接利用基本不等式，即可得解．
本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：是的充分条件，
，
实数m的取值范围是，
故答案为：
利用充要条件的定义求解即可．
本题考查了充要条件的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
，
又，
，
故的取值范围为
故答案为：
根据已知条件，结合不等式的可加性，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】0或
【解析】解：因为集合A中有且仅有一个元素，即方程有一个根或者两个相等的实数根，
当时，方程仅有一个实数根，满足题意；
当时．，
解得 ，
综上，或
故答案为：0或
由题意得方程有一个根或者两个相等的实数根，然后结合方程根的存在条件可求．
本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．
11.【答案】且
【解析】解：用反证法证明“若，则或”时，
第一步应先假设“且”．
故答案为：且
直接利用反证法的步骤，即可得到答案．
本题考查反证法的应用，考查命题的否定，是基础题．
12.【答案】0
【解析】解：由题意可知的两个根分别是，且，
所以，解得，，
所以
故答案为：
利用三个二次关系计算即可．
本题考查了不等式的解集与对应方程关系的应用问题，是基础题．
13.【答案】②④
【解析】解：对于①：假设结论成立，则，
解得，则不等式为，
解得，与解集是矛盾，故①错误；
对于②：当，时，不等式恒成立，则解集是R，故②正确；
对于③：当时，不等式，则解集不可能为，故③错误；
对于④：假设结论成立，则，
解得，此时不等式为，
解得，符合题意，故④正确．
故答案为：②④．
在假设结论成立时求出a，b值进行判断①④，举特例判断②③．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，
，，
，
解得或，
当时，一元二次方程无解，
舍去．
故
故答案为：
利用韦达定理得到二次方程两个根之间的关系，再由已知，可得p的值．
本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知，不等式对任意的恒成立，
由三角不等式可得，
则，即，解得，
因此，实数a的取值范围是
故答案为：
利用三角不等式得到，再解绝对值不等式即可．
本题主要考查绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：类比图像法解不等式，画出和，
若对任意都有，
则应为增函数，所以两个函数图像应如下图所示：
由图像得，解得，其中，，
所以，当且仅当时等号成立，
故的范围为
故答案为：
类比图像法，画出和的图像，根据图像列出方程即可．
本题主要考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由，
所以不等式解集为；
由，则或，
所以或，
故不等式解集为
【解析】将分式不等式化为求解集即可；
由公式法求绝对值不等式的解集．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，
所以，
由，知，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上所述，实数a的取值范围为
【解析】把代入，可得集合A，再由并集和交集的运算法则，得解；
易知，再分和两种情况，列出关于a的不等式组，解之即可．
本题考查集合的运算，熟练掌握集合的关系与运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可得：当时，，
当时， ，
故；
①若，，
由二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，万元，
②若 ，
当且仅当时，即时，万元．
所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．
【解析】分和两种情况，两种情况，结合题意分析求解；
分和两种情况，根据二次函数性质结合双勾函数单调性计算最值，比较得到答案．
本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了二次函数的性质、利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．
20.【答案】解：因为方程，即，
且方程的两根为和，所以，
解得或，
又因为，所以，
化简得，解得或舍去，所以
由题意得对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立，
设，则
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，
所以t的取值范围是
当，即时，经检验满足题意；
当，即或时，
由，得，解得，
经检验不合题意；
综上知，t的取值范围是或
【解析】利用一元二次方程的韦达定理及判别式计算即可；
分离参数利用换元法结合基本不等式计算即可；
分类讨论方程根的情况结合二次函数根的分布计算即可．
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：由已知，则概率“曼哈顿”定义得，
，，
当时，成立，解得；
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述点P的横坐标x的取值范围为
设出动点，，则，
，
，
当时，，
此时，
当时，，
此时，
当时，，
此时，
，
，
综合得，当，时取等号，
的最小值为
设，则，
若存在实数a，b，使得，则对任意成立，
取，得，取，则，
，
解得，
取，，是上是偶函数，
当时，若，，
若，，
当且仅当时，取等号，
存在实数a，且，，使得最小值为，点
【解析】利用“曼哈顿距离”定义，分类讨论去绝对值解不等式即可；
设出动点，，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可；
先取特值确定出最小值，再验证有实数a，b即可．
本题考查新定义、两点间距离公式、函数的奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．