河南省焦作市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份河南省焦作市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了已知直线，点，是动点等内容，欢迎下载使用。

数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A.（0，1）B.C.D.（1，2）
2.2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，这组数据的中位数为（ ）
A.19B.18C.17D.16
3.圆的半径为（ ）
A.B.C.5D.13
4.设向量是平面的法向量，向量是直线的方向向量，且，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.设抛物线的焦点为，过抛物线上的点作准线的垂线，设垂足为，若，且，则（ ）
A.2B.C.1D.
6.已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A.1B.0C.－1D.－3
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在上，且，若的面积为16，的离心率为，则的方程为（ ）
A.B.C.D.
8.在直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A.甲去云台山的概率为
B.甲、乙两人都去云台山的概率为
C.甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为
D.甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为
10.已知直线，点，是动点.记点到直线的距离为，点到点的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则点的轨迹是椭圆
B.若，则点的轨迹是双曲线
C.若，则点的轨迹是抛物线
D.若，则点的轨迹是双曲线的一部分
11.在平面直角坐标系中，已知点，，，点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.点到直线的距离的最小值为
C.若经过点的直线与圆至少有一个公共点，则的倾斜角的取值范围是
D.的最小值为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线与直线垂直，则_____.
13.若实数a，b，c满足，则直线与圆有_____个交点.
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且的内切圆圆心为，则点的横坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心.
（I）求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积；
（II）求证：平面.
16.（15分）
已知向量，，，若函数，且在区间上不具有单调性.
（I）求的取值范围；
（II）当取最小整数值时，若（其中，，是虚数单位），求的值.
17.（15分）
已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，且直线过点.
（I）求的方程；
（II）若过点的直线与交于M，N两点，当点到直线的距离最大时，求.
18.（17分）
如图，在四棱锥中，点在平面内的射影为点，，，平分，.
（I）若为棱的中点，求证：平面.
（II）若二面角的平面角的正弦值为.
（i）求的长；
（ii）求点到平面的距离.
19.（17分）
已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点在的准线上.
（I）求的方程.
（II）当直线的斜率为2时，证明：.
（III）试问：，能否同时与相切?请说明你的理由.
焦作市普通高中2024－2025学年（上）高二年级期中考试
数学・答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案D
命题透析 本题考查函数的性质及集合的表示.
解析 由，得，解得.
2.答案C
命题 透析本题考查中位数的概念.
解析 将这组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的两个是16，18，所以中位数是.
3.答案B
命题透析 本题考查圆的标准方程.
解析 将圆的方程化为标准形式为，其半径为.
4.答案C
命题透析 本题考查向量间的关系和空间线面之间的位置关系.
解析 因为，由“”可以推出“”，由“”也可以推出“”，故“”是“”的充要条件.
5.答案A
命题透析 本题考查抛物线的定义及三角形的有关知识.
解析 设为准线与轴的交点，因为，且，所以.因为，所以，在中，，所以，解得.
6.答案B
命题透析本题考查函数的奇偶性及周期性.
解析因为为偶函数，所以，令，则；因为为奇函数，所以，令，则，所以，所以.因为，所以，所以，则的周期为4，所以.
7.答案B
命题透析 本题考查双曲线的方程与几何性质及直角三角形的判断.
解析 设的半焦距为.因为，所以，所以为直角三角形，且.设，，则，所以，又，，且，所以，即，所以.又，所以，所以，所以的方程为.
8.答案A
命题透析 本题考查空间向量的应用.
解析 设，，，则，所以，.因为，，所以，，同理，.设异面直线和所成的角为，则.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案AC
命题透析 本题考查古典概型.
解析 将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为A，B，C，D，依题意可知样本空间，共含有16个样本点.甲去云台山的情况为，样本点有4个，概率为，故A正确；甲、乙两人都去云台山的情况为，样本点有1个，概率为，故B错误；甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为，样本点有6个，概率为，故C正确；甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为，样本点有7个，概率为，故D错误.
10.答案AB
命题透析 本题考查方程的化简及点的轨迹的判断.
解析 设，则.
