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备战 2025 高考数学模拟卷一
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．/1：8
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【详解】（1）设，…………………………………………………………………2分
则由余弦定理得；………………………………………………5分
（2）在中，，，，
由余弦定理得，
即，解得，…………………………………………………………………9分
又，…………………………………………………………………………………11分
故，.………………………………………………13分
16．（15分）
【详解】（1）因为为中点，且，所以，即，…………………2分
又，，平面，所以平面.
又平面，所以.………………………………………………………………………4分
因为，所以.
又，，所以，………………………………………………………………5分
所以，则.
又，平面，所以平面.
又平面，所以：平面平面.………………………………………………………7分
（2）由（1）可知：，，两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，设（），则.
所以，，.………………………………………9分
设平面的一个法向量为m=x1,y1,z1，
由，可取.
设平面的一个法向量为n=x2,y2,z2，
由，可取.
，……………………………………………………………………13分
整理得：（舍去）
所以，即.………………………………………………………………………………………………………15分
17．（15分）
【详解】（1）的定义域为R，. …………………………………………………2分
当时，f'x>0，则在R上单调递增；……………………………………………………4分
当时，令f'x>0，解得，令f'x<0，解得，………………………5分
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.………………………7分
（2）由，可得，即. …………………………8分
令，因为在上均单调递增，则单调递增.
由，可得，则，即.……………………11分
令，则.
当时，h'x<0，hx在上单调递减，
当时，h'x>0，hx在上单调递增，
所以， …………………………………………………………………………………14分
则，解得，故的取值范围为.……………………………………………………15分
18．（17分）
【详解】（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次，………………2分
所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为.……………………………………5分
（2）①由题知可能取值为，
，，
，
，，
所以的分布列为
数学期望.…………………………………………10分
②由①知，由题知，所以，
由，
得到且，………………12分
整理得到，即，
得到，所以，……………………………………………………15分
由题有，所以，得到，又，所以或或.………17分
19．（17分）
【详解】（1）由椭圆，知.
根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆.……………………………………………4分
（2）设，则.
直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论：
①当直线的斜率不存在时，直线.
若，由，解得，此时.
若，同理得：.………………………………………………………………………6分
②当直线的斜率存在时，设.
由，得，有，又直线是圆的切线，故，可得.
∴，则，而.
∴，即.………………………………………10分
综上，恒有.
（3）是椭圆上的两个动点且，设，则.
直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.
若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有.
∴，，且，
由，解得.……………………………………………14分
若直线的斜率都存在，设，则.
由，得，有；同理，得.
于是，.…………………………………………………16分
由，可得.
因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上.
∴该定圆的方程为圆.………………………………………………………………………17分1
2
3
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6
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A
D
C
B
B
B
A
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ACD
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．/1：8
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【详解】（1）设，…………………………………………………………………2分
则由余弦定理得；………………………………………………5分
（2）在中，，，，
由余弦定理得，
即，解得，…………………………………………………………………9分
又，…………………………………………………………………………………11分
故，.………………………………………………13分
16．（15分）
【详解】（1）因为为中点，且，所以，即，…………………2分
又，，平面，所以平面.
又平面，所以.………………………………………………………………………4分
因为，所以.
又，，所以，………………………………………………………………5分
所以，则.
又，平面，所以平面.
又平面，所以：平面平面.………………………………………………………7分
（2）由（1）可知：，，两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，设（），则.
所以，，.………………………………………9分
设平面的一个法向量为m=x1,y1,z1，
由，可取.
设平面的一个法向量为n=x2,y2,z2，
由，可取.
，……………………………………………………………………13分
整理得：（舍去）
所以，即.………………………………………………………………………………………………………15分
17．（15分）
【详解】（1）的定义域为R，. …………………………………………………2分
当时，f'x>0，则在R上单调递增；……………………………………………………4分
当时，令f'x>0，解得，令f'x<0，解得，………………………5分
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.………………………7分
（2）由，可得，即. …………………………8分
令，因为在上均单调递增，则单调递增.
由，可得，则，即.……………………11分
令，则.
当时，h'x<0，hx在上单调递减，
当时，h'x>0，hx在上单调递增，
所以， …………………………………………………………………………………14分
则，解得，故的取值范围为.……………………………………………………15分
18．（17分）
【详解】（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次，………………2分
所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为.……………………………………5分
（2）①由题知可能取值为，
，，
，
，，
所以的分布列为
数学期望.…………………………………………10分
②由①知，由题知，所以，
由，
得到且，………………12分
整理得到，即，
得到，所以，……………………………………………………15分
由题有，所以，得到，又，所以或或.………17分
19．（17分）
【详解】（1）由椭圆，知.
根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆.……………………………………………4分
（2）设，则.
直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论：
①当直线的斜率不存在时，直线.
若，由，解得，此时.
若，同理得：.………………………………………………………………………6分
②当直线的斜率存在时，设.
由，得，有，又直线是圆的切线，故，可得.
∴，则，而.
∴，即.………………………………………10分
综上，恒有.
（3）是椭圆上的两个动点且，设，则.
直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.
若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有.
∴，，且，
由，解得.……………………………………………14分
若直线的斜率都存在，设，则.
由，得，有；同理，得.
于是，.…………………………………………………16分
由，可得.
因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上.
∴该定圆的方程为圆.………………………………………………………………………17分1
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