广东省佛山市高明区2024-2025学年高一上学期期中数学试卷

这是一份广东省佛山市高明区2024-2025学年高一上学期期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，若，则( )
A. B. 1C. 0D. 2
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.已知命题p：，，若命题p是假命题，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.“”是“函数且的图象经过第三象限”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
7.已知定义在R上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为( )
A. B. 9C. D. 8
8.已知函数是三次函数且幂函数，，则……( )
A. 4047B. 8092C. 8094D. 9086
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在下列四个命题中，正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则
C. 已知，，则
D. a，b，c为互不相等的正数，且，则
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则B. 存在最小值，则
C. 的单调递减区间为D. 若，则
11.已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意x，都满足，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是奇函数
C. 若，则
D. 若当时，，则在单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数满足，则______.
13.甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价，例如：甲店这款减价服装第1天售价为480元，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完，则从第______天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店.
14.已知函数，若关于x的不等式恰有两个整数解，则实数m的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题15分
已知，，求的值；
化简：
16.本小题15分
已知函数
用定义法证明是减函数；
解关于t的不等式
17.本小题15分
某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其他成本投入20x元，已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为单位：元
写出单株利润元关于施用肥料千克的关系式；
当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
18.本小题15分
已知a为实数，函数，
设，，若函数的最大值等于2，求a的值；
若对任意，都存在，使得，求a的取值范围；
设，求的最小值.
19.本小题17分
已知函数的图象可由函数且的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且
求a的值；
若函数，证明：；
若函数与在区间上都是单调的，且单调性相同，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由可知，，
经检验时，符合题意．
故选：
根据集合相等的定义，即可求解．
本题主要考查了集合相等的条件的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意得，，
解得
故选：
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
3.【答案】B
【解析】解：由于命题p是假命题，则是真命题，即，是真命题，
，解得
故选：
由题意得，是真命题，结合二次不等式的恒成立可求．
本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于函数且，当时，，
结合指数函数的图象特征，可知的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立；
对于函数且，当时，且单调递减，
此时它不经过第三象限，
当时，为增函数且，经过第三象限，故符合题意，必要性成立．
综上所述，“”是“函数且的图象经过第三象限”的充要条件．
故选：
根据题意，利用指数函数的图象与性质，对充分性与必要性两方面加以论述，可得正确答案．
本题主要考查指数函数的图象与性质、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数有2个零点：0，2，排除选项A，B；
当时，，排除D，
故选：
利用函数的零点排除选项，结合x的变化趋势，推出y的变化趋势，推出结果即可．
本题考查函数的图象的判断，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，函数满足，
令，有，
令，有，
又由在上是增函数，则，
则有
故选：
根据题意，利用特殊值分析可得和，结合函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数的对称性，涉及函数值的大小比较，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：为R上的偶函数，
，，
，
又正实数a、b满足，
，
即，
，当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为
故选：
由为偶函数可得，进而求出m的值，得到的解析式，再由正实数a、b满足，可得，结合基本不等式求解即可．
本题主要考查了函数的奇偶性，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为是三次函数且是幂函数，
所以，所以
令，，
则是奇函数，
所以
故选：
函数是三次函数且是幂函数得，然后再结合函数的奇偶性即可求解．
本题考查了幂函数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由，则，
故，因此A正确；
令，，，，则，，
显然，因此B错误；
由，
，，
故，，
则，即，因此C正确；
由a，b，c为互不相等的正数，则，又，，
即，，即，，
又，
，即，因此D正确．
故选：
利用不等式的性质，逐个进行判断即可．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A：，，所以，，故A正确；
B：时，，所以在的最小值为，
时，单调递减，，要使存在最小值，只需，故B正确；
C：在上单调递减，在上单调递减，不能说函数在上单调递减，故C错误；
D：，所以，所以，
因为在的最小值为，所以只能，求得，故D正确．
故选：
根据分段函数解析式直接求得函数值可判断AD选项，再根据分段函数的单调性判断方法分别判断BC选项．
本题主要考查分段函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为，
令，得，所以，故A正确；
令，得，
所以，令，得，又，
所以，又因为定义域为R，所以函数是奇函数，故B正确；
令，得，
又，，所以，故C错误；
当x，时，由，
可得，又，
，在上任取，，不妨设，
，
，，，
故，在单调递减，故D正确．
故选：
令即可判断A；令，求出，再令，即可判断B；令即可判断C；由，得，再根据函数单调性定义即可判断
本题主要考查了赋值法在函数求值中的应用，还考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设幂函数，，
则，
所以
故答案为：
根据给定条件，利用幂函数的解析式可得，再代入计算即得．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
13.【答案】11
【解析】解：设从第x天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店，
由题意可得，
即，
所以，
当时，，
当时，，
所以从11天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店．
故答案为：
设从第x天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店，则有，借助计算器求解即可．
本题考查了函数在生活中的实际运用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，
作出的图象，如图所示：
由得，
当时，，此时不等式无解；
当时，由得，
要使不等式恰有两个整数解，
，，，
整数解为0和1，又，，
；
当时，由得，
若不等式恰有两个整数解，
，则整数解为和，
又，
，
综上所述，实数m的取值范围为
故答案为：
根据分段函数的性质，作出函数的图象，题意转化为，分类讨论m和1的大小关系，确定不等式解集，结合图象，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质和一元二次不等式的解法，考查数形结合思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：因为，，
所以；

【解析】利用有理数指数幂的运算法则即可得解．
利用有理数指数幂的运算法则即可得解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
16.【答案】解：证明：根据题意，，，且，则，
由，得，，而，
因此，即，
所以是减函数．
由，得，，即函数是奇函数，
不等式，而是减函数，
因此，解得，
所以原不等式的解集是
【解析】利用减函数的定义推理论证即得．
判断函数的奇偶性，结合单调性求解不等式．
本题考查函数单调性的性质和应用，涉及作差法的应用，属于基础题．
17.【答案】解：依题意，，
又，
则；
由得：当时，，
开口向上，对称轴方程为，
又
此时的最大值为；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因为，
所以当施肥量为4千克时，利润最大，最大利润是480元．
【解析】用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
分段判断的单调性，利用基本不等式求出在时最大值即可．
本题考查了分段函数模型的应用和基本不等式在实际中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：因为函数，，
则，
当时，，即，解得：舍或
当时，，即，解得：舍或
综上，或
设在区间上的值域为A，在区间上的值域为B，
则，
因为对任意，都存在，使，
所以得，
所以a的取值范围是；
，
①当时，在上单调递减，上单调递增，
；
②当时，在上单调递减，上单调递增，
；
③当时，在上单调递减，上单调递增，
；
综上
【解析】因为，的最大值等于2，只能在或处取到，分别讨论和的情况，即可求得结果；
因为对任意，都存在，使，由此可得，解不等式组即可；
先去绝对值，得到，对a的范围进行分类讨论，从而得出的单调性，即可求出的最小值．
本题主要考查了函数最值的求解，还考查了恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
19.【答案】解：函数的图象向下平移2个单位长度后得到的图象，
再向左平移1个单位长度得到的图象，
所以，
因为，
所以负值舍去
证明：由可知，
所以，
所以
解：由可知，，
若两函数在区间上都是增函数，则在区间上恒成立，
所以，解得；
若两函数在区间上都是减函数，则在区间上恒成立，
所以，该不等式组无解，
综上，实数m的取值范围是
【解析】根据函数图象的平移法则，可得的解析式，再利用，代入运算，求出a的值，即可得解；
由可得的解析式，代入运算，即可得证；
由可得和的解析式，根据函数的性质，列出关于m的不等式组，解之即可．
本题考查函数的综合应用，熟练掌握函数图象的平移法则，指数的运算法则，将函数的恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．