精品解析：云南省大理市大理白族自治州民族中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

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考试时间：120分钟；满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得集合，结合集合交集的定义运算，即可求解.
【详解】依题意得，
则，
故选：A．
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案．
【详解】解：由全称量词命题的否定是存在量词命题，
即先将量词“”改成量词“”，再将结论否定，
所以该命题的否定是“，”.
故选:D．
3. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，由可得，可选出答案.
【详解】由可得，由可得
所以“”是“”的充分不必要条件
故选：C
4. 设是定义在上奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和时函数的解析式可得.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，
故选：A
5. 已知，化简：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化为分数指数幂，再计算即可．
【详解】，
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. 25B. 5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
7. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性排除选项BD，再利用函数值排除选项C即得解.
【详解】解：因为，所以为奇函数，排除B，D；因为当时，，排除C；
故选：A.
8. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件建立方程组，可求得实数的值.
【详解】，且，所以，，解得.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数.
【详解】选项A:两函数的定义域均为R，且，所以两函数对应关系也相同，所以两个函数是同一个函数，故A正确;
选项B:的定义域为，的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误；
选项C:的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误；
选项D:两函数的定义域均为R，对应关系也相同，所以两个函数是同一个函数，故D正确.
故选：AD.
10. 设，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】赋值即可排除选项A，利用不等式的性质以及作差法即可判断选项BC，利用指数函数的单调性即可判断选项D.
【详解】由题知，，
假设，则，A错；
又，所以，则，B正确；
又，，，
所以，即，C正确；
因为单调递增，
所以，D正确.
故选：BCD
11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. 的根为和
B. 函数的零点为和
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间关系，即可得出正确的选项.
【详解】关于的不等式的解集为，
，C选项正确；
且和是关于的方程的两根，
则 ，则，，故D不正确；
不等式解集的端点值就是函数的零点及方程的根，故A正确，B不正确.
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】由指数函数定点求解即可.
【详解】则定点坐标为.
故答案为: .
13. 已知，且，则的最小值为______.
【答案】17
【解析】
【分析】由题得，再利用基本不等式求函数的最小值.
【详解】，
当且仅当，即，亦即时，等号成立.
所以函数的最小值为17.
故答案为17
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
14. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】题目考察分段函数的单调性，需要两段函数均为增函数，且在两短函数的衔接处单调递增，三个不等式取交集求出参数的取值范围
【详解】解：要使函数在上为增函数，须有f(x)在上递增，在上递增，
且，
所以有，解得，
故a的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 计算求值：
（1）
（2） 若 ， 求的值
【答案】（1）10 （2）3
【解析】
【分析】根据指数式的运算化简即可．
【详解】（1）原式


（2）
【点睛】本题考查了指数幂化简求值，属于基础题．
16. 1.已知函数，且.
（1）求m的值；
（2）判定的奇偶性；
（3）判断在0,+∞上的单调性，并给予证明.
【答案】（1）
（2）奇函数 （3）在0,+∞上为单调增函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用求出m的值；（2）先判断定义域是否关于原点对称，再判断与之间的关系，确定奇偶性；（3）定义法证明函数的单调性
【小问1详解】
根据题意，函数，
因为，所以，解得.
【小问2详解】
，因为的定义域为，定义域关于原点对称
又，
所以是奇函数.
【小问3详解】
在0,+∞上为单调增函数.
证明如下：任取，则.
因为，所以，，
所以.
所以在0,+∞上为单调增函数.
17. 已知．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由恒成立，即恒成立，即得，从而可求解.
（2）由即，然后对分情况讨论，从而可求解.
【小问1详解】
∵ 恒成立，
∴ 对恒成立，
故，化简得，解得，
故实数的取值范围0,2.
【小问2详解】
，即；
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为.
18. 已知幂函数，且在上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据幂函数的定义及性质列方程求解即可；
（2）利用幂函数的单调性去掉，结合函数定义域列不等式求解即可.
【小问1详解】
由已知得，
解得或，
当时，，当时，，
∵在上为增函数，
∴；
【小问2详解】
由（1）得的定义域为，且在上为增函数，
∴，
解得，
所以的取值范围为.
19. 已知函数，.
（1）当时，求的最小值；
（2）记最小值为，求的解析式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可；
（2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得．
【小问1详解】
设，因为，则，
则，，
当时，，，
∴时，，即当时，.
【小问2详解】
由（1）知，，
其图象的对称轴为．
①当时，在上单调递增，所以；
②当时，，
③当时，在上单调递减，所以.
综上，.