对于A，由题意得，化简得，可知方程表示椭圆，故A正确；
对于B，同上可化简得，可知方程表示双曲线，故B正确；
对于C，由题意得点的轨迹是轴上位于之间的线段，故C错误；
对于D，由题意得，即，①当，即时，，化简得，可知方程表示抛物线，②当，即时，，化简得，没有意义，由①②得，点的轨迹是抛物线，故D错误.
11.答案ACD
命题透析 本题考查与圆上的点有关的距离的特殊性、直线与圆的位置关系、直线的倾斜角和斜率.
解析 设点，由题知圆的圆心坐标为（0，－5），半径为.
对于A，要证，即证，即证，即证，因为点在圆上，所以，即，故A正确；
对于B，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为，故B错误；
对于C，①当直线的斜率不存在时，满足题目要求，此时倾斜角为，②当直线的斜率存在时，设经过点的直线的方程为，由题意知该直线与圆相切或相交，所以，解得或，则或，可得，由①②可得，，故C正确；
对于D，显然点在圆外，点在圆内，由A知，所以，当N，P，H三点共线且点在线段上时，，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案－1
命题透析 本题考查两直线垂直.
解析 由题易知，则，解得.
13.答案2
命题透析 本题考查直线过定点，点与圆、直线与圆的位置关系.
解析 因为，所以，故直线恒过点（1，－2），设，因为，所以点在圆内，所以直线与圆有2个交点.
14.答案3
命题透析 本题考查双曲线的几何性质、三角形内切圆的有关知识.
解析 设的半焦距为.设圆与的三边，，分别相切于点M，N，A，则，，，则点的横坐标和点的横坐标相同.又，所以根据双曲线的性质可知，，又，所以，，即点和的右顶点重合，所以点的横坐标为，故点的横坐标为3.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.命题透析 本题考查圆锥的体积计算、空间线面位置关系的证明.
解析（I）因为正方体的棱长为1，
所以，，是直角三角形，
所以绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为，高为1的圆锥，
其体积为.
（II）方法一：连接，如图.
在正方体中，易知.
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面.
又平面，所以.
同理可证平面，所以.
因为，，平面，
所以平面.
方法二：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
则，
，
所以，，
又，，平面，
所以平面.
16.命题透析 本题考查三角函数的性质、三角恒等变换.
解析 （I）依题意，函数.
由，得，
由函数在区间上不具有单调性，得，解得，
故的取值范围是.
（II）依题意，得，，，
所以，，
所以，.
由，得，
所以，
由，得.
由，得，同理，.
所以
.
17.命题透析 本题考查椭圆的有关性质、直线被椭圆所截得的弦长的求法等.
解析（I）设.
由，得，由，得，
由题知，则直线的斜率，
故直线的方程为.
由直线过点，得，则，，
所以的方程为.
（II）由（I）知.设，.
由题意可知，当时，点到直线的距离取得最大值，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即，
与的方程联立，消去整理，得，
所以，，
.
18.命题透析 本题考查立体几何与空间向量的应用.
解析（I）设棱的中点为，连接，，如图，
则，.
由题意知，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
（II）过点作交于点，则，，可得四边形是矩形，又平分，所以四边形为正方形，且边长为2.
以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（i）设，则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则即
令，可得平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则即
令，可得平面的一个法向量为.
设向量与所成的角为，则，
所以，解得，即.
（ii）由（i）知，向量，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.
19.命题透析 本题考查直线与抛物线的位置关系.
解析（I）的准线方程为，
由题可知，
解得，所以的方程为.
（II）由（I）得.
当直线的斜率为2时，直线的方程为，即，
由得，
设，，
由根与系数的关系得，.
由题易知直线，的斜率均存在.
因为，
所以.
（III）设直线的方程为.
由可得，
由根与系数的关系得，.（*）
设直线，即，
当直线与相切时，.由得，
若直线与相切，则，即.
若直线，同时与相切，
则，是该方程的两个实数根，且，，
又，
所以①，②，
由②得③，
又由（*）得，
所以③式化为，解得.
此时，，
，满足①式.
故当，即直线的方程为时，同时与相切.