精品解析：安徽省六安第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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考试时间：120分钟 满分150分 命题人：张亮亮 审题人：柴明明
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，根据并集的定义求得，再根据补集的定义求解即可.
【详解】解：，
又，
.
故选:C.
2. 已知：，且，下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过赋值法举反例排除A,B,C项，对于D项，则可寻找条件成立的充要条件，再用作差法判断即得.
【详解】对于A，可取，满足，但得不到，故A错误；
对于B，可取，满足，但不满足，故B错误；
对于C，可取，满足，但，故C错误；
对于D，因，而，故必有成立，即D正确.
故选：D.
3. 已知集合， 若， 则实数a的值为（ ）
A. 5或B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据求得值，再验证每个取值是否满足条件.
【详解】因为，所以，所以或.
若，则，此时，此时不成立；
若，则或，
当时，，B中有两元素相等，故不成立；
当时，此时，此时成立；
综上：.
故选：D
4. 若函数，则的值是（ ）
A. 9B. 25C. 8D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】令，求出，再代入解析式求出即可；
【详解】令，则，则，
故选：D.
5. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.
【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误；
选项B：定义域不是，值域为，故错误；
选项C：定义域和值域均为，故正确；
选项D：不满足函数的定义，故错误；
故选：C.
6. 已知函数，若，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】首先对进行分类讨论，然后分别将其代入对应的解析式中即可求解的值
【详解】当时，得：，不符合题意，故舍去；
当时，得：，解得：，不符合范围条件，故舍去；
当时，得：，解得：或，
由于，故得：.
故选：C
7. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知的定义域，再根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．
【详解】因为的定义域是，
所以要使得有意义，
需满足，解得．
则函数的定义域为是
故选：B
8. 不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）.
A. 或B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式解集得到是方程的两根，，根据韦达定理得到，，代入不等式并化简得到，求出不等式解集.
【详解】由题意得是方程的两根，，
故，，
所以，，代入不等式中，
即，
化简得，解得或.
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分．）
9. 下列说法中错误的是（ ）
A. 与表示同一个集合
B 集合与表示不同集合
C. 方程的所有解的集合可表示为
D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据集合的含义判断A；根据集合元素的无序性判断B；根据集合元素的互异性判断C；根据“”和“”之间的逻辑关系判断D.
【详解】对于A，表示没有任何元素的集合，表示元素为0的数集，
故二者不是同一个集合，A错误；
对于B，由于集合的元素具有无序性，故集合与表示同一个集合，B错误；
对于C，方程的解为两相等实数解以及，
结合集合元素的互异性可知其解集为，C错误；
对于D，取满足，但不满足，
当时，必有，故“”是“”的必要不充分条件，D正确，
故选：ABC
10. 下列每组函数是同一函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合函数定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，两函数的定义域均为,且函数与，
两函数的对应关系也相同，所以是同一函数，符合题意；
对于B中，函数与，
两函数的对应关系不同，所以不是同一函数，不符合题意；
对于C中，函数的定义域为，的定义域为，
两函数的定义域不同，所以不是同一函数，不符合题意；
对于D中，函数，，
两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数，符合题意.
故选：AD.
11. 设正实数满足，则下列选项正确的有（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最大值为2D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A ：根据基本不等式直接计算并判断；B：采用常数代换法直接计算并判断；CD：根据选项A结论化简判断即可.
【详解】A：，当且仅当时取等号，故正确；
B：，当且仅当时取等号，故正确；
C：，且，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故错误；
D：，当且仅当时取等号，故正确；
故选：ABD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．答案需填写最简形式）
12. 命题“，”的否定是_____.
【答案】，
【解析】
【分析】利用存在量词命题否定可得出结论.
【详解】命题“，”为存在量词命题，
该命题的否定为“，”.
故答案为：，.
13. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0，函数图像与轴无交点，则不等式大于0恒成立，从而求出参数取值范围.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以，解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：
14. 已知函数，若，则x的取值范围为____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意分析可知：是偶函数，且在内单调递增，在内单调递减，进而可得，运算求解即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，
若，则，可得；
同理可得：当时，；
且时，；
综上所述：是偶函数．
因为开口向上，且对称轴为，
可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减，
则不等式等价于，
即，整理得，解得或，
所以x的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知集合，集合．
（1）求集合中的取值范围．
（2）若是的充分不必要条件，求取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式，然后直接求出结果；
（2）先表示出集合，然后将问题转化为⫋，由此列出不等式组求解出结果.
【小问1详解】
因为，所以，解得或，
所以的取值范围是或.
【小问2详解】
因为恒成立，所以x−ax−a−1>0⇔x>a+1或，
所以B=xx>a+1或，
又因为是的充分不必要条件，所以⫋，
所以，解得，
当或时，，所以满足要求，
综上所述，的取值范围是.
16. （1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值.
（2）已知集合，若，求实数的值.
【答案】（1），；（2），，.
【解析】
【分析】（1）分是否等于0两种情况讨论即可；
（2）分是否等于0两种情况讨论即可.
【详解】（1）情形一：若，则中只有这一个元素，故符合题意；
情形二：若，且集合中只有一个元素，
这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根，
从而，解得；
综上所述，实数的所有取值可能为：，；
（2），
情形一：当时，，此时满足，故符合题意；
情形二：当时，，
若要，则当且仅当或，
解得或；
综上所述，实数的值可能是：，，.
17. （1）已知，求的最小值；
（2）已知两正数满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值；
（2）先化简得到，然后采用常数代换法求解出最小值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为；
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
18. 已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有.
（1）求的值；
（2）证明：为偶函数；
（3）若在上单调递增，求不等式的解集.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）或，
【解析】
【分析】（1）令以及即可求解，
（2）令，即可根据偶函数的定义求解，
（3）先得出，根据函数的奇偶性和单调性求解.
【小问1详解】
令得：，故，
令得：，故.
【小问2详解】
因为是定义在非零实数集上的函数，
令，故，
为偶函数；
【小问3详解】
在上单调递增，且为偶函数，
故在上是减函数，由于，
则，
故，且，解得且，
故不等式的解集为或.
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论；
（3）求使成立的实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）在上单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】
分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果；
（2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增；
（3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为.
【小问1详解】
由题意可知，故，
又由可得，解得；
所以，
此时fx定义域关于原点对称，且，
故fx是定义在上的奇函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
取任意，且，
则；
因为，且，
所以，，
所以，
所以，即，
因此在上单调递增.
【小问3详解】
由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数，
所以由可得，
因此需满足，解得，即；
故实数a的取值范围为